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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:27 So 03.05.2009 | | Autor: | Pikhand |
| Aufgabe | Hallo, hier die Aufgabe:
Berechnen Sie das Volumen von:
1. [mm] [{\vec x|\ x²+2y² \le z \le 4-x²}] [/mm] (kartesische Koordinaten)
2. [mm] [{\vec x|\ 0 \le z \le \wurzel{16-p²}\quad ,\quad 0 \le p \le 4cos(\varphi)}] [/mm] (Zylinderkoordinaten)
3. [mm] [{\vec x|\ r \le 3^{2/3}\quad ,\quad 1 \le tan(\gamma) \le 2\quad ,\quad 0 \le \varphi \le \bruch{pi}{2} }] [/mm] (Kugelkoordinaten)
und beschreiben Sie die Form dieser Integrationsbereiche in Worten oder in Form einer Skizze. |
Ich habe leider nicht die geringste Ahnung wie man so etwas löst und finde auch nirgendswo im Internet eine Aufgabe mit vergleichbaren Startbedingungen. Überall steht schon das Doppel oder Dreifachintegral, was man dann einfach nur noch ausrechnen muss.
Ich fände es klasse wenn mir jemand die Aufgabe vorrechnen oder einen Link zu einer ähnlichen Aufgabe schicken könnte.
Vielen Dank,
Steffen
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Hallo Pikhand,
> Hallo, hier die Aufgabe:
>
> Berechnen Sie das Volumen von:
>
> 1. [mm][{\vec x|\ x²+2y² \le z \le 4-x²}][/mm] (kartesische
> Koordinaten)
>
> 2. [mm][{\vec x|\ 0 \le z \le \wurzel{16-p²}\quad ,\quad 0 \le p \le 4cos(\varphi)}][/mm]
> (Zylinderkoordinaten)
>
> 3. [mm][{\vec x|\ r \le 3^{2/3}\quad ,\quad 1 \le tan(\gamma) \le 2\quad ,\quad 0 \le \varphi \le \bruch{pi}{2} }][/mm]
> (Kugelkoordinaten)
>
> und beschreiben Sie die Form dieser Integrationsbereiche in
> Worten oder in Form einer Skizze.
> Ich habe leider nicht die geringste Ahnung wie man so
> etwas löst und finde auch nirgendswo im Internet eine
> Aufgabe mit vergleichbaren Startbedingungen. Überall steht
> schon das Doppel oder Dreifachintegral, was man dann
> einfach nur noch ausrechnen muss.
> Ich fände es klasse wenn mir jemand die Aufgabe vorrechnen
> oder einen Link zu einer ähnlichen Aufgabe schicken
> könnte.
Nun, zunächst sind die Integrationsgrenzen festzulegen.
Bei der Aufgabe 1) sind die Integrationsgrenzen für z schon vorgegeben.
[mm]x²+2y² \le z \le 4-x²[/mm]
Damit sind nur noch die Integrationsgrenzen für x und y zu bestimmen.
Diese bekommst Du, wenn Du die Lösungsmenge der Ungleichung
[mm]x²+2y² \le 4-x² [/mm]
bestimmst.
> Vielen Dank,
> Steffen
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 So 03.05.2009 | | Autor: | Pikhand |
Dann bekomme ich [mm] x\le\pm\wurzel{2-y²} [/mm] und [mm] y\le\pm\wurzel{2-x²} [/mm] und wo sehe ich da jetzt die Grenzen? Und über was wird überhaupt integriert? Einfach über [mm] \integral_{?}^{?} \, dx\integral_{?}^{?} \, dy\integral_{x²+2y²}^{4-x²} z\, [/mm] dz ?
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Hallo Pikhand,
> Dann bekomme ich [mm]x\le\pm\wurzel{2-y²}[/mm] und
> [mm]y\le\pm\wurzel{2-x²}[/mm] und wo sehe ich da jetzt die Grenzen?
> Und über was wird überhaupt integriert? Einfach über
> [mm]\integral_{?}^{?} \, dx\integral_{?}^{?} \, dy\integral_{x²+2y²}^{4-x²} z\,[/mm]
> dz ?
Ich nehme mal
[mm]y \le \pm\wurzel{2-x^{2}\right)[/mm]
Für die Bestimmung der Grenzen für x ziehst Du den Wurzelausdruck heran.
Wann ist also dieser Wurzelausdruck
[mm]\wurzel{2-x^{2}}[/mm]
definiert.
Nun, genau dann, wenn [mm]2-x^{2} \ge 0[/mm].
Das sind jetzt die Grenzen für x.
Dann wird so integriert:
[mm]V=\integral_{?}^{?}{\integral_{-\wurzel{2-x^{2}}}^{+\wurzel{2-x^{2}}}{\integral_{x²+2y²}^{4-x^{2}}{\ dz} \ dy} \ dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 So 03.05.2009 | | Autor: | Pikhand |
ok, erst mal danke für die bisherige Hilfestellung.
Die Grenzen des letzten Integrals hab ich dann ja auch schon, richtig?
Dann kann ich mich ja tatsächlich endlich ans "Rechnen" setzen... herrlich ^^
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Hallo Pikhand,
> ok, erst mal danke für die bisherige Hilfestellung.
> Die Grenzen des letzten Integrals hab ich dann ja auch
> schon, richtig?
Ja.
> Dann kann ich mich ja tatsächlich endlich ans "Rechnen"
> setzen... herrlich ^^
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 03.05.2009 | | Autor: | Pikhand |
Hmm, also irgendwie bekomme ich da nur Schmu raus, ist das wirklich nun das Integral das ich lösen muss?
[mm] \integral_{-\wurzel{2-y^2}}^{\wurzel{2-y^2}}\, [/mm] dx [mm] \integral_{-\wurzel{2-x^2}}^{\wurzel{2-x^2}}\, [/mm] dy [mm] \integral_{x^2+2y^2}^{4-x^2}\, [/mm] dz
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Hallo Pikhand,
> Hmm, also irgendwie bekomme ich da nur Schmu raus, ist das
> wirklich nun das Integral das ich lösen muss?
>
> [mm]\integral_{-\wurzel{2-y^2}}^{\wurzel{2-y^2}}\,[/mm] dx
> [mm]\integral_{-\wurzel{2-x^2}}^{\wurzel{2-x^2}}\,[/mm] dy
> [mm]\integral_{x^2+2y^2}^{4-x^2}\,[/mm] dz
Die Grenzen für x sind Zahlenwerte, in dem Fall hier [mm]\pm \wurzel{2}[/mm].
Ich habe das ja schon mal geschriebeben.
[mm]V=\integral_{-\wurzel{2}}^{+\wurzel{2}}{\integral_{-\wurzel{2-x^{2}}}^{+\wurzel{2-x^{2}}}{\integral_{x²+2y²}^{4-x^{2}}{\ dz} \ dy} \ dx} [/mm]
Berechne zunächst das innerste Integral:
[mm]I_{2}\left(x,y\right)=\integral_{x²+2y²}^{4-x^{2}}{\ dz}[/mm]
Dann
[mm]I_{1}\left(x\right)=\integral_{-\wurzel{2-x^{2}}}^{+\wurzel{2-x^{2}}}{\ I_{2}\left(x,y\right) \ dy}[/mm]
Und zu guter letzt:
[mm]V=\integral_{-\wurzel{2}}^{+\wurzel{2}}{\ I_{1}\left(x\right) \ dx}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Pikhand |
Ok, das Integrieren schaffe ich jetzt denk ich alleine.
Wenn Du mir jetzt noch kurz erklärst wie Du auf die [mm] \wurzel{2} [/mm] als Grenzen gekommen bist, bin ich wunschlos glücklich :).
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Hallo Pikhand,
> Ok, das Integrieren schaffe ich jetzt denk ich alleine.
> Wenn Du mir jetzt noch kurz erklärst wie Du auf die
> [mm]\wurzel{2}[/mm] als Grenzen gekommen bist, bin ich wunschlos
> glücklich :).
Nun, aus der Bedingung
[mm]x^{2}+2y^{2} \le 4-x^{2} [/mm]
ergeben sich die Grenzen für y:
[mm]-\wurzel{2-x^{2}}\le y \le +\wurzel{2-x^{2}}[/mm]
Damit der Ausdruck [mm]\wurzel{2-x^{2}}[/mm] definiert ist,
muß [mm]2-x^{2} \ge 0[/mm] 0 sein, woraus sich
[mm]-\wurzel{2} \le x \le +\wurzel{2}[/mm]
ergibt.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 07.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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