Dreieck < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
| Aufgabe | f(x)= (x+1)*e^-x
a)Die Parallele zur y-Achse mit x=u, u>=0, schneidet den Graphen von f im Punkt Pu(u/f(u)) und den Graphen von f' im Punkt Qu (u/f'(u)).
Die Punkte Pu und Qu bilden mit dem Schnittpunkt S der Graphen f und f' das Dreieck S Pu Qu. Bestimmen Sie u>=0 so, dass der Flächeninhalt A(u) dieses Dreiecks maximal wird.
b)Die Graphen von f und f' schließen mit der Parallelen zur y-Achse mit x=u.u>0, ein Flächenstück ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in Abhängigkeit von u. Prüfen Sie. ob fr x [mm] \to \infty [/mm] das nach rechts unbegrenzte Flächenstück einen endlichen Flächeninhalt bestitzt. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=485290
http://forum.abi-pur.de/thread.php?threadid=4062&boardid=11&styleid=2&sid=6ne7l5lt7sev4l9v22ak73e8j5
http://www.abiunity.de/thread.php?threadid=23306&sid=
Also dann hab ich erstmal abgeleitet:
f'(x)=-xe^-x
dann den Schnittpunkt bestimmt:
also gleichgesetzt und nach x aufgelöst: x=-0,5 S (-0,5/0,5e^-0,5)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Di 06.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jetzt hast du ddoch 3 Punkte, zeichne auf und bestimme die Fläche des Dreiecks. überleg was gündtig als Grundseite ist um die Höhe leicht zu sehen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
das vertehe ich nicht welche 3 Punkte? ich habe eig. nur einen und ich würde dann die Seite PQ nehem um die höhe leicht zu sehen.. aber ich weiß beim besten willen nicht wie ich diese Strecken in eine Gleichung bringen soll... als funktion? aber wie bestimme ich dann dass de Funktion nur von da bis da geht...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 06.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
skizziere die 2 Kurven. zeichne rechts der x- achse ne parallele zu y achse bei x=u die schneidet f und f' das sind die Punkte [mm] P_u [/mm] und [mm] Q_u
[/mm]
jetz hast du 3 Punkte, verbinde sie und du hast ein Dreieck.
solche aufgaben sollte man IMMER mit ner Skizze beginnen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
ja so eine skizze habe ich schon angefertig aber wie bekomme ich raus wie der Flächinhalt maximal ist? also wie kann ich das in einer gleichung ausdrücken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Di 06.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Feste Punkt ist S, Q und P hängen von u ab, damit auch die Fläche A(u) und wie man das max einer fkt bestimmt weisst du doch. schreib erstmal A(u) hin!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
ich weiß nicht wie ich das machen soll..
A(u)=0,5*a*b
aber wie schreibe ich denn die Strecken auf?... ich habe keine ahnug wie ich diese in einer Gleichung/ Funktion ausdrücken soll..
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Hallo SallyIda,
> ich weiß nicht wie ich das machen soll..
> A(u)=0,5*a*b
> aber wie schreibe ich denn die Strecken auf?... ich habe
> keine ahnug wie ich diese in einer Gleichung/ Funktion
> ausdrücken soll..
Anhand Deiner Skizze kannst Du diese Gleichung aufstellen.
Markiere dazu die bekannten Punkte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
wo u bzw f(u) ist weiß ich ja eben nicht und dann kann ich die zwar irgendwo einzeichnen aber davon habe ich ja keine gleichung.. ich habe bereits in f u und in f' u eingesetzt und dann habe ich y=mx+b genommen und da einemal den Punkt S eingesetzt und f(u)u aber da kam ich nur auf so was total langes verwirrendes.. ?
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Hallo SallyIda,
> wo u bzw f(u) ist weiß ich ja eben nicht und dann kann ich
> die zwar irgendwo einzeichnen aber davon habe ich ja keine
> gleichung.. ich habe bereits in f u und in f' u eingesetzt
> und dann habe ich y=mx+b genommen und da einemal den Punkt
> S eingesetzt und f(u)u aber da kam ich nur auf so was total
> langes verwirrendes.. ?
Eine Geradengleichung brauchst Du hier nicht aufstellen.
Die Grundlinie und die Höhenlinie des Dreiecks
sind zueinander senkrecht. Damit kannst Du den
Flächeninhalt des Dreiecks angeben.
Der Schnittpunkt S von f und f' ist doch bekannt,
damit kannst Du auch sagen ob u links oder rechts
von diesem Schnittpunkt S liegt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
Also:
A(u)= 0,5*(u+0,5e^-0,5)*(f(u)-f'(u)) ?
(u+0,5e^-0,5) =höhe also ywert von s
(f(u)-f'(u)) =grundseite?
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Hallo SallyIda,
> Also:
> A(u)= 0,5*(u+0,5e^-0,5)*(f(u)-f'(u)) ?
> (u+0,5e^-0,5) =höhe also ywert von s
Hier muss doch stehen:
[mm]\left(u-x_{s}\right)[/mm]
wobei [mm]x_{s}[/mm] der x-Wert von S ist.
> (f(u)-f'(u)) =grundseite?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
A(u)= 0,5*(u-0,5e^-0,5)*(f(u)-f'(u))
ist das so dann richtig?
weil wenn ich das dann ableite bekomm ich
A'(u)= 0,5*((e^-u)*(2*u+1))+0,5*(u-0,5*e^-0,5)*((e^-u)*(-2u+1)
und dass bekomme ich nicht gleich null...
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Hallo SallyIda,
> A(u)= 0,5*(u-0,5e^-0,5)*(f(u)-f'(u))
> ist das so dann richtig?
Nein, das ist nicht richtig.
Die Flächenfunktion muss doch so lauten:
[mm]A\left(u\right)=0,5*\left(u-\red{x_{s}}\right)*\left(f\left(u\right)-f'\left(u\right)\right) [/mm]
> weil wenn ich das dann ableite bekomm ich
> A'(u)=
> 0,5*((e^-u)*(2*u+1))+0,5*(u-0,5*e^-0,5)*((e^-u)*(-2u+1)
> und dass bekomme ich nicht gleich null...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 06.03.2012 | | Autor: | SallyIda |
Das geht irgentwie immer noch nicht..
A(u)=0,5*(u+0,5)*((e^-u)(2u+1))
A'(u)=0,5*((e^-u)(2u+1))+0,5*(u+0,5)*((-e^-u)*(2u+1)+((e^-u)*2)
...
oder ist das dann:
A(u)= 0,5*(u+0,5)*e^-u also: e^-u(0,5u+1) ?
und die Ableitung
A'(u) = e^-u * (-0,5u-0,5) ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Di 06.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Ableitung ist nur fast richtig, die ersten 2 summanden richtig, beim letzten fehlt was.
wenn du das noch richtig hast klammer [mm] e^{-u} [/mm] aus, da das nie 0 wird muss die Klammer 0 werden, damit a'(u)=0 also alles zusammenfassen und ausrechnen.
gruss leduart
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