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Guten Morgen =)
Kann mir jemand den Lösungsweg für diese Gleichung erklären und schreiben?
D*3=1 mod ((3-1)*(5-1))
oder umgeschrieben:
D=(X(3-1)*(5-1)+1)/3
Ich weiß, dass es eine diophantische Gleichung ist und weiß ebenfalls, dass in diesem Beispiel X=4 und D=11 als Ergebnis herauskommt, verstehe aber nicht wie man auf D beziehungsweise X kommt...
Ich bräuchte also bitte dringend eure Hilfe =)
Danke schon mal im Vorhinein
Lg shakerfish
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wenn ich das mal ein bißchen übersichtlicher aufschreibe, geht es also darum, die ganzzahligen Lösungen von
3x=1 mod 8 zu berechnen,
bzw. darum, sämtliche ganzzahligen Lösungen von
3x=8y+1
<==>
3x - 8y=1
zu finden.
Aufgepaßt: die von Dir genannte Lösung ist nur eine von vielen. (Eine weitere, fast im Halbschlaf zu entdeckende, ist z.B. x=3 und y=1.)
Wie man solch eine lineare Diophantische Gleichung lösen kann, kannst Du ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Do 06.03.2008 | | Autor: | goke |
Es soll die diophantische Gleichung 3x - 8y = 1 gelöst werden.
Das von Euler entwickelte Verfahren ist eng verwandt mit dem euklidischen Algorithmus.
Man betrachtet nur die jeweiligen Reste bei der Division durch einen der Koeffizienten,
geeigneterweise den mit dem kleinsten Betrag, und reduziert die Reste dadurch solange,
bis nur noch ein ganzzahliger Rest bleibt.
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist x. Die Gleichung wird nach x umgeformt:
3x = 1 + 8y
1 + 8y
x =
3
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
1 + 2y
x = 2y +
3
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter a wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:
1 + 2y
a =
3
3a = 1 + 2y
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist y. Die Gleichung wird nach y umgeformt:
2y = -1 + 3a
-1 + 3a
y =
2
Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:
-1 + a
y = a +
2
Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter b wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:
-1 + a
b =
2
2b = -1 + a
Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist a. Die Gleichung wird nach a umgeformt:
a = 1 + 2b
Nun ist auf der rechten Seite der Gleichung kein Bruch und keine der Variablen mehr
enthalten. Durch Einsetzen in umgekehrter Reihenfolge werden nun in allen Gleichungen,
in denen eine Variable isoliert wurde, die anderen Variablen eliminiert.
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für y:
-1 + 3a -1 + 3·(1 + 2b)
y = = = 1 + 3b
2 2
Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für x:
1 + 8y 1 + 8·(1 + 3b)
x = = = 3 + 8b
3 3
Damit hängen alle Variablen nur noch von freien Parametern ab, die unabhängig
voneinander die Menge der ganzen Zahlen durchlaufen können:
x = 3 + 8b
y = 1 + 3b
Bei b=1 ergibt das die Lösungen die du sebst gefunden hast!
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