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Bei der Berechnung des Charakteristischen Polynoms "größerer Matrizen" wäre es doch praktisch, diese erst auf Dreiecksform zu bringen, um die Determinante bequem über die Diagonalelemente berechnen zu können.
FRAGE:
Kann man jede Matrix auf Dreiecksform bringen?
"Dann" wäre ja für jede nxn-Matrix in Dreiecksform das Charakteristische Polynom [mm] (1-\lambda)^n [/mm] ?!
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Hi geigenzaehler,
Du kannst jede quadratische Matrix ueber einem Koerper mit dem Gaussalgorithmus in Dreiecksform bringen, ja.
Allerdings bist du hier nicht ueber einem Koerper!
Genauer: Du willst die Determinante von [mm] $(\lambda I_n [/mm] - A)$ berechnen fuer das charakteristische Polynom von $A$. Hier kannst du den Gaussalgorithmus nicht ohne weiteres anwenden, da du nicht durch Ausdruecke teilen darfst, die ein [mm] $\lambda$ [/mm] enthalten (also insbesondere kannst du nicht sowas machen wie zum Beispiel das [mm] $\frac{5}{2+3\lambda}$-fache [/mm] einer Zeile von einer anderen abziehen).
Deshalb wird es in diesem Fall schwer bis unmoeglich die Matrix auf Dreiecksgestalt zu bringen.
Also nochmal in kurz: du arbeitest mit der Matrix, die bereits [mm] $\lambda$s [/mm] enthaelt; diese wirst du nur schwer auf Dreiecksgestalt bringen koennen - du darfst die Matrix $A$ selbst vorher NICHT aendern, das wuerde dir ein anderes charakteristisches Polynom liefern.
lg
Schadow
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Danke für die Antwort!
Deine Antwort stimmt bestimmt, aber ich habe Probleme, es nachzuvollziehen.
Wenn die gegebene Matrix Einträge aus [mm] \IR [/mm] hat, dann bildet die Menge dieser Matrizen mit den Verknüpfungen +,* keinen Körper?
Ich versuche es mir mal selbst zu beantworten: Kann kein Körper sein, da 2 Matrizen A,B aus besagter Menge, beide [mm] \not=0, [/mm] miteinander multipliziert totzdem Null ergeben können. Außerdem sind nicht alle diese quadrat. Matrizen invertierbar und da sie i.d.R. auch nicht kommutativ multiplizierbar sind, handelt es sich bei der Menge höchstens um einen Ring.
Stimmt das?
Daraus folgt, dass ich A nicht einfach mit Gaus umformen kann, oder?
Ich möchte auf die Frage abzielen, ob es Möglichkeiten gibt, derartige Matrizen so in eine geschickte Form zu bringen, dass sich die Determiante nicht ändert?
Darum geht es doch, oder?
Oder ginge das dann trotzdem nicht, die geg. Matrix vorher in eine "determinantenäquivalente" Form zu bringen und mit dieser dann die Determinante für das charakteristische Polynom zu berechnen?
(Ich vermute "nein", diese Antwort wurde ja auch schon gegeben.)
> Hier
> kannst du den Gaussalgorithmus nicht ohne weiteres
> anwenden, da du nicht durch Ausdruecke teilen darfst, die
> ein [mm]\lambda[/mm] enthalten (also insbesondere kannst du nicht
> sowas machen wie zum Beispiel das
> [mm]\frac{5}{2+3\lambda}[/mm]-fache einer Zeile von einer anderen
> abziehen).
Hängt das das mit dem Problem der invertierbaren Elemente in einem Ring zusammen? Warum spielt [mm] \lambda [/mm] da eine Sonderrolle? Oder meinst Du, dass ich, wenn ich Gauss anwenden möchte, irgendwann an den Punkt komme, dass ich durch [mm] \lambda [/mm] teilen müsste? [mm] \lambda [/mm] wäre ja aus [mm] \IR, [/mm] oder? Ich bringe es nicht so recht zusammen, dass die Einträge an sich sind aus einem Körper, aber die Matrix nicht. Da die Matrix nicht aus einem Körper kommt, kann ich auch die Matrixeinträge nicht so behandeln, als ob sie aus einem Körper kämen?
> Deshalb wird es in diesem Fall schwer bis unmoeglich die
> Matrix auf Dreiecksgestalt zu bringen.
>
> Also nochmal in kurz: du arbeitest mit der Matrix, die
> bereits [mm]\lambda[/mm]s enthaelt; diese wirst du nur schwer auf
> Dreiecksgestalt bringen koennen - du darfst die Matrix [mm]A[/mm]
> selbst vorher NICHT aendern, das wuerde dir ein anderes
> charakteristisches Polynom liefern.
Haben Matrizen mit derselben Determinante nicht dasselbe charakteristische Polynom, oder hängt es von der algebraischen Struktur ab, in welcher die Matrix wohnt?
Ich wäre froh, das ganze zu verstehen, da es ja wirklich fundamental ist!
Danke für Erläuterungen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:57 Fr 07.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort!
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> Deine Antwort stimmt bestimmt, aber ich habe Probleme, es
> nachzuvollziehen.
>
> Wenn die gegebene Matrix Einträge aus [mm]\IR[/mm] hat, dann bildet
> die Menge dieser Matrizen mit den Verknüpfungen +,* keinen
> Körper?
> Ich versuche es mir mal selbst zu beantworten: Kann kein
> Körper sein, da 2 Matrizen A,B aus besagter Menge, beide
> [mm]\not=0,[/mm] miteinander multipliziert totzdem Null ergeben
> können.
lies' bitte nach, was
![[]](/images/popup.gif) Matrix über einem Körper
bedeutet. Dass der Ring der Matrizen über dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] etwa selbst keinen
Körper, sondern einen Ring, bildet, steckt ja schon im Namen "Ring der
Matrizen" mit drin.
Darum geht es aber gar nicht bei "Matrizen über einem Körper"...
Es ist aber wichtig, dass Du das selbst für Dich klärst, sonst kommt in zwei
Wochen wieder eine ähnliche Frage mit dem gleichen falschen Denkschema...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 09.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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