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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie $\integral_{\Delta}^{}{(x^2+y^2) d(x,y)}$
wobei $\Delta$ das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0), (1,0) und (1/2,1/2) ist. |
Hallo zusammen,
laut Lösung soll hier $1/12$ die richtige Lösung sein – ich komme allerdings auf $1/3$.
Ist mein Rechenweg falsch (wenn, dann höchstwahrscheinlich die Integrationsgrenzen) und, wenn ja, an welcher Stelle?
$\integral_{x=0}^{1}{ \left( \integral_{y=0}^{x}{ (x^2+y^2) dy \right) } dx} = \integral_{x=0}^{1}{ \left( x^3+\frac{1}{3}x^3 \right) dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{1}{3}$
Die Integrationsgrenze $x$ habe ich ermittelt, indem ich die Gerade durch die Punkte (0|0) und (0,5|0,5) aufgestellt habe.
Viele Grüße
Patrick
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Hallo,
schau dir doch bitte das Dreieck noch einmal ganz genau an. Wenn du dann den y-Abschnitt in Abhängigkeit von x darstellst, dann siehst du ja, dass ab x=1/2 die y-Komponente wieder kleiner wird.
Splitte dein INtegral also in Teilintegrale auf.
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Hallo Richie,
danke für Deine Antwort.
Das heißt also, dass ich erstmal
[mm] $\integral_{x = 0}^{0,5}{ \integral_{y = 0}^{x}{ (x^2+y^2) dy } dx} [/mm] = 0,0208333$
berechne ("aufwärts") und dann
[mm] $\integral_{x = 0,5}^{1}{ \integral_{y = 0,5}^{-x+1}{ (x^2+y^2) dy } dx} [/mm] = -0,104167$
("abwärts"), oder?
Das zusammengerechnet ergibt $-0,0833337$ (das Minuszeichen kann ich ja ignorieren, da die Fläche positiv sein muss), was zwar nah an [mm] $\frac{1}{12} [/mm] = 0,083333...$ dran ist, aber so ganz passt das nicht …
Viele Grüße
Patrick
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Hi noch einmal,
> Hallo Richie,
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> danke für Deine Antwort.
> Das heißt also, dass ich erstmal
>
> [mm]\integral_{x = 0}^{0,5}{ \integral_{y = 0}^{x}{ (x^2+y^2) dy } dx} = 0,0208333[/mm]
>
> berechne ("aufwärts") und dann
>
> [mm]\integral_{x = 0,5}^{1}{ \integral_{y = 0,5}^{-x+1}{ (x^2+y^2) dy } dx} = -0,104167[/mm]
Argh, fast ;)
[mm] \integral_{x = 0,5}^{1}{ \integral_{y = \red{0}}^{-x+1}{ (x^2+y^2) dy } dx}
[/mm]
>
> ("abwärts"), oder?
>
> Das zusammengerechnet ergibt [mm]-0,0833337[/mm] (das Minuszeichen
> kann ich ja ignorieren, da die Fläche positiv sein muss),
> was zwar nah an [mm]\frac{1}{12} = 0,083333...[/mm] dran ist, aber
> so ganz passt das nicht …
Mit obiger Korrektor passt das ganze dann.
>
> Viele Grüße
> Patrick
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Hi,
> > [mm]\integral_{x = 0,5}^{1}{ \integral_{y = 0,5}^{-x+1}{ (x^2+y^2) dy } dx} = -0,104167[/mm]
>
> Argh, fast ;)
> [mm]\integral_{x = 0,5}^{1}{ \integral_{y = \red{0}}^{-x+1}{ (x^2+y^2) dy } dx}[/mm]
danke für die Korrektur.
Warum ist denn die untere Grenze vom inneren Integral gleich 0? Ich bin doch sozusagen nur an der "zweiten Hälfte" des spitzwinkligen Dreiecks interessiert, das bei $x=0,5$ beginnt.
Gruß
Patrick
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hey,
insgesamt geht doch aber den y-Bereich von 1/2 bis 0, denn bei x=1 ist y=0. Das ist ja einer der Eckpunkte des Dreiecks.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 So 21.07.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Okay, das macht Sinn. Danke!
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