Dualräume bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | Gegeben seien die reellen Funktionen
c0 (x) = 1,
s1 (x) = sin(x),
c1 (x) = cos(x),
s2 (x) = sin(2x) und
c2 (x) = cos(2x).
Es sei V = span{c0 , s1 , c1 , s2 , c2 } der von ihnen aufgespannte Untervektorraum von Abb(|R, |R).
Weiter betrachten wir die Abbildungen P, Q : V -> |R die durch P(f ) := f (0) und
Q(f ) := f ( π/2 )
___
Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass P und Q im Dualraum V* von V liegen.
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Meine Frage: Wie genau bestimme ich die Dualräume? Welche Bedingungen müssen denn erfüllt sein?
Ich habe im Internet gegooglet, was Dualräume sind und habe nix vernünftiges gefunden.
schonmal thx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Fr 12.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben seien die reellen Funktionen
> c0 (x) = 1,
> s1 (x) = sin(x),
> c1 (x) = cos(x),
> s2 (x) = sin(2x) und
> c2 (x) = cos(2x).
>
> Es sei V = span{c0 , s1 , c1 , s2 , c2 } der von ihnen
> aufgespannte Untervektorraum von Abb(|R, |R).
> Weiter betrachten wir die Abbildungen P, Q : V -> |R die
> durch P(f ) := f (0) und
> Q(f ) := f ( π/2 )
>
> ___
>
> Aufgabenstellung: Zeigen Sie, dass P und Q im Dualraum V*
> von V liegen.
>
>
>
>
> Meine Frage: Wie genau bestimme ich die Dualräume? Welche
> Bedingungen müssen denn erfüllt sein?
Ihr hattet keine Definition in der Vorlesung ??? Das glaube ich nicht.
> Ich habe im Internet gegooglet, was Dualräume sind und
> habe nix vernünftiges gefunden.
Das glaube ich auch nicht. Ist das
http://de.wikipedia.org/wiki/Dualraum
nicht vernünftig ??
FRED
>
> schonmal thx
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
Ja das alles habe ich schonmal gesehen und in der Vorlesung hatten wir auch einige Sachen, aber dass einzige das ich gesehen habe waren *.
Und das von Wikipedia verstehe ich schon wieder nicht!
Ich meine zu den meisten Themen die wir bis jetzt in LinA gemacht haben habe ich Seiten gefunden, wo man nur eine "Liste" abzuarbeiten hatte oder eine Standardformel hatte, bei der man etwas einsetzen musste... gibt es soetwas zu dualräumen etwa nich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 12.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
willkommen in der Mathematik, kann ich da nur sagen!
Gerade hier wird es interessant, wenn man nicht mehr nur, wie in der Schule, rechnet oder vorgefertigte Rezepte für Aufgaben abarbeitet.
Dann muss man sich Gedanken machen über Definitionen und über mögliche Lösungswege von A nach B unter bestimmten Voraussetzungen, darum geht es!
Vielleicht solltest du für den Anfang mal versuchen, nachzuvollziehen, woher die Rezepte, die ihr bisher benutzt habt, stammen und wie man sie herleitet, dann hast du den richtigen Ansatz, um weiter führende Aufgaben zu lösen.
Der Wikipedia-Artikel ist gut und verständlich, da musst du dich wohl durchkämpfen und versuchen, ihn zu verstehen und anzuwenden.
LG djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Fr 12.12.2008 | | Autor: | rafael |
muss man nicht um zu bestimmen, dass P und Q wieder im Dualraum von V liegen zeigen das P,Q : V [mm] \to \IR
[/mm]
für P und Q jeweils eine lineare Abbildung wird ?
P(f) = f(0) und Q(f) = (pi/2) und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
also
(P+Q)(f) = P(f) + Q(f)
[mm] P(\lambda [/mm] f) = [mm] \lambda [/mm] P(f)
[mm] Q(\lambda [/mm] f) = [mm] \lambda [/mm] Q(f)
reicht das um zu zeigen, das P,Q wieder im Dualraum von V liegen ?
ist das schon alles was ich zeigen muss damit P und Q wieder im Dualraum von V liegen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Fr 12.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Du mußt zeigen, dass P,Q : V $ [mm] \to \IR [/mm] $ lineare Abbildungen sind.
Mehr ist nicht zu tun.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Fr 12.12.2008 | | Autor: | rafael |
zz. P,Q : V [mm] \to \IR [/mm] sind lineare Abbildungen
[mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Beweis:
(P+Q)(f) = P(f) + Q(f)
= f(0) + f(pi/2)
= f(0 + Pi/2)
= (P+Q)(f)
[mm] \lambda [/mm] P(f) = [mm] P(\lambda [/mm] f)
= f( [mm] \lambda [/mm] 0)
= [mm] \lambda [/mm] f (0)
= [mm] \lambda [/mm] P(f)
[mm] \lambda [/mm] Q(f) = [mm] Q(\lambda [/mm] f)
= f( [mm] \lambda [/mm] pi/2)
= [mm] \lambda [/mm] f(pi/2)
= [mm] \lambda [/mm] Q(f)
so habe ich das gemacht das sieht aber ein wenig komisch aus in meinen Augen und nun wollte ich fragen ob ich mich nicht irgendwo vertan habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Fr 12.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> zz. P,Q : V [mm]\to \IR[/mm] sind lineare Abbildungen
> [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> Beweis:
> (P+Q)(f) = P(f) + Q(f)
> = f(0) + f(pi/2)
> = f(0 + Pi/2)
> = (P+Q)(f)
Was soll der Unsinn mit P+Q ?????????????
>
> [mm]\lambda[/mm] P(f) = [mm]P(\lambda[/mm] f)
> = f( [mm]\lambda[/mm] 0)
> = [mm]\lambda[/mm] f (0)
> = [mm]\lambda[/mm] P(f)
>
> [mm]\lambda[/mm] Q(f) = [mm]Q(\lambda[/mm] f)
> = f( [mm]\lambda[/mm] pi/2)
> = [mm]\lambda[/mm] f(pi/2)
> = [mm]\lambda[/mm] Q(f)
>
> so habe ich das gemacht das sieht aber ein wenig komisch
> aus in meinen Augen und nun wollte ich fragen ob ich mich
> nicht irgendwo vertan habe.
Du hast Dich gewaltig vertan !
ich mach dir mal die Linearität von P vor:
P(f+g) = (f+g)(0) = f(0)+g(0) = P(f)+P(g)
[mm] P(\lambda [/mm] f) = [mm] (\lambda [/mm] f)(0) = [mm] \lambda [/mm] f(0) = [mm] \lamda [/mm] P(f)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Fr 12.12.2008 | | Autor: | rafael |
ja habe grade auch gesehen das das totaler quatsch ist, was ich da gemacht habe.
ich danke dir für deine hilfe und wünsche dir noch ein schönes wochenende
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