Dreicksfläche im R3 < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mi 22.09.2004 | | Autor: | Spitfire |
Hallo,
es sind 3 punkte gegeben, die ein Dreieck bilden:
A = [mm] \vektor{ 3 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
B = [mm] \vektor{ -1 \\ 2 \\ -2 }
[/mm]
C = [mm] \vektor{ 7 \\ -2 \\ 4 }
[/mm]
Aufzustellen ist die Ebene in der alle 3 PUnkte liegen. (das grieg ich noch alleine hin) und dann die Fläsche des Dreiecks einschließlich Rand als Punktmenge (Parameterdarstellung)
Das einzige was ich da in der schule behalten hab, ist das wenn ich bei dem dreick einen punkt Als Aufpunkt neme un mir 2 Vektoren zu den jeweils anderen Punkten aufstelle, muss das [mm] \lambda [/mm] und das [mm] \delta [/mm] jeweils [mm] \ge [/mm] 0 sein und beide addierten müssen [mm] \le [/mm] 1 sein. das kann ich auch noch nachvollziehen. ich weiß jetzt nur nicht wie ich diese 2 variablen bestimmen muss, das ich in der parameterdarstellung der ebene die beiden richtungsvektoren dadurch eingrenzen kann. (z.B. enspricht der Fläsche des dreickes wenn 1 [mm] \le \lambda \ge [/mm] 4.
mfg
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:27 Do 23.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Daniel,
es ist schon etwas (sehr) spät, daher will ich die Aufgabe nicht mehr rechnen. Mein Lösungsvorschlag für diese Aufgabe ist sicher nicht der eleganteste, aber er sollte dennoch zum richtigen Ergebnis führen. Ich hoffe, du hast nachgerechnet, dass die 3 Vektoren eine Ebene aufspannen.
zu der Fläche:
Nun kannst du doch folgendes machen:
du berechnest die Länge der Strecke [m]\overline{AC}[/m] (also [m]\begin{vmatrix} \overline{AC} \end{vmatrix}[/m], der Kürze halber schreibe ich das jetzt immer so: [m]\begin{vmatrix} AC \end{vmatrix}[/m], Rest analog), sowie [m]\begin{vmatrix} AB \end{vmatrix}[/m] und [m]\begin{vmatrix} BC \end{vmatrix}[/m].
(Kommst du damit klar? Ansonsten frage bitte nach!)
Stelle dir nun ein Dreieck ($A'$,$B'$,$C'$) im [mm] $\IR^2$ [/mm] vor dass die gleichen Seitenlängen habe (bzw. skizziere ein Dreieck im [mm] $\IR^2$ [/mm] und schreibe die Seitenlängen dran)
(es soll also:[m]\begin{vmatrix} AC \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A'C' \end{vmatrix}[/m], [m]\begin{vmatrix} AB \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A'B' \end{vmatrix}[/m] sowie [m]\begin{vmatrix} BC \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} B'C' \end{vmatrix}[/m] gelten).
Dann sind die Dreiecke $(A,B,C)$ und $(A',B',C')$ kongruent (Kongruentzsatz: Seite - Seite - Seite ) und haben insbesondere den gleichen Flächeninhalt.
Weil du alle drei Seiten des Dreieckes kennst, kannst du nun damit den Flächeninhalt des Dreieckes ($A,B,C$) berechnen.
Du kannst dir anhand des Dreiecks ($A',B',C'$) nämlich die Höhe [mm] $h_{c'}$, [/mm] welche auf die Seite [mm] $\overline{A'B'}$ [/mm] (mit [m]c'=\begin{vmatrix} A'B' \end{vmatrix}[/m]) steht, ausrechnen und damit berechnest du die Fläche des Dreiecks ($A',B',C'$). Dieser Flächeninhalt ist genauso groß wie der des Dreiecks ($A,B,C$).
Tipp: benutze z.B. den Cosinus-Satz, um den Winkel [mm] $\alpha'$ [/mm] (das sei der Winkel, der an $A'$ anliege) auszurechnen:
[m]a'^2=(b')^2+(c')^2-2*b'*c'*cos(\alpha')[/m]
(Bemerkung: Auf der linkens Seite der Gleichung steht a hoch 2, rechts cos(alpha'). Nur, damit du a und [mm] $\alpha$ [/mm] (alpha) nicht als den gleichen Buchstaben liest!)
Dann gilt weiter:
[m]\frac{h_{c'}}{b'}=sin(\alpha')[/m] und dann errechnest du den Flächeninhalt zu:
Fläche des Dreiecks [mm] ($A',B',C'$)$=\frac{c'*h_{c'}}{2}=$Fläche [/mm] des Dreiecks ($A,B,C$)
Dieser Lösungsvorschlag ist sicher nicht der eleganteste, aber wenigstens ist es mal ein Ansatz. 
Mir ist gerade aufgefallen, dass du auch noch ein Problem mit der Parameterdarstellung hast. Damit will ich mich jetzt nicht mehr beschäftigen (ich müßte auch nachgucken, ob das, was ich glaube, in Erinnerung zu haben, was eine Parameterdarstellung ist, auch wirklich das ist, was man allgemein darunter versteht ). Vor allem wäre es aber hilfreich, wenn du mal dazuschreibst, was bei dir [mm] $\delta$ [/mm] und [mm] $\lambda$ [/mm] sind. Wozu gehören die genau?
So, ich habe doch nochmal nachgeguckt. Ich bin mir nicht sicher, ob ich das hier richtig verstehe. Ich denke, du sollst den Rand des Dreiecks mithilfe entsprechender Geradenstücke beschreiben, wobei die Gerade in Parameterdarstellung sein soll.
Also z.B. wäre die Gerade durch die Punkte A,B gegeben durch (O sei der Nullpunkt im [mm] $\IR^3$):
[/mm]
[mm] $g_{A,B}=\vec{OA}+r*\vec{AB}$ [/mm] ($r [mm] \in \IR$), [/mm] und wenn man nur die Strecke [m]\overline{AB}[/m] beschreiben will, dann müßte man einfach zusätzlich [m]0 \le r \le 1[/m] fordern.
(Wie man [mm] $\vec{AB}$ [/mm] berechnet, ist dir bekannt, oder? Sonst frage bitte nach!)
Ich hoffe, dass die Aufgabe auch so gemeint ist??
Viele Grüße
Marcel
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Falls dir das Vektorprodukt (auch: Kreuzprodukt) ein Begriff ist, gibt es eine einfache Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Falls du das Vektorprodukt nicht kennst, dann überlies den Vorschlag I.
Vorschlag I
Es seien A,B,C (mit den Ortsvektoren [mm]\vec{a} \, , \, \vec{b} \, , \, \vec{c}[/mm]) die Punkte eines Dreiecks. Dann hat dieses den Flächeninhalt
[mm]F = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2} | \, \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} \, |[/mm]
Vorschlag II
Geometrisch anschaulich geht es auch so.
Die Grundseite [mm]c = \left| \overrightarrow{AB} \right|[/mm] des Dreiecks kannst du wohl berechnen. Zur Berechnung des Flächeninhaltes fehlt dir jetzt noch die Höhe [mm]h_c[/mm]. Das ist aber nichts anderes als der Abstand des Punktes C von der Geraden AB.
Und den bekommst du so:
1. Stelle die Gleichung der Ebene E auf, die senkrecht auf AB steht und durch den Punkt C geht (Normalenvektor von E = ...???...).
2. Berechne den Schnittpunkt [mm]H_c[/mm] von E und AB (das ist der Fußpunkt der Höhe [mm]h_c[/mm]).
3. Berechne [mm]h_c = \left| \overrightarrow{CH_c} \right|[/mm] .
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