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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Dreiecksmatrizen
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Dreiecksmatrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:21 Di 14.07.2009
Autor: Unk

Aufgabe
Gegeben seien [mm] U_1,u_2 [/mm] orthogonale [mm] (n\times [/mm] n)-Matrizen und [mm] R_1,R_2 [/mm] obere Dreiecksmatrizen mit positiven Diagonalkoeffizienten.
Beweisen Sie folgenden Sachverhalt: Gilt [mm] U_1R_1=U_2R_2, [/mm] dann ist [mm] U_1=U_2 [/mm] und [mm] R_1=R_2. [/mm]

Hallo,

ich habe hier versucht, da die orthogonalen Matrizen invertierbar sind, hiermit die Gleichung irgendwie umzuformen. Natürlich kommt man damit nicht auf das Ergebnis.
Es muss also irgendwie anders gehen.

        
Bezug
Dreiecksmatrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:07 Di 14.07.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Gegeben seien [mm]U_1,u_2[/mm] orthogonale [mm](n\times[/mm] n)-Matrizen und
> [mm]R_1,R_2[/mm] obere Dreiecksmatrizen mit positiven
> Diagonalkoeffizienten.
>  Beweisen Sie folgenden Sachverhalt: Gilt [mm]U_1R_1=U_2R_2,[/mm]
> dann ist [mm]U_1=U_2[/mm] und [mm]R_1=R_2.[/mm]

>

> ich habe hier versucht, da die orthogonalen Matrizen
> invertierbar sind,

und die oberen Dreiecksmatrizen ebenfalls, da die Diagonaleintraege nicht 0 sind!

> hiermit die Gleichung irgendwie
> umzuformen. Natürlich kommt man damit nicht auf das
> Ergebnis.

Doch, es liefert schonmal einen guten Anfang.

Damit ist naemlich [mm] $U_2^{-1} U_1 [/mm] = [mm] R_2 R_1^{-1}$. [/mm] Auf der linken Seite steht eine orthogonale Matrix, auf der rechen eine obere Dreiecksmatrix.

Jetzt ueberleg dir folgendes:
(i) die obere Dreiecksmatrix auf der rechten Seite hat positive Diagonaleintraege;
(ii) die einzigen oberen Dreiecksmatrizen, die orthogonal sind, sind Diagonalmatrizen mit Diagonaleintraegen [mm] $\pm [/mm] 1$.

Wenn du beides kombinierst, bekommst du [mm] $U_1 [/mm] = [mm] U_2$ [/mm] und [mm] $R_1 [/mm] = [mm] R_2$. [/mm]

LG Felix


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