Drehungen und Spiegelungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 So 20.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich sitze hier vor einer Aufgabe, und anschaulich ist sie schon gelöst, aber leider weiss ich nicht, wie ich den letzten Teil sauber hinbekomme:
Es sei [mm] $(V,\Phi)$ [/mm] ein Euklidischer Vektorraum mit ON-Basis $B = [mm] (v_{1},v_{2},v_{3})$.
[/mm]
a)
Es sei [mm] $\delta_{i} \in O(\Phi)$ [/mm] die Drehung mit Drehachse [mm] $$ [/mm] und Drehwinkel [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] für $i = 1,2$.
Man berechne Drehachse und Drehwinkel von [mm] $\delta_{1}°\delta_{2}$ [/mm] und [mm] $\delta_{2}°\delta_{1}$.
[/mm]
b)
Es seien [mm] $\sigma_{1}$, $\sigma_{2} \in O(\Phi)$ [/mm] die Spiegelungen an [mm] $^{senkrecht}$ [/mm] bzw. [mm] $^{senkrecht}$.
[/mm]
Man zeige, dass [mm] $\sigma_{1}°\sigma_{2}$ [/mm] und [mm] $\sigma_{2}°\sigma_{1}$ [/mm] Drehungen sind, und berechne jeweils Drehwinkel und Drehachse.
So, ich zeige mal bei der allerersten, wie ich mir das so gedacht habe:
Sei [mm] $v_{1} [/mm] := [mm] (1,0,0)^{tr}$, $v_{2} [/mm] := [mm] (0,1,0)^{tr}$, $v_{3} [/mm] := [mm] (0,0,1)^{tr}$ [/mm]
Dann gilt jeweils
[mm] $\delta_{1}(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{1}$, $\delta_{1}(v_{2}) [/mm] = [mm] -v_{3}$ [/mm] und [mm] $\delta_{1}(v_{3}) [/mm] = [mm] v_{2}$, [/mm] sowie
[mm] $\delta_{2}(v_{1}) [/mm] = [mm] v_{3}$, $\delta_{2}(v_{2}) [/mm] = [mm] v_{2}$ [/mm] und [mm] $\delta_{2}(v_{3}) [/mm] = [mm] -v_{1}$.
[/mm]
Also gilt:
[mm] $\delta_{1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0}$ [/mm] sowie [mm] $\delta_{2} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0}$.
[/mm]
Es ist [mm] $\delta_{1}°\delta_{2} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 & -1\\1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0}$.
[/mm]
Wenn man über die Ermittlung der Eigenwerte dann die Fixvektoren (also die Drehachse) ermittelt hat, kommt da raus [mm] $$ [/mm] und ein Drehwinkel von [mm] $\bruch{2}{3}\pi$, [/mm] diesen konnte ich aber nur anschaulich ermitteln, auf die Vektoren [mm] $v_{1}$, $v_{2}$ [/mm] und [mm] $-v_{3}$ [/mm] lässt sich eine Ebene legen, die die Drehachse als Normale hat, die Punkte, die durch die Vektoren auf der Ebene benannt werden, bilden ein gleichseitiges Dreieck und man muss, um die entsprechende Abbildung zu erzeugen, das Dreieck um $120°$, also [mm] $\bruch{2}{3}\pi$ [/mm] drehen.
Aber wie kommt man sonst an den Winkel, ich habe da leider keine Idee :/
Ausserdem bin ich nicht ganz sicher, wie man bei der b) zeigt, dass auch wirklich Drehungen rauskommen, ist es nicht so, dass für Drehungen durch eine Matrix $A$ gilt $det(A)=1$ und für Spiegelungen $det(a)=-1$?
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 So 20.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo AT-Colt
> Hallo Leute,
>
> ich sitze hier vor einer Aufgabe, und anschaulich ist sie
> schon gelöst, aber leider weiss ich nicht, wie ich den
> letzten Teil sauber hinbekomme:
>
> Es sei [mm](V,\Phi)[/mm] ein Euklidischer Vektorraum mit ON-Basis [mm]B = (v_{1},v_{2},v_{3})[/mm].
>
>
> a)
> Es sei [mm]\delta_{i} \in O(\Phi)[/mm] die Drehung mit Drehachse
> [mm][/mm] und Drehwinkel [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] für [mm]i = 1,2[/mm].
> Man
> berechne Drehachse und Drehwinkel von [mm]\delta_{1}°\delta_{2}[/mm]
> und [mm]\delta_{2}°\delta_{1}[/mm].
>
> b)
> Es seien [mm]\sigma_{1}[/mm], [mm]\sigma_{2} \in O(\Phi)[/mm] die
> Spiegelungen an [mm]^{senkrecht}[/mm] bzw.
> [mm]^{senkrecht}[/mm].
> Man zeige, dass [mm]\sigma_{1}°\sigma_{2}[/mm] und
> [mm]\sigma_{2}°\sigma_{1}[/mm] Drehungen sind, und berechne jeweils
> Drehwinkel und Drehachse.
>
> So, ich zeige mal bei der allerersten, wie ich mir das so
> gedacht habe:
>
> Sei [mm]v_{1} := (1,0,0)^{tr}[/mm], [mm]v_{2} := (0,1,0)^{tr}[/mm], [mm]v_{3} := (0,0,1)^{tr}[/mm]
>
> Dann gilt jeweils
> [mm]\delta_{1}(v_{1}) = v_{1}[/mm], [mm]\delta_{1}(v_{2}) = -v_{3}[/mm] und
> [mm]\delta_{1}(v_{3}) = v_{2}[/mm], sowie
> [mm]\delta_{2}(v_{1}) = v_{3}[/mm], [mm]\delta_{2}(v_{2}) = v_{2}[/mm] und
> [mm]\delta_{2}(v_{3}) = -v_{1}[/mm].
>
> Also gilt:
> [mm]\delta_{1} = \pmat{1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0}[/mm] sowie
> [mm]\delta_{2} = \pmat{0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0}[/mm].
>
>
> Es ist [mm]\delta_{1}°\delta_{2} = \pmat{0 & 0 & -1\\1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0}[/mm].
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es sollte aber auch noch die umgekehrte Reihenfolge berechnet werden. 
>
> Wenn man über die Ermittlung der Eigenwerte dann die
> Fixvektoren (also die Drehachse) ermittelt hat, kommt da
> raus [mm][/mm] und ein Drehwinkel von
> [mm]\bruch{2}{3}\pi[/mm], diesen konnte ich aber nur anschaulich
> ermitteln, auf die Vektoren [mm]v_{1}[/mm], [mm]v_{2}[/mm] und [mm]-v_{3}[/mm] lässt
> sich eine Ebene legen, die die Drehachse als Normale hat,
> die Punkte, die durch die Vektoren auf der Ebene benannt
> werden, bilden ein gleichseitiges Dreieck und man muss, um
> die entsprechende Abbildung zu erzeugen, das Dreieck um
> [mm]120°[/mm], also [mm]\bruch{2}{3}\pi[/mm] drehen.
>
> Aber wie kommt man sonst an den Winkel, ich habe da leider
> keine Idee :/
Es gibt den Satz: ähnliche Matrizen haben die gleiche Spur.
Bei der Drehung um die 1. Achse kommt zum Beispiel die folgende Matrix heraus:
[mm] $\pmat{1&0&0\\0&\cos \alpha&\sin \alpha\\0&-\sin \alpha&cos \alpha}$
[/mm]
Hier siehst du, dass die Spur den Wert $1 + [mm] 2*\cos \alpha$ [/mm] hat, und der ist für alle Matrizen, die dieselbe Drehung repräsentieren (also auch nach Koordinatentransformationen) immer gleich.
Somit ergibt sich sofort: [mm] $\cos \alpha [/mm] = (Sp(A)-1)/2$, womit sich dein Drehwinkel bis auf das Vorzeichen ergibt. Das Vorzeichen kann erst durch die Wahl einer Orientierung auf der Drehebene bestimmt werden.
> Ausserdem bin ich nicht ganz sicher, wie man bei der b)
> zeigt, dass auch wirklich Drehungen rauskommen, ist es
> nicht so, dass für Drehungen durch eine Matrix [mm]A[/mm] gilt
> [mm]det(A)=1[/mm] und für Spiegelungen [mm]det(a)=-1[/mm]?
>
Ja, genau so ist es! Zudem müssen die Spaltenvektoren orthonormal sein, wenn die Basis des Vektorraumes orthonormal ist.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Mo 21.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Paulus,
ich hatte nur dieses eine Beispiel gemacht, weil es (glaube ich) ausreicht, um mein Problem zu verdeutlichen, die anderen Aufgaben kann man dann ja analog lösen.
In der Vorlesung hatten wir die Matrix, die Du beschrieben hattest, als
[mm] $\pmat{1 & 0 & 0\\0 & cos \alpha & -sin \alpha\\0 & sin \alpha & cos \alpha}$ [/mm] denfiniert, also kann es insgesamt sein, dass ich eh in die falsche Richtung gedreht hatte (hab es ja, wie erwähnt, erstmal rein anschaulich gelöst).
Das macht aber im Endeffekt erstmal nichts, lässt sich ja schnell beheben.
Ich muss aber gestehen, dass ich mit Deiner Erklärung nicht weiterkomme. Sicher, ähnliche Matrizen haben die gleich Spur, aber die Spur von der letzten Matrix, die ich rausbekommen hatte, war 0, also nicht in der Form $Diag(1,...,1,-1,...,-1,S)$ mit $S = [mm] \pmat{cos \alpha & -sin \alpha\\sin \alpha & cos \alpha}$.
[/mm]
Also bringt mich das irgendwie nicht weiter, oder?
Ich habe mittlerweile selbst nochmal nachgedacht und mir ist folgendes in den Sinn gekommen:
Wendet man eine Drehung in einer gewissen Häufigkeit auf einen VR an, gehen die Drehungen insgesamt auf die Identität zurück, also existiert ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\delta^{n} [/mm] = [mm] id_{v}$.
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Dann könnte man nämlich das Minimalpolynom der ermittelten Abbildungsmatrix bestimmten und würde durch den Grad des Polynoms die Anzahl der erfolgten Drehungen und durch die Nullstelle die Drehachse ermitteln können.
Das Problem, das ich dabei sehe, sind Drehungen, bei denen die Identität nach mehr als einer kompletter Umdrehung des VRs resultiert.
Hier wäre $360°/n$ falsch, um den Winkel zu bestimmen.
(Bei meiner Übung reicht es zwar scheinbar und ist auch genau genug, aber wenn es nicht mathematisch korrekt ist, ist es ja doof, das aufzuscheiben.)
Eine Frage habe ich noch:
Du hast nicht gefragt, was [mm] $O(\Phi)$ [/mm] ist, deswegen nehme ich an, dass Du es weisst, ich konnte mit der Definition aus der Uni aber recht wenig anfangen, ist das die Menge der orthogonal-affinen Abbildungen? (so hatten wir das in der Schule genannt, glaub ich)
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo AT-Colt!
> Ich muss aber gestehen, dass ich mit Deiner Erklärung nicht
> weiterkomme. Sicher, ähnliche Matrizen haben die gleich
> Spur, aber die Spur von der letzten Matrix, die ich
> rausbekommen hatte, war 0, also nicht in der Form
> [mm]Diag(1,...,1,-1,...,-1,S)[/mm] mit [mm]S = \pmat{cos \alpha & -sin \alpha\\sin \alpha & cos \alpha}[/mm].
> Also bringt mich das irgendwie nicht weiter, oder?
Doch, warum nicht?
Du weißt doch, dass deine Matrix zu einer Matrix der Form
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}$ [/mm]
ähnlich ist. Daher muss für deinen Drehwinkel:
$1 + 2 [mm] \cos(\alpha) [/mm] =0$
gelten. Daraus kannst du [mm] $\alpha$ [/mm] berechnen.
> Ich habe mittlerweile selbst nochmal nachgedacht und mir
> ist folgendes in den Sinn gekommen:
>
> Wendet man eine Drehung in einer gewissen Häufigkeit auf
> einen VR an, gehen die Drehungen insgesamt auf die
> Identität zurück, also existiert ein [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]\delta^{n} = id_{v}[/mm].
> Ist das soweit korrekt?
Nein, nur wenn der Winkel rational ist.
> Eine Frage habe ich noch:
> Du hast nicht gefragt, was [mm]O(\Phi)[/mm] ist, deswegen nehme ich
> an, dass Du es weisst, ich konnte mit der Definition aus
> der Uni aber recht wenig anfangen, ist das die Menge der
> orthogonal-affinen Abbildungen? (so hatten wir das in der
> Schule genannt, glaub ich)
Ich habe gedacht, es ist einfach die orthogonale Gruppe. Aber wie habt ihr es denn formal definiert?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:33 Mo 21.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Julius,
ich hatte Tomaten auf den Augen, ja, es sollte nun alles klar sein...
> Doch, warum nicht?
>
> Du weißt doch, dass deine Matrix zu einer Matrix der Form
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0 & \sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> ähnlich ist. Daher muss für deinen Drehwinkel:
>
> [mm]1 + 2 \cos(\alpha) =0[/mm]
>
> gelten. Daraus kannst du [mm]\alpha[/mm] berechnen.
Ja, das stimmt, ich habe mich dadurch irritieren lassen, dass da $diag(1,cos [mm] \alpha, [/mm] cos [mm] \alpha)$ [/mm] stand und ich irgendwie nicht dran gedacht habe, dass [mm] $-\bruch{1}{2}$ [/mm] ja durchaus ein gültiger Wert für den Cosinus ist (eben gerade für $x = [mm] \bruch{2}{3}\pi$.
[/mm]
Da stand ich ganz schön auf der Leitung...
> Nein, nur wenn der Winkel rational ist.
In der Tat, ich hatte gehofft, dass es nicht auffällt, wenn ich es überzeugt genug schreibe ^^
Ne, quatsch, das wäre halt die Notlösung gewesen...
> Ich habe gedacht, es ist einfach die orthogonale Gruppe.
> Aber wie habt ihr es denn formal definiert?
Ja, genau, das war es, ich sollte meine Übungen doch zu humaneren Tageszeiten machen, dann passiert mir sowas nicht ^^;
> Liebe Grüße
> Julius
greetz
AT-Colt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo At-Colt
>
> In der Vorlesung hatten wir die Matrix, die Du beschrieben
> hattest, als
> [mm]\pmat{1 & 0 & 0\\0 & cos \alpha & -sin \alpha\\0 & sin \alpha & cos \alpha}[/mm]
> denfiniert, also kann es insgesamt sein, dass ich eh in die
> falsche Richtung gedreht hatte (hab es ja, wie erwähnt,
> erstmal rein anschaulich gelöst).
Dacht ich mirs doch!!
Aber deine Werte hast du so überzeugend dargestellt, dass ich es dir einfach mal abgekauft habe. Es gibt ja schliesslich auch frühere Bemühungen (die gehören allerdings vermutlich definitiv der Vergangenheit an), alles mit transponierten Matrizen zu rechnen. Dann stehen die Bilder der Basisvektoren als Zeilen in der Abbildungsmatrix, und man rechnet auch [mm] $\vec{x}*M=\vec{b}$ [/mm] an Stelle von [mm] $M*\vec{x}=\vec{b}$ [/mm] etc. Also für unsere heutigen Begriffe alles verkehrt herum.
Zu meiner Zeit (70er-Jahre) war gerade der allgemeine Umschwung im Gange. Mein Lehrbuch zur Linearen Algebra, von Kowalsky, war noch in der alten Philosophie geschrieben. Du glaubst nicht, was für Anstrengungen das braucht, bis das Gehirn wieder von alldem befreit werden konnte respektive umprogrammiert. 
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen und die Ausführungen bisher verfolgt.
Leider weiss ich gar nicht, wie ich hier überhaupt vorgehen soll.
Es wäre also sehr nett, wenn sich jemand die Zeit nimmt, und mir mal genau erklärt, was ich hier Schritt für SChritt zu tun habe und warum ich das dann so tun kann!
Danke,
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:03 Di 22.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Servus WurzelPi,
wir hatten in der Vorlesung eine Abbildungsmatrix für Drehungen und Spiegelungen an einer Achse, die sah etwa so aus:
[mm] $\delta_{1} [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 & 0\\0 & cos \alpha & -sin \alpha\\ 0 & sin \alpha & cos \alpha}$ [/mm] bzw.
[mm] $\delta_{2} [/mm] = [mm] \pmat{cos \alpha & 0 & -sin \alpha\\0 & 1 & 0\\sin \alpha & 0 & cos \alpha}$ [/mm] etc.
[mm] $\alpha$ [/mm] ist dabei der Drehwinkel, für Spiegelungen [mm] $\sigma$ [/mm] ergibt sich in der rechten Spalte statt [mm] $\pmat{0\\-sin \alpha\\cos \alpha}$ $\pmat{0\\sin \alpha\\-cos \alpha}$.
[/mm]
In der ersten Aufgabe kommst Du recht leicht an [mm] $\delta_{1}°\delta_{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\delta_{2}°\delta_{1}$.
[/mm]
Da dort eine Drehung vorliegt, wissen wir laut Vorlesung, dass diese Drehung auf jeden Fall den Eigenwert 1 hat (für die Drehachse), wenn Du dazu den Eigenvektor bestimmst, hast Du durch sein Erzeugnis die Drehachse.
Wir wissen ausserdem, dass wir ähnliche Matrizen zu unserer Matrix finden können, insbesondere sind wir an einer Matrix der Form $Diag(1,S)$ interessiert mit $S = [mm] \pmat{cos \alpha & -sin \alpha\\sin \alpha & cos \alpha}$, [/mm] wir wissen ausserdem, dass ähnliche Matrizen die gleiche Spur haben, also können wir [mm] $Spur(\delta_{1}°\delta_{2}) [/mm] = Spur(Diag(1,S))$ berechnen und erhalten [mm] $\alpha$ [/mm] als den Drehwinkel.
Bei den Spiegelungen ist es etwas schwieriger, die Matrizen [mm] $\sigma_{1}$ [/mm] und [mm] $\sigma_{2}$ [/mm] zu bestimmen, der Rest ist dann aber genau wie in Teil a) mit den Drehungen.
Ich mache mal an [mm] $\sigma_{1}$ [/mm] vor, wie Du an die Abbildungsmatrix kommst:
Du weisst, dass die Spiegelebene (für VR $V$ mit $dim(V) = 3$ ist der orthogonale Teilraum zu einem eindimensionalen Teilraum zweidimensional, also eine Ebene) die Menge der Punkte [mm] $^{senkrecht}$ [/mm] ist, also weisst Du:
[mm] $v_{1}+v_{2} \in ^{senkrecht}$ [/mm] und
[mm] $v_{3} \in ^{senkrecht}$, [/mm] desweiteren weisst Du:
[mm] $v_{1}-v_{2} \in ^{senkrecht,senkrecht}$, [/mm] damit kannst Du die Bilder der Basisvektoren bestimmen:
[mm] $\sigma_{1}(v_{1}+v_{2}) [/mm] = [mm] v_{1}+v_{2}$
[/mm]
[mm] $\sigma_{1}(v_{3}) [/mm] = [mm] v_{3}$ [/mm] (da beide Teil der Spiegelebene sind, sind es Fixvektoren),
[mm] $\sigma_{1}(v_{1}-v_{2}) [/mm] = [mm] v_{2}-v_{1}$ [/mm] und damit kannst Du sagen:
[mm] $2*\sigma_{1}(v_{1}) [/mm] = [mm] \sigma_{1}(2*v_{1})$ [/mm] $=$
[mm] $\sigma_{1}((v_{1}+v_{2})+(v_{1}-v_{2})) [/mm] = [mm] \sigma_{1}(v_{1}+v_{2}) [/mm] + [mm] \sigma_{1}(v_{1}-v_{2})$ [/mm] $=$
[mm] $v_{1}+v_{2}+v_{2}-v_{1} [/mm] = [mm] 2*v_{2}$ [/mm] und
[mm] $2*\sigma_{1}(v_{2}) [/mm] = [mm] \sigma_{1}(2*v_{2})$ [/mm] $=$
[mm] $\sigma_{1}((v_{1}+v_{2})-(v_{1}-v_{2})) [/mm] = [mm] \sigma_{1}(v_{1}+v_{2}) [/mm] - [mm] \sigma_{1}(v_{1}-v_{2})$ [/mm] $=$
[mm] $v_{1}+v_{2}-v_{2}+v_{1} [/mm] = [mm] 2*v_{1}$
[/mm]
Insgesamt weisst Du also, dass [mm] $v_{1}$ [/mm] auf [mm] $v_{2}$ [/mm] uns umgekehrt sowie [mm] $v_{3}$ [/mm] auf [mm] $v_{3}$ [/mm] abgebildet wird, also muss doch die Matrix lauten:
[mm] $\sigma_{1} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1}$
[/mm]
Für [mm] $\sigma_{2}$ [/mm] solltest Du jetzt auch zu Überlegungen in der Lage sein.
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 21.06.2004 | | Autor: | hanna |
hallo AT-Colt!
ich habe mal eine frage zu
> Also gilt:
> [mm]\delta_{1} = \pmat{1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0}[/mm] sowie
> [mm]\delta_{2} = \pmat{0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0}[/mm].
>
wie kommst du genau auf [mm]\delta_{1} = \pmat{1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & -1 & 0}[/mm]
müsste es nicht so aussehen?
[mm]\delta_{1} = \pmat{1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\\0 & 1 & 0}[/mm]
da [mm] sin(\pi/2)=1 [/mm] und [mm] cos(\pi/2)=0
[/mm]
und
[mm]\pmat{1 & 0 & 0\\0 & cos \alpha & -sin \alpha\\0 & sin \alpha& cos \alpha}[/mm] .
dann wäre
[mm]\delta_{1}°\delta_{2} = \pmat{0 & 0 & -1\\-1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0}[/mm].
und dann durch vertauschen von zeilen und spalten
[mm]\delta_{1}°\delta_{2} = \pmat{1& 0 & 0\\0& -1 & 0\\ 0 & 0 & -1}[/mm]
also wäre die drehachse [mm] [/mm] und der drehwinkel wäre [mm] \pi.
[/mm]
also so sähe das bei mir aus.
vllt kannst du mir aber auch erklären, wie du das gemacht hast?
danke!
schönen abend noch!
hanna
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Hanna!
Kannst Du mir evtl. mal erklären, wie ich bei dieser Aufgabe überhaupt vorgehen muss und wie ich da ansetzen kann, ich hab gar keine Ahnung!
Das wäre sehr nett!
Gruss,
Wurzelpi!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mo 21.06.2004 | | Autor: | hanna |
hallo wurzelpi!
also wirklich den durchblick habe ich da auch nicht...
mache das eher ziemlich analog, wie der pahlings uns das mal "gerade schnell" in der lehramtsvorlesung freitags "erklärt" hat.
da [mm] (V,\Phi) [/mm] euklid. raum, gilt
[mm] D=diag(1,...,1,-1,...,-1,D(\delta_1),...,D(\delta_s))
[/mm]
mit [mm]D(\delta_i)=\pmat{ cos \alpha & -sin \alpha\\ sin \alpha & cos \alpha}[/mm]
er meinte dann, dass bei Dim 2 und Dim drei nur [mm] D(\delta_1) [/mm] ex.,
da eine Drehung in einem VR der Dim 2 bzw 3 eindeutig bestimmt ist (im vergl zu einer Drehung in Dim 4 oder höher).
ist n=3 und [mm]det(\delta)=1[/mm], so ist [mm]M_B(\delta)=\pmat{1 & 0 & 0\\0 & cos \alpha & -sin \alpha\\0 & sin \alpha & cos \alpha}[/mm]
[mm] \delta [/mm] ist "drehung um die Achse [mm] [/mm] und Drehwinkel [mm] \delta [/mm] "
wäre [mm]det(\delta)=-1[/mm], dann wäre
[mm]M_B(\delta)=\pmat{1 & 0 & 0\\0 & cos \alpha & -sin \alpha\\0 & sin \alpha & cos \alpha}[/mm]=
[mm] \pmat{-1 & 0 & 0\\0 & 1& 0\\0 & 0& 1}*\pmat{1 & 0 & 0\\0 & cos \alpha & -sin \alpha\\0 & sin \alpha & cos \alpha}[/mm].
[/mm]
wobei die erste matrix eine spiegelung an der ebene [mm][/mm] und die zweite wieder eine drehung um [mm][/mm] mit winkel [mm]\delta[/mm].
dann meinte er noch, dass die drehachse = <v> = Eigenraum zum eigenwert 1, falls [mm] \delta [/mm] ungleich 0.
dann hat er noch ein "beispiel" vorgemacht (ja ja, seine tollen beispiele):
[mm] \delta_1 [/mm] und [mm]\delta_2[/mm] drehungen in V um [mm] \pi/2 [/mm] => [mm]\delta_1°\delta_2[/mm] drehung
[mm]M_B(\delta_2)=\pmat{cos \alpha& 0 & -sin \alpha\\0 & 1 & 0\\ sin \alpha & 0 & cos \alpha}[/mm].
was er dann noch angeschrieben hat war
[mm]\delta_1°\delta_2[/mm]: [mm] M_B(\delta_1) [/mm] * [mm] M_B(\delta_2)
[/mm]
und dann hat er etwas aufgeschrieben, als würde man dann versuchen, die matrix [mm]M_B(\delta_1°\delta_2)[/mm] auf eine form bringen, das man <v> (die drehachse) und [mm] \delta [/mm] ablesen könnte.
denke aber nicht, dass das alles so korrekt ist... :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Mo 21.06.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Hanna,
bei Deinem ersten Kommentar hast Du recht, ich habe mir das erstmal anschaulich hergeleitet (weil ich keine Ahnung hatte, wie man das genau macht) und dabei nicht die Matrix aus der Vorlesung benutzt, ich habe quasi in meinen ganzen Ausführungen in die falsche Richtung gedreht.
Allerdings ist Deine zweite Aussage nicht richtig, da Deine Umformung durch Vertauschung von Zeilen und Spalten (die nicht simultan war, wie ich bemerken möchte), die Spur der Matrix verändert hat.
Mach Dir das Problem mal anschaulich mit Stiften klar und sieh Dir an, wohin welcher Stift abgebildet wird, dann wirst Du die Drehachse erkennen und auch, dass die Abbildung ein gleichseitiges Dreieck ergibt, und damit ein gleichseitiges Dreieck deckungsgleich auf einem gleichseitigen Dreieck liegt, musst Du es um ein ganzzahliges Vielfaches von $120°$, also [mm] $\bruch{2}{3}*\pi$ [/mm] drehen.
greetz
AT-Colt
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