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| Aufgabe | | Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundlinie c=12cm und der Höhe hc=8cm soll das flächengrößte Rechteck einbeschrieben werden, sodass eine Seite des Rechtecks auf der Seite c des Dreiecks liegt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich hab die Aufgabe versucht zu lösen...
über den Starhlensatz habe ich erhalten: 12/8=x/y (mit x=halbe Breite des Rechtecks und mit y=Höhe des Rechtecks). Ich habe dann nach x aufgelöst und in die Formel eingesetzt für den Flächeninhalt des Rechtecks und erhalte [mm] A=(3/2)y^2-24y+96. [/mm] Dann habe ich 2 mal abgeleitet und die erste Ableitung gleich nuss gesetzt. Ich erhalte dann y=8.
Laut der 2.Ableitung handelt es sich aber um ein Minimum und ich soll doch ein Maximum berechnen.
Setze ich nun y=8 in die Formel für den Flächeninhalt ein, erhalte ich als Fläche null.
Irgendwetwas stimmt nicht, aber ich komme nicht drauf, was. Kann bit bitte jemand helfen?
Danke!
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Dein Strahlensatz-Ergebnis passt nicht zur Figur.
Der Strahlen-Ausgangspunkt ist der Punkt C, die beiden Parallelen sind einmal x und einmal die halbe (!) Grundseite. Und der eine Strahl läuft entlang der Höhe, und der erste Teil ist 8-y, der gesamte Teil 8, d.h. eigentlich heißt der Zusammenhang: EDIT: [mm] \bruch{x}{6}=\bruch{8-y}{\red{8}}
[/mm]
Vielleicht kommst du damit zu einem guten Ziel  .
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<Dein Strahlensatz-Ergebnis passt nicht zur Figur.
<Der Strahlen-Ausgangspunkt ist der Punkt C, die beiden Parallelen sind <einmal x und einmal die halbe (!) Grundseite. Und der eine Strahl läuft <entlang der Höhe, und der erste Teil ist 8-y, der gesamte Teil 8, d.h. <eigentlich heißt der Zusammenhang:
<Vielleicht kommst du damit zu einem guten Ziel .
Ich komme leider nicht zu diesem Ansatz. Kann mir bitte jemand erläutern, wie ich auf diesen Ansatz komme?
Danke!
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> <Dein Strahlensatz-Ergebnis passt nicht zur Figur.
>
> <Der Strahlen-Ausgangspunkt ist der Punkt C, die beiden
> Parallelen sind <einmal x und einmal die halbe (!)
> Grundseite. Und der eine Strahl läuft <entlang der Höhe,
> und der erste Teil ist 8-y, der gesamte Teil 8,
Hallo,
vor uns haben wir das Dreieck mit der Grundseite c=12, der Höhe [mm] h_c=8, [/mm] Dreiecksspitze C.
Zieh jetzt die 3 Seiten des rechten (rechtwinklige Teildreieck) farbig nach.
Zeichne jetzt ins große Dreieck Dein Rechteck ein.
Jetzt gucken wir wieder ins rechte Teildreieck.
Durch die obere Seite Deines Rechtecks wird ein Dreieck begrenzt mit der Spitze C und der "Unter"seite 2x.
Markiere von diesem Dreieck das rechte Teildreieck in einer zweiten Farbe.
Du hast nun zwei ähnliche Dreiecke, mit welchen wir jetzt arbeiten.
Es gilt, daß immer das Verhältnis "klein: groß " gleich ist.
Also verhält sich die Unterseite des kleinen Dreiecks zur Unterseite des großen genauso, wie die Höhe des kleinen zur Höhe des großen: [mm] \bruch{x}{6}=\bruch{8-y}{8}.
[/mm]
Oder, wenn Du lieber in Strahlensatzsprache reden möchtest:
Du hast ja die Seiten gesucht, die der 12 und der 8 entsprechen.
Der 12 entspricht 2x, das dürfte klar sein.
Um die Entsprechung für die 8 zu finden, mußt Du den Teil der Höhe nehmen, der direkt an C liegt, also 8-y, und nicht den abgeschnippelten Teil y unten.
Ich hoffe, Du kannst mein Reden an Deiner Zeichnung nachvollziehen. Ich kann all diese modernen Sachen mit Zeichenprogrammen etc. noch nicht.
(Vielleicht kommt ja auch wieder einer der guten Geister mit 'nem Bildchen.)
Gruß v. Angela
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Super! Ich hab deine Erklärung verstanden! Ich hab das Bild immer falsch angeschaut... Aber jetzt ist der zusammenhang klar!
Super!
Danke!
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Wenn ich den Ansatz von Dir nehme, komme ich auf
x=(32/y)-6.
Das habe ich in
A=(12-2x)·(8-y)
eingesetzt. Dann komme ich auf
A=(256/y)-6y+80.
Ableitungen:
[mm] A'=(256/y^2)-6
[/mm]
[mm] A''=-(512/y^3)
[/mm]
Dann habe ich A'=0 gesetzt und erhalte:
y=Wurzel(128/3)
Hierbei handelt es sich dann um ein Maximum, weil A''<0. Wenn ich den Wert für y dann in A eingebe, erhalte ich [mm] 1,61cm^2. [/mm] Ich finde die Fläche extrem klein, wenn ich bedenke, dass die Fläche vom Dreieck [mm] 48cm^2 [/mm] beträgt.
Kann mein Ergebnis denn dann stimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Fr 26.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Wie kommst du auf den Wert?
Du hast [mm] A_{Rechteck}=2xy
[/mm]
Und als Nebenbedingung:
[mm] \bruch{x}{6}=\bruch{8-y}{y}
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{48-6y}{y}
[/mm]
Wenn du das nach y auflöst, ergibt sich:
[mm] \bruch{x}{6}=\bruch{8-y}{y}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{6}=\bruch{8}{y}-\bruch{y}{y}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{6}=\bruch{8}{y}-1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{6}=\bruch{8}{y}-1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{x}{6}+1=\bruch{8}{y}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{\bruch{x}{6}+1}=\bruch{y}{8}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{8}{\bruch{x}{6}+1}=y
[/mm]
Also: [mm] A(x)=2x*\bruch{8}{\bruch{x}{6}+1}=\bruch{16x}{\bruch{x}{6}+1}
[/mm]
Aber warum so kompliziert?
[mm] \bruch{x}{6}=\bruch{8-y}{y}
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{8-y}{y}*6=\bruch{6(8-y)}{y}=\bruch{48-6y}{y}=\bruch{48}{y}-6
[/mm]
Also [mm] A(y)=2*y*\left(\bruch{48}{y}-6\right)
[/mm]
Marius
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Dann komme ich auf 96-12y=A
Kann das sein?
Und wie komme ich dann auf y???
Ich bin total verwirrt...
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> Dann komme ich auf 96-12y=A
Hallo,
ja,
A(y)=96-12y.
> Kann das sein?
Nein.
Schade, daß Du nicht sagst, warum das nicht sein kann...
Man merkt es daran, daß das gesamte Dreieck nur 48 FE groß ist, aber für die Rechtecksfläche oben größere Werte herauskommen können, und man muß nicht Mathematik studiert haben, um einzusehen, daß das nicht der Fall sein kann.
Also gibt es irgendwo einen Fehler, welchen man dann in weightgainers Ansatz entdeckt.
Richtig müßte es dort heißen: [mm] \bruch{x}{6}=\bruch{8-y}{\red{8}}, [/mm] was auch den Vorteil hat, daß dadurch alles einfacher wird.
Du hast damit [mm] x=6*\bruch{8-y}{8}=-\bruch{3}{4}y+ [/mm] 6,
was Dir für die Rechteckfläche liefert
[mm] A(y)=2*(-\bruch{3}{4}y+ [/mm] 6)*y,
und da kannst Du Dich, wenn Du alles verdaut hast, draufstürzen.
Gruß v. Angela
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> Du hast damit [mm]x=6*\bruch{8-y}{8}=-\bruch{3}{4}y+[/mm] 6,
>
> was Dir für die Rechteckfläche liefert
>
> [mm]A(y)=2*(-\bruch{3}{4}y+[/mm] 6)*y,
???
Ich dachte, y ist das im kleinen Dreieck abgeschnippelte Stück?
Aber y ist jetzt die Höhe vom Rechteck...
???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Fr 26.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Du hast damit [mm]x=6*\bruch{8-y}{8}=-\bruch{3}{4}y+[/mm] 6,
> >
> > was Dir für die Rechteckfläche liefert
> >
> > [mm]A(y)=2*(-\bruch{3}{4}y+[/mm] 6)*y,
>
> ???
> Ich dachte, y ist das im kleinen Dreieck abgeschnippelte
> Stück?
> Aber y ist jetzt die Höhe vom Rechteck...
> ???
Davon war ich ausgegangen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
mit h=8, a=12
Und damit kommt man auf [mm] \bruch{x}{6}=\bruch{8-y}{8}
[/mm]
>
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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