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Hallo!
Ich hätt ne Frage zu folgendem Beispiel: befindet sich im Anhang !
Ich weiß da nicht so recht wie ich anfangen soll, da ich nicht so genau wieß wie ich meine Integrationsgrenzen wähle bzw. normalerweise fängt man ja an nach z zu integrieren, aber ich hab da ja nur x...:/
wäre sehr froh über jegliche hilfe!
danke schon mal.
Ich habe diese frage in keinem anderen Forum gestell.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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hallo wuzikrapuzi,
wir hatten gerade auf einem anderen thread etwas
ganz ähnliches: "Integral", initiiert von Dagobert.
Nun, wie sieht dein Integrationsbereich B aus ?
Die Gleichung [mm] y=81*x^2 [/mm] beschreibt eine Parabel in
der x-y-Ebene bzw. eine parabolisch gekrümmte
Fläche mit Mantellinien parallel zur z-Achse.
Die Gleichung [mm] z=9-\bruch{y}{9} [/mm] beschreibt eine
schiefe Ebene, welche die Parabelfläche schneidet.
Drei markante Punkte der Schnittkurve sind:
Der Punkt (0/0/9) und die Punkte (1/81/0), (-1/81/0).
Unten ist B noch durch die Ebene z=0, also die x-y-Ebene
begrenzt.
B sieht etwa so aus wie ein Keil, den man unter die
Türe schieben kann, allerdings mit edlem parabolischen
Design...
Um über dieses Raumgebiet zu integrieren, muss man
sich klar machen, auf welche Weise man den Körper
in Schichten, Stäbchen und Klötzchen zerschnippeln
will (etwa so wie man eine Strategie hat, um Gemüse
in kleine Würfelchen zu schneiden).
Wenn wir als äusserste Integration die über z nehmen,
legen wir also Schnitte mit jeweils konstantem z [mm] (0\le [/mm] z [mm] \le [/mm] 9).
Jeder solche Schnitt erzeugt ein Parabelsegment, begrenzt
durch eine Sehne s mit [mm] y_s=81-9z.
[/mm]
Um über dieses Segment zu integrieren, lassen wir also
y von 0 bis [mm] y_s [/mm] laufen.
Schliesslich, im innersten Integral, muss die Integration
über x laufen von [mm] x=-\bruch{\wurzel{y}}{9} [/mm] bis [mm] x=\bruch{\wurzel{y}}{9}
[/mm]
Gruß Al-Ch.
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hallo!
danke für die schnelle antwort.
ich weiß jetzt nich ob ich das richtig verstanden hab, aber meine interationsgrenzen sind also Z=0 bis ? ; dann y=0 bis ys=81 - 9z und [mm] x=-\wurzel{y} [/mm] / 9 bis [mm] +\wurzel{y} [/mm] / 9 ?
ich kann mir dann irgendwie nicht so genau vorstellen :/
glg
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> hallo!
> danke für die schnelle antwort.
> ich weiß jetzt nich ob ich das richtig verstanden hab,
> aber meine interationsgrenzen sind also Z=0 bis ? ; dann
> y=0 bis ys=81 - 9z und [mm]x=-\wurzel{y}[/mm] / 9 bis [mm]+\wurzel{y}[/mm] /
> 9 ?
> ich kann mir dann irgendwie nicht so genau vorstellen :/
> glg
Hast du jemals so etwas wie "Darstellende Geometrie" gehabt ?
(ist leider etwas aus der Mode gekommen, ist aber gerade für
Aufgaben dieser Art sehr nützlich)
Falls ich mich nicht vertan habe, sollte dein Integral so
aussehen (Faktor -8 gleich nach vorne gestellt !) :
[mm] \ -8*\integral_{z=0}^{9} dz \quad \integral_{y=0}^{81-9z} dy \quad \integral_{\bruch{-\wurzel{y}}{9}}^{\bruch{\wurzel{y}}{9}}x^2\ dx [/mm]
(eigentlich wollte ich diese Formel grösser darstellen, weiss
aber noch nicht, wie man dies in TeX hinkriegt - vielleicht
kann mir das ja jemand mitteilen...)
LG al-Chw.
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danke, das hat mir schon mal geholfen!
nein hatte leider keine darstellende geometrie :/
hätt jetzt noch ne kleine frage zum integrieren...normalerweise fängt man doch mit dem innersten integral an, also eigentlich wär die 1. integration nach z...ist das jetzt hier auch der fall oder muss ich mit x anfangen?
lg
danke!!
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> hätt jetzt noch ne kleine frage zum
> integrieren...normalerweise fängt man doch mit dem
> innersten integral an, also eigentlich wär die 1.
> integration nach z...ist das jetzt hier auch der fall oder
> muss ich mit x anfangen?
so wie wir's jetzt angelegt haben, musst du mit x
anfangen, dann y, dann z
Bei einer anderen Reihenfolge hätten sich, bedingt
durch die Form von B, ganz andere Integrationsgrenzen
ergeben...
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ok also ich hab mal mit der integration nach x angefangen.
da bekomm ich dann -16/9 x² * [mm] (\wurzel{y})
[/mm]
wenn ich das dann wieter nach y integrieren will muss ich 32/27 x² * [(81-9z)]^(3/2) nach y intergrieren, nur wie geht das jetzt?
vielen dank schon mal:)
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> ok also ich hab mal mit der integration nach x angefangen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> da bekomm ich dann -16/9 x² * [mm](\wurzel{y})[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das verstehe ich nicht...
also den Faktor -8 haben wir rausgenommen, der steht vor
dem äussersten Integral und wird erst am Schluss berücksichtigt.
Der Integrand im x-Integral ist also [mm] x^2
[/mm]
Stammfunktion dazu ist [mm] \bruch{1}{3}x^3
[/mm]
Ausgewertet mit den Grenzen dieses Integrals:
[mm]\ \bruch{1}{3} \left( (\bruch{\wurzel{y}}{9})^3-(- \bruch{\wurzel{y}}{9})^3 \right)= .... =\bruch{2}{2187}*y^{\bruch{3}{2}} [/mm]
den neu entstandenen konstanten Faktor kann man natürlich
auch nach vorne stellen !
> wenn ich das dann wieter nach y integrieren will muss ich
> 32/27 x² * [(81-9z)]^(3/2) nach y intergrieren,
(war schon falsch; x sollte hier nicht mehr auftauchen...)
> nur wie
> geht das jetzt?
falls es so gewesen wäre:
[mm]\ \integral (32/27 x² * [(81-9z)]^{3/2}) \ dy =(32/27 x² * [(81-9z)]^{3/2}) * y + C [/mm] !
al-Ch.
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oh.ok danke. ich dachte dass ich diesen faktor dann nachdem ich integreirt habe dazunehmen muss.
ich hab dann mal weiter integriert und komm dann beim folgenen term (also ich hab wie vorgeschlagen den konstanten faktor hinausgezogen) auf
2/5 * y ^(5/2) mit den grenzen eingesetzt wäre das dann 2/5 * (81-9z)^(5/2). so nun steh ich wieder beim selben problem. da ich ja nun diesen term nach z integrieren soll....und dann eben für z neun einsetze nur ich weiß eben nicht wie ich den term (81-z....)umformen soll, damit ich intergrieren kann :/
danke!!
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> oh.ok danke. ich dachte dass ich diesen faktor dann nachdem
> ich integreirt habe dazunehmen muss.
> ich hab dann mal weiter integriert und komm dann beim
> folgenen term (also ich hab wie vorgeschlagen den
> konstanten faktor hinausgezogen) auf
>
> 2/5 * y ^(5/2) mit den grenzen eingesetzt wäre das dann
> 2/5 * (81-9z)^(5/2). so nun steh ich wieder beim selben
> problem. da ich ja nun diesen term nach z integrieren
> soll....und dann eben für z neun einsetze nur ich weiß eben
> nicht wie ich den term (81-z....)umformen soll, damit ich
> integrieren kann :/
> danke!!
Natürlich kannst du konstante Faktoren weiterhin herausnehmen.
Zum Integrieren von [mm] (81-9z)^{\bruch{5}{2}} [/mm] hilft die
Substitution 81-9z = u , -9 dz = du, also dz [mm] =-\bruch{1}{9} [/mm] du
Übrigens noch 2 Bemerkungen:
1.) Numerisches Schlussergebnis: -444.3 (o.G.)
2.) Möglicherweise war der vorgeschlagene Weg zum "Schnippeln"
doch nicht der geschickteste.
Das Beispiel eignet sich sehr gut, um auch andere Reihen-
folgen der Integration auszuprobieren !
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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