Dualbasis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:20 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo lieber Mathematiker/in.
Leider habe ich noch eine Vorlesung verpasst, deswegen brauche hilfe, Danke.
Geben Sie die Dualbasis zur Basis
[mm] x_{1}=(1,0,-2),x_{2}=(-1,1,0), x_{3}=(0,-1,1) [/mm] in [mm] \IR^{3} [/mm] an.
Die Dualbasis ist in den Kordinaten der Standartdualbasis [mm] e_{1}^{ \*},e_{2}^{ \*},e_{3}^{ \*} [/mm] auszudrücken.
Ich habe diese Aufgabe nicht verstanden. Wie findet man die Dualbasis? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Do 23.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo NECO!
Ich mache es dir für den ersten Basisvektor einmal vor. Gesucht sind [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $(\lambda_1e_1^{\*} [/mm] + [mm] \lambda_2e_2^{\*} [/mm] + [mm] \lambda_3e_3^{\*})x_1=1$,
[/mm]
[mm] $(\lambda_1e_1^{\*} [/mm] + [mm] \lambda_2e_2^{\*} [/mm] + [mm] \lambda_3e_3^{\*})x_2=0$,
[/mm]
[mm] $(\lambda_1e_1^{\*} [/mm] + [mm] \lambda_2e_2^{\*} [/mm] + [mm] \lambda_3e_3^{\*})x_3=0$,
[/mm]
also (beachte: [mm] $e_i^{\*}(e_j)=\delta_{ij}$):
[/mm]
[mm] $\lambda_1-2\lambda_3=1$,
[/mm]
[mm] $-\lambda_1+\lambda_2=0$,
[/mm]
[mm] $-\lambda_2+\lambda_3=0$.
[/mm]
Dies ist ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten, das man leicht lösen kann. Für die beiden anderen Basisvektoren gehst du analog vor.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 23.06.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, danke dir aber ich habe verständnisprobleme.
>
> [mm](\lambda_1e_1^{\*} + \lambda_2e_2^{\*} + \lambda_3e_3^{\*})x_1=1[/mm],
>
> [mm](\lambda_1e_1^{\*} + \lambda_2e_2^{\*} + \lambda_3e_3^{\*})x_2=0[/mm],
>
> [mm](\lambda_1e_1^{\*} + \lambda_2e_2^{\*} + \lambda_3e_3^{\*})x_3=0[/mm],
Was ist das obere, Wieso muss das gelten. Ist das Skalarprodukt, ich verstehe es nicht so gut.
Was in der aufgabe steht, [mm] x_{1},x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] sind vektoren oder? Da sind ja immer komme da zwischen. Kannst du noch mal bisschen erläutern? Danke
> also (beachte: [mm]e_i^{\*}(e_j)=\delta_{ij}[/mm]):
>
> [mm]\lambda_1-2\lambda_3=1[/mm],
> [mm]-\lambda_1+\lambda_2=0[/mm],
> [mm]-\lambda_2+\lambda_3=0[/mm].
> Dies ist ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei
> Unbekannten, das man leicht lösen kann. Für die beiden
> anderen Basisvektoren gehst du analog vor.
>
> Viele Grüße
> Stefan
>
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[mm] $x_1, x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] sind Vektoren, die eine Basis bilden.
Du suchst eine Basis des Dualraumes, hier sind das drei Formen (lineare Funktionen) [mm] $\xi_1, \xi_2, \xi_3:\IR^3\to\IR$. [/mm]
Sie müssen [mm] $\xi_i(x_j)=\delta_{ij}$ [/mm] erfüllen.
Du musst jedes [mm] $\xi_i$ [/mm] in der Basis [mm] $(e_j^{\*})$ [/mm] ausdrücken.
Für [mm] $\xi_1$ [/mm] schreibe ich in der Notation von Stefan
[mm] $\xi_1 [/mm] = [mm] \lambda_1 e_1^\* [/mm] + [mm] \lambda_2 e_2^\* [/mm] + [mm] \lambda_3 e_3^\*$
[/mm]
der name [mm] \lambda [/mm] ist beliebig gewählt.
Die erste Bedingung [mm] $\xi_1(x_1) [/mm] = [mm] \delta_{11} [/mm] = 1$ heisst dann ausgeschrieben
$ [mm] (\lambda_1 e_1^\* [/mm] + [mm] \lambda_2 e_2^\* [/mm] + [mm] \lambda_3e_3^\*)(x_1) [/mm] = 1 $
bzw
$ [mm] \lambda_1 e_1^\*(x_1) [/mm] + [mm] \lambda_2 e_2^\*(x_1) [/mm] + [mm] \lambda_3 e_3^\*(x_1) [/mm] = 1$
[mm] $e_i^\*(x_1)$ [/mm] ist gerade die i-te Koordinate von [mm] $x_1$.
[/mm]
Die Gleichung wird also zu
$ [mm] \lambda_1\cdot [/mm] 1 + [mm] \lambda_2\cdot [/mm] 0 + [mm] \lambda_3 \cdot [/mm] (-2) = 1$
Jetzt fehlen noch die Gleichungen [mm] $\xi_1(x_2) [/mm] = 0$ und [mm] $\xi_1(x_3)=0$ [/mm] um [mm] $\lambda_1, \lambda_2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3$ [/mm] und somit [mm] $\xi_1$ [/mm] zu bestimmen.
Für [mm] $\xi_2$ [/mm] und [mm] $\xi_3$ [/mm] musst du nochmals je drei Gleichungen aufstellen.
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