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| Aufgabe | Let [mm]\zeta_{3} = e^{2\pi i/3}[/mm]
1) Use the Euclidean algorithm to show that [mm]\mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm] is a principle ideal domain. (This implies that it is factorial).
2) Prove [mm]\sqrt{-3} \in \mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm]
3) In [mm]\mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm], factorize [mm]2[/mm] and [mm]3[/mm] into primes.
4) Show that the group of units is cyclic of order 6 and find a generator. |
Hallo Zusammen
Bei dieser Aufgabe brauche ich bei den meisten Teilaufgaben hauptsächlich eine Überprüfung auf Richtigkeit. Für Teilaufgabe 1) jedoch benötige ich etwas mehr Hilfe:
1) Ich könnte mit einem geometrischen Argument natürlich zeigen, dass der Körper normeuklidisch ist. Daraus würde folgen, dass der Körper Euklidisch, somit ein Hauptidealring ist.
Jedoch würde ich trotzdem gerne verstehen, wie hier die Anwendung des Eulidischen Algorithmus zu verstehen ist.. weiss das jemand?
2) Ich hab bisher ein Element [mm]a = a_{0}+a_{1}\zeta_{3}+a_{2}\zeta_{3}^{2}[/mm] genommen und mit [mm]a_{0} = 1[/mm], [mm]a_{1} = 2[/mm] und [mm]a_{2} = 0[/mm] folgt, [mm]\sqrt{-3} \in \mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm]
Viel interessanter aber wäre es zu zeigen, dass [mm]\mathbb{Q}\left[\zeta_{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})[/mm].
Das gilt ja, da [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{3})[/mm] eine quadratische Erweiterung von [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist und jede solche Erweiterung sich mit der Adjunktion einer Wurzel einer quadratfreien Zahl [mm]\neq 1[/mm] darstellen lässt.
Doch wie genau zeige ich die Gleichheit? Geht das nur über beide Inklusionen oder gibt es einen direkten Weg?
3) Mein Ergebnis: 2 selbst ist prim, denn für [mm]2 = a\cdot b[/mm] folgt [mm]a[/mm] oder [mm]b[/mm] müssen eine Einheit sein. Um das zu finden habe ich angesetzt [mm]|2|^{2} = |a|^{2}|b|^{2} = 4[/mm] und es folgt nach einigen Umformungen.
Stimmt das?
3 sollte nicht prim sein. Ich hatte ne Lösung hab aber gemekrt das ich den falschen Ganzheitsring benutzt habe. Ich muss das wieder von vorne versuchen.
4) Wenn ich gezeigt habe, dass [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})[/mm], dann weiss ich ja was der Ring der ganzen Zahlen ist und komme ja auf die Eisenstein-integers. Da kann ich die Elemente von Norm [mm]\pm 1[/mm] bestimmen und sehe, dass es genau 6 sind.
[mm]\mathbb{Z}_{\mathbb{Q}(\zeta_{3})} = \lbrace \pm 1, \pm \zeta_{3}, \pm \zeta_{3}^{2}\rbrace[/mm].
Was wäre hier ein Erzeuger? Wohl [mm]-\zeta_{3}[/mm]?
Danke für eure Zeit :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Fr 08.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> Let [mm]\zeta_{3} = e^{2\pi i/3}[/mm]
Und das ist gleich [mm] $\tfrac{\sqrt{-3} - 1}{2}$.
[/mm]
> 1) Use the Euclidean algorithm to show that
> [mm]\mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm] is a principle ideal
> domain. (This implies that it is factorial).
>
> 2) Prove [mm]\sqrt{-3} \in \mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm]
>
> 3) In [mm]\mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm], factorize [mm]2[/mm] and [mm]3[/mm]
> into primes.
>
> 4) Show that the group of units is cyclic of order 6 and
> find a generator.
>
> Hallo Zusammen
>
> Bei dieser Aufgabe brauche ich bei den meisten Teilaufgaben
> hauptsächlich eine Überprüfung auf Richtigkeit. Für
> Teilaufgabe 1) jedoch benötige ich etwas mehr Hilfe:
>
> 1) Ich könnte mit einem geometrischen Argument natürlich
> zeigen, dass der Körper normeuklidisch ist. Daraus würde
> folgen, dass der Körper Euklidisch, somit ein
> Hauptidealring ist.
Ich denke, dass das gemeint ist.
> Jedoch würde ich trotzdem gerne verstehen, wie hier die
> Anwendung des Eulidischen Algorithmus zu verstehen ist..
> weiss das jemand?
Da hab ich leider keine Idee...
> 2) Ich hab bisher ein Element [mm]a = a_{0}+a_{1}\zeta_{3}+a_{2}\zeta_{3}^{2}[/mm]
> genommen und mit [mm]a_{0} = 1[/mm], [mm]a_{1} = 2[/mm] und [mm]a_{2} = 0[/mm] folgt,
> [mm]\sqrt{-3} \in \mathbb{Z}\left[\zeta_{3}\right][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Viel interessanter aber wäre es zu zeigen, dass
> [mm]\mathbb{Q}\left[\zeta_{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})[/mm].
> Das
> gilt ja, da [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{3})[/mm] eine quadratische
> Erweiterung von [mm]\mathbb{Q}[/mm] ist und jede solche Erweiterung
> sich mit der Adjunktion einer Wurzel einer quadratfreien
> Zahl [mm]\neq 1[/mm] darstellen lässt.
> Doch wie genau zeige ich die Gleichheit? Geht das nur
> über beide Inklusionen oder gibt es einen direkten Weg?
Nun, du hast schon [mm] $\sqrt{-3} \in \IZ[\zeta_3] \subseteq \IQ(\zeta_3)$ [/mm] gezeigt, womit [mm] $\IQ(\sqrt{-3}) \subseteq \IQ(\zeta_3)$ [/mm] gilt. Da beide Koerpererweiterungen von [mm] $\IQ$ [/mm] Grad 2 haben, muessen sie also gleich sein.
> 3) Mein Ergebnis: 2 selbst ist prim, denn für [mm]2 = a\cdot b[/mm]
> folgt [mm]a[/mm] oder [mm]b[/mm] müssen eine Einheit sein. Um das zu finden
> habe ich angesetzt [mm]|2|^{2} = |a|^{2}|b|^{2} = 4[/mm] und es
> folgt nach einigen Umformungen.
> Stimmt das?
Es reicht zu zeigen, dass es in [mm] $\IZ[\zeta_3]$ [/mm] kein Element von Norm 2 gibt. Sei $a + b [mm] \zeta_3 \in \IZ[\zeta_3]$; [/mm] dann ist $|a + b [mm] \zeta_3|^2 [/mm] = (a - [mm] b/2)^2 [/mm] + (b [mm] \sqrt{3}/2)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - a b + [mm] b^2/4 [/mm] + 3 [mm] b^2/4 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] - a b$. Ist $a b < 0$, so sieht man sofort dass es nicht 0 werden kann. Ist $a b = 0$, so sieht man auch schnell, dass es nicht 2 werden kann. Sei also $a b > 0$. Ohne Einschraenkung (wegen Symmetrie) kann man $a [mm] \le [/mm] b$ annehmen, womit [mm] $a^2 \le [/mm] a b [mm] \le b^2$ [/mm] ist. Damit ist [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] - a b [mm] \ge a^2$; [/mm] es muss also [mm] $a^2 \le [/mm] 2$ sein, also $a = [mm] \pm [/mm] 1$. Dann ist [mm] $a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] - a b$ schonmal $1 + [mm] b^2 \pm [/mm] b$. Kann das 2 werden fuer eine ganze Zahl $b [mm] \neq [/mm] 0$? Das kann man jetzt schnell ueberpruefen, und man sieht: es geht nicht ;)
> 3 sollte nicht prim sein. Ich hatte ne Lösung hab aber
> gemekrt das ich den falschen Ganzheitsring benutzt habe.
> Ich muss das wieder von vorne versuchen.
Ja, 3 ist reduzibel.
Es gibt einige Elemente mit Norm 3, wenn du so auf keine Idee kommst kannst du ja versuchen, diese zu bestimmen.
> 4) Wenn ich gezeigt habe, dass [mm]\mathbb{Q}(\zeta_{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{-3})[/mm],
> dann weiss ich ja was der Ring der ganzen Zahlen ist und
> komme ja auf die Eisenstein-integers. Da kann ich die
> Elemente von Norm [mm]\pm 1[/mm] bestimmen und sehe, dass es genau 6
> sind.
Ja.
Du kannst auch einfach in [mm] $\IZ[\zeta_3]$ [/mm] die Elemente von Norm 1 bestimmen: wie die Norm von einem beliebigen Element aussieht hab ich dir ja oben schon hingeschrieben.
> [mm]\mathbb{Z}_{\mathbb{Q}(\zeta_{3})} = \lbrace \pm 1, \pm \zeta_{3}, \pm \zeta_{3}^{2}\rbrace[/mm].
>
> Was wäre hier ein Erzeuger? Wohl [mm]-\zeta_{3}[/mm]?
Genau.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hey Felix
> > 3 sollte nicht prim sein. Ich hatte ne Lösung hab aber
> > gemekrt das ich den falschen Ganzheitsring benutzt habe.
> > Ich muss das wieder von vorne versuchen.
>
> Ja, 3 ist reduzibel.
>
> Es gibt einige Elemente mit Norm 3, wenn du so auf keine
> Idee kommst kannst du ja versuchen, diese zu bestimmen.
Na, mein erster Gedanke war hier zu schreiben $3 = [mm] -\sqrt{-3}\cdot\sqrt{-3}$.
[/mm]
Kann es sein, dass dies schon eine mögliche Antwort ist?
Und sonst, vielen Dank für s drüberschauen bei den restlichen Aufgaben.. wie immer warste ne grosse Hilfe!
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:41 Sa 09.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Amaro!
> > > 3 sollte nicht prim sein. Ich hatte ne Lösung hab aber
> > > gemekrt das ich den falschen Ganzheitsring benutzt habe.
> > > Ich muss das wieder von vorne versuchen.
> >
> > Ja, 3 ist reduzibel.
> >
> > Es gibt einige Elemente mit Norm 3, wenn du so auf keine
> > Idee kommst kannst du ja versuchen, diese zu bestimmen.
>
> Na, mein erster Gedanke war hier zu schreiben [mm]3 = -\sqrt{-3}\cdot\sqrt{-3}[/mm].
Eine sehr gute Idee 
> Kann es sein, dass dies schon eine mögliche Antwort ist?
Dazu musst du noch zeigen, dass [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] irreduzibel (und damit wegen (1) prim) ist.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 10.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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