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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Do 24.01.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Man berechne [mm] \int_B d\omega [/mm] und [mm] \int_{\partial B} \omega [/mm] mit [mm] \omega [/mm] = [mm] (x^2+e^y) [/mm] dx + [mm] (e^x+ln(y)) [/mm] dy
wobei B das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0),(0,2) und (2,2) ist. |
Hallo zusammen:
Über die Fläche des Dreiecks:
d [mm] \omega [/mm] = [mm] e^x [/mm] - [mm] e^y [/mm] dx dy
[mm] \int_B d\omega [/mm] = [mm] \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} e^x [/mm] - [mm] e^y [/mm] dx dy [mm] =\int_{x=0}^{x=2} e^x [/mm] x - [mm] e^x [/mm] +1 dx= [mm] e^2 [/mm] +3
Über den Rand des Dreiecks:
[mm] s_1 [/mm] : [0,2] -> [mm] \IR^2 [/mm] , t->(0,2-t)
[mm] s_2 [/mm] : [0,2] -> [mm] \IR^2 [/mm] , t->(t,t)
[mm] s_3 [/mm] : [0,2] -> [mm] \IR^2 [/mm] , t->(2-t,t)
[mm] s_1^{\*} \omega [/mm] =ln(2-t)d(2-t)=-ln(2-t) dt
[mm] s_2^{\*} \omega =(t^2 [/mm] + [mm] e^t [/mm] + [mm] e^t [/mm] + ln(t) ) dt
[mm] s_3^{\*} \omega =((2-t)^2 [/mm] + [mm] e^2) [/mm] d(2-t) + [mm] (e^{2-t} [/mm] + ln(2)) [mm] d2=-4+4t-t^2 -e^2 [/mm] dt
[mm] \int_{s_1} s_1^{\*} \omega= [/mm] - [mm] \int_0^2 [/mm] ln(2-t)=..=-2ln(2)-2
[mm] \int_{s_2} s_2^{\*} \omega= \int_0^2 t^2 [/mm] + [mm] 2e^t [/mm] + ln(t) dt =..= 8/3 + [mm] 2e^2 [/mm] + 2ln(2) -2-2
[mm] \int_{s_3} s_3^{\*} \omega [/mm] = [mm] \int_0^2 -e^2 [/mm] - [mm] t^2 [/mm] +4t - 4 dt= -2 [mm] e^3 [/mm] - 8/3 + 8 -8
Wo liegen meine Fehler, nach Satz von Stokes, müsste das selbe rauskommen?=
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Hallo sissile,
> Man berechne [mm]\int_B d\omega[/mm] und [mm]\int_{\partial B} \omega[/mm]
> mit [mm]\omega[/mm] = [mm](x^2+e^y)[/mm] dx + [mm](e^x+ln(y))[/mm] dy
> wobei B das Dreieck mit den Eckpunkten (0,0),(0,2) und
> (2,2) ist.
> Hallo zusammen:
> Über die Fläche des Dreiecks:
> d [mm]\omega[/mm] = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^y[/mm] dx dy
> [mm]\int_B d\omega[/mm] = [mm]\int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} e^x[/mm] -
> [mm]e^y[/mm] dx dy [mm]=\int_{x=0}^{x=2} e^x[/mm] x - [mm]e^x[/mm] +1 dx= [mm]e^2[/mm] +3
>
Da hab ich etwas anderes.
> Über den Rand des Dreiecks:
> [mm]s_1[/mm] : [0,2] -> [mm]\IR^2[/mm] , t->(0,2-t)
> [mm]s_2[/mm] : [0,2] -> [mm]\IR^2[/mm] , t->(t,t)
> [mm]s_3[/mm] : [0,2] -> [mm]\IR^2[/mm] , t->(2-t,t)
>
Der Weg [mm]s_{3}[/mm] muss doch von (2,2) nach (0,2) gehen.
> [mm]s_1^{\*} \omega[/mm] =ln(2-t)d(2-t)=-ln(2-t) dt
> [mm]s_2^{\*} \omega =(t^2[/mm] + [mm]e^t[/mm] + [mm]e^t[/mm] + ln(t) ) dt
> [mm]s_3^{\*} \omega =((2-t)^2[/mm] + [mm]e^2)[/mm] d(2-t) + [mm](e^{2-t}[/mm] +
> ln(2)) [mm]d2=-4+4t-t^2 -e^2[/mm] dt
>
> [mm]\int_{s_1} s_1^{\*} \omega=[/mm] - [mm]\int_0^2[/mm]
> ln(2-t)=..=-2ln(2)-2
Auch hier habe ich etwas anderes.
> [mm]\int_{s_2} s_2^{\*} \omega= \int_0^2 t^2[/mm] + [mm]2e^t[/mm] + ln(t) dt
> =..= 8/3 + [mm]2e^2[/mm] + 2ln(2) -2-2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\int_{s_3} s_3^{\*} \omega[/mm] = [mm]\int_0^2 -e^2[/mm] - [mm]t^2[/mm] +4t - 4
> dt= -2 [mm]e^3[/mm] - 8/3 + 8 -8
>
>
> Wo liegen meine Fehler, nach Satz von Stokes, müsste das
> selbe rauskommen?=
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 24.01.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo
Beim integrieren über die Fläche, was ist da denn genau falsch?
d $ [mm] \omega [/mm] $ = $ [mm] e^x [/mm] $ - $ [mm] e^y [/mm] $ dx dy
[mm] \int_B [/mm] d [mm] \omega [/mm] = [mm] \int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} e^x [/mm] - [mm] e^y [/mm] dx dy
Stimmt das denn, oder ist da schon der Ansatz falsch?
Ich bin mir nämlich nicht sicher mit der Reihenfolge. Da ja hier der Tensor umgewandelt wird zum Längenmaß, und das Vorzeichen verloren geht. Gehört also wenn ich dann dy dx schreibe ein - davor?
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Hallo sissile,
> Hallo
> Beim integrieren über die Fläche, was ist da denn genau
> falsch?
> d [mm]\omega[/mm] = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^y[/mm] dx dy
> [mm]\int_B[/mm] d [mm]\omega[/mm] = [mm]\int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} e^x[/mm] -
> [mm]e^y[/mm] dx dy
Da Du zuletzt über x integrierst, muß das so lauten:
[mm]\int_{x=0}^{x=2} \int_{y=0}^{y=x} e^x - e^y \blue{\ dy \ dx}[/mm]
> Stimmt das denn, oder ist da schon der Ansatz falsch?
> Ich bin mir nämlich nicht sicher mit der Reihenfolge. Da
> ja hier der Tensor umgewandelt wird zum Längenmaß, und
> das Vorzeichen verloren geht. Gehört also wenn ich dann dy
> dx schreibe ein - davor?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Do 24.01.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Aber dann muss doch auch ein minus davor?
> d $ [mm] \omega [/mm] $ = $ [mm] e^x [/mm] $ - $ [mm] e^y [/mm] $ dx dy
= - [mm] (e^x [/mm] - [mm] e^y) [/mm] dy dx
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Hallo sissile,
> Hallo,
> Aber dann muss doch auch ein minus davor?
>
Nein.
> > d [mm]\omega[/mm] = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^y[/mm] dx dy
> = - [mm](e^x[/mm] - [mm]e^y)[/mm] dy dx
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 24.01.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo nochmal.
Fürs integral erhalte ich dann 0.
Aber trotzdem verstehe ich es noch nicht ganz.
d [mm] \omega= e^y [/mm] dy dx + [mm] e^x [/mm] dx dy = [mm] e^x [/mm] - [mm] e^y [/mm] dx dy
Dass nun dy dx steht muss ich doch den tensor vertauschen und dabei entseht ein Minus?
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Hallo sissile,
> Hallo nochmal.
> Fürs integral erhalte ich dann 0.
>
> Aber trotzdem verstehe ich es noch nicht ganz.
> d [mm]\omega= e^y[/mm] dy dx + [mm]e^x[/mm] dx dy = [mm]e^x[/mm] - [mm]e^y[/mm] dx dy
> Dass nun dy dx steht muss ich doch den tensor vertauschen
> und dabei entseht ein Minus?
Ausgehend von [mm]w=(x^2+e^y) \ dx + (e^x+ln(y)) \ dy[/mm]
ist doch
[mm]dw=\bruch{\partial \left( \ x^2+e^y \ \right)}{\partial y} \ dx \ dy+ \bruch{\partial \left( \ e^x+ln(y) \ \right)}{\partial x} \ dy \ dx=-\bruch{\partial \left( \ x^2+e^y \ \right)}{\partial y} \ dy \ dx+ \bruch{\partial \left( \ e^x+ln(y) \ \right)}{\partial x} \ dy \ dx[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 24.01.2013 | | Autor: | sissile |
Ich habe die äußere ABleitung so gelernt:
Sei [mm] \omega [/mm] = [mm] \sum_{I \in \IN_n^k} f_I dx_I
[/mm]
d [mm] \omega [/mm] := [mm] \sum_{I\in \IN_n^k} \sum_{m=1}^n \partial_{x_m} f_I d(x_m, x_I)
[/mm]
Also das zuerst der tensor steht nachdem differenziert wird und dann die restlichen!
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Hallo sissile,
> Ich habe die äußere ABleitung so gelernt:
> Sei [mm]\omega[/mm] = [mm]\sum_{I \in \IN_n^k} f_I dx_I[/mm]
> d [mm]\omega[/mm] :=
> [mm]\sum_{I\in \IN_n^k} \sum_{m=1}^n \partial_{x_m} f_I d(x_m, x_I)[/mm]
>
> Also das zuerst der tensor steht nachdem differenziert wird
> und dann die restlichen!
Dann ist das "-" korrekt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Do 24.01.2013 | | Autor: | sissile |
Danke , ich hätte noch eine Frage bez. Parameterisierung des Randes [mm] \partial [/mm] B:
[mm] s_1 [/mm] : [0,2] -> [mm] \IR^2 [/mm] , t -> (0,2-t)
[mm] s_1^{\*} \omega [/mm] = (1+ln(2-t)) d(2-t)=( -1-ln(2-t) )dt
[mm] \int_{s_1} s^{\*} \omega [/mm] = [mm] \int_0^1 [/mm] ( -1-ln(2-t) )dt = -t - (2-t) ln(2-t)-(2-t) = -2+2ln(2)-2=-2+ 2 ln(2) +2= 2 ln(2)
$ [mm] \int_{s_2} s_2^{*} \omega=..=8/3 [/mm] + $ [mm] 2e^2 [/mm] $ + 2ln(2) -2-2
hier gabs du dein ok.
[mm] s_3 [/mm] : [0,2] -> [mm] \IR^2 [/mm] , t-> (2-t,2)
[mm] s_3^{\*} \omega [/mm] = [mm] ((2-t)^2 +e^2) [/mm] d(2-t) + [mm] (e^{2-t} [/mm] + ln(2)) d(2) = - [mm] 4+4t-t^2-e^2 [/mm] dt
[mm] \int_{s_3} s_3^{\*} \omega [/mm] = [mm] \int_0^2 -e^2 [/mm] - [mm] t^2 [/mm] + 4t - 4 [mm] dt=..=-2e^2 [/mm] - 8/3 + 8 - 8
Irgendwas passt da noch immer nicht..!
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Hallo sissile,
> Danke , ich hätte noch eine Frage bez. Parameterisierung
> des Randes [mm]\partial[/mm] B:
>
> [mm]s_1[/mm] : [0,2] -> [mm]\IR^2[/mm] , t -> (0,2-t)
>
> [mm]s_1^{\*} \omega[/mm] = (1+ln(2-t)) d(2-t)=( -1-ln(2-t) )dt
> [mm]\int_{s_1} s^{\*} \omega[/mm] = [mm]\int_0^1[/mm] ( -1-ln(2-t) )dt = -t
> - (2-t) ln(2-t)-(2-t) = -2+2ln(2)-2=-2+ 2 ln(2) +2= 2
Stammfunktion lautet doch: [mm]-t \blue{+} (2-t) ln(2-t)-(2-t)[/mm]
> ln(2)
>
Das muss hier gerade das negative davon sein.
> $ [mm]\int_{s_2} s_2^{*} \omega=..=8/3[/mm] + $ [mm]2e^2[/mm] $ + 2ln(2)
> -2-2
> hier gabs du dein ok.
>
> [mm]s_3[/mm] : [0,2] -> [mm]\IR^2[/mm] , t-> (2-t,2)
> [mm]s_3^{\*} \omega[/mm] = [mm]((2-t)^2 +e^2)[/mm] d(2-t) + [mm](e^{2-t}[/mm] +
> ln(2)) d(2) = - [mm]4+4t-t^2-e^2[/mm] dt
> [mm]\int_{s_3} s_3^{\*} \omega[/mm] = [mm]\int_0^2 -e^2[/mm] - [mm]t^2[/mm] + 4t - 4
> [mm]dt=..=-2e^2[/mm] - 8/3 + 8 - 8
>
> Irgendwas passt da noch immer nicht..!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Do 24.01.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
nochmal ich^^ ;)
Also kommt nun im gesamten bei den Integralen -4 raus?
Liebe Grüße
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Hallo sissile,
> Hallo,
> nochmal ich^^ ;)
>
> Also kommt nun im gesamten bei den Integralen -4 raus?
>
Ja.
> Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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