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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Mo 09.03.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Im Heuser, Lehrbuch der Analysis 1(S.98, Ende Kapitel 12) steht:
..und definieren den Abstand der "Punkte" x,y [mm] \in \IR^n [/mm] durch
[mm] d(x,y):=(\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2)^{\frac{1}{2}}.
[/mm]
Nun stehen wir aber vor der Aufgabe zu prüfen, ob dieser Abstand in dem Sinne "vernünftig" ist, daß er den metrischen Axiomen (M1) bis (M3) genügt. Das ist in der Tat der Fall: (M1) und (M2) sind trivialerweise erfüllt, die Dreiecksungleichung (M3) ist aber nichts anderes als (12.2)
Unter 12.2 steht die Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel:
[mm] \sqrt[n]{a_1*...*a_n} \le \frac{a_1 +...+a_n}{n} (a_1,..,a_n \ge [/mm] 0).
Was hat die Ungleichung zwischen arithmetischen und geometrischen Mittel mit der Dreiecksungleichung zu tun? |
Hallo,
Die Dreiecksungleichung: [mm] $\forall [/mm] x,z,y [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] d(x,z)\le [/mm] d(x,y)+d(y,z)$
LG,
sissi
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Hallo sissile,
> Im Heuser, Lehrbuch der Analysis 1(S.98, Ende Kapitel 12)
> steht:
> ..und definieren den Abstand der "Punkte" x,y [mm]\in \IR^n[/mm]
> durch
> [mm]d(x,y):=(\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2)^{\frac{1}{2}}.[/mm]
> Nun
> stehen wir aber vor der Aufgabe zu prüfen, ob dieser
> Abstand in dem Sinne "vernünftig" ist, daß er den
> metrischen Axiomen (M1) bis (M3) genügt. Das ist in der
> Tat der Fall: (M1) und (M2) sind trivialerweise erfüllt,
> die Dreiecksungleichung (M3) ist aber nichts anderes als
> (12.2)
>
> Unter 12.2 steht die Ungleichung zwischen arithmetischen
> und geometrischen Mittel:
> [mm]\sqrt[n]{a_1*...*a_n} \le \frac{a_1 +...+a_n}{n} (a_1,..,a_n \ge[/mm]
> 0).
>
> Was hat die Ungleichung zwischen arithmetischen und
> geometrischen Mittel mit der Dreiecksungleichung zu tun?
Schau noch mal in dein Buch. Gemeint ist nicht der Abschnitt 12.2, sondern die Gleichung mit der Nummer (12.2). Das ist die Minkowskische Ungleichung, und die entspricht tatsächlich genau der Dreiecksungleichung.
Wie du aber auch im Heuser im Abschnitt 12.2 und 12.3 lesen kannst, kann man aus der Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel erst die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und dann die Minkowskische Ungleichung folgern, woraus dann sofort die Dreiecksungleichung folgt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:44 Di 10.03.2015 | | Autor: | sissile |
Verstehe, vielen Dank.
LG,
sissi
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