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| Aufgabe 1 | | x'' + k*x' + x = 0 |
| Aufgabe 2 | | x''(t) + [mm] \bruch{1}{10}*x'(t) [/mm] + x(t) = cos(t) |
Das Duhamel-Prinzip funktioniert ja so:
[mm] z(t):=\vektor{x(t) \\ x'(t)} [/mm] und z'(t)= A(t)*z(t) + b(t)
Daraus folgt doch: z'(t) = [mm] \vektor{x'(t) \\ x''(t)} [/mm] oder? und damit
[mm] \Rightarrow \vektor{x'(t) \\ x''(t)} [/mm] = A(t)*z(t) + b(t)
Ich wollte mir anhand der (im Skript gegebenen) Matrix A und dem Vektor b herleiten, wie ich eben diese beide bekomme, wenn ich nur die obigen Differentielgleichungen und eben die Definitionen hab. So ist ja eigentlich die Aufgabenstellung nehm ich an ^^) A will man ja erhalten, um sich daraus die Eigenwerte und damit dann eine allgemeine Lösung zu erhalten.
Bei der Aufgabe 2 lautet die Matrix A [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & -\bruch{1}{10} }. [/mm] Wenn man die von links an z(t) multipliziert, erhält man : [mm] \vektor{0*x(t) + 1*x'(t) \\ -x(t) -\bruch{1}{10}x'(t)} [/mm] wenn ich dazu b(t)= {0 [mm] \\ [/mm] cos(t)} addiere erhalte ich doch: z'(t) = [mm] \pmat{ 0 & x'(t) \\ -x(t) & - \bruch{1}{10}*x'(t) + cos(t) } [/mm] = [mm] \vektor{x'(t) \\ x''(t)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x'(t) = x'(t) (toll...) und x''(t) = -x(t) [mm] -\bruch{1}{10}x'(t) [/mm] + cos(t) .
Wenn es so ist, wie ich denke, muss ich die Gleichung zuerst nach x'' = ... umstellen. Dann definiere ich z'(t) als [mm] \vektor{x'(t) \\ x''(t)} [/mm] und chreibe jetzt also einen Vektor, in den ich unten die rechte Seite dieser umgestellten Gleichung und oben einfach x'(t) hinschreibe (?). Dann teile ich diesen Vektor in 2 Vektoren auf, in dem ich alle Teile, in denen kein x mehr vorkommt in einen eigenen Vektor schreibe und diesen als b(t) definiere. Der andere (also linke) Vektor ist weiterhin [mm] \vektor{x'(t) \\ x''(t)}. [/mm] So und jetzt erhalte ich A(t), in dem ich diesen Vektor als Matrix sehe und jeweils die Koeffizienten vor den x' s auf die rechte Seite der Matrix und die Koeffizienten vor den x auf die linke Seite der Matrix (oben und unten natürlich beibehalten! ^^) schreibe. Die Additions- bzw. Subtraktionszeichen oben und unten im Vektor werden dabei zu Vorzeichen auf der rechten Seite der A-Matrix. Ist das soweit alles richtig??? ich weiß die vorgehensweise ist vllt. nicht 100 prozentig mathematisch...aber es klappt doch ^^.
das hab ich an der anderen Aufgabe (1) ausprobiert:
1. x'' = -k*x' + x
2. z'(t) als [mm] \vektor{x'(t) \\ x''(t)} [/mm] = [mm] \vektor{x'(t) \\ -k*x'(t) + x(t)} [/mm] . Da hier keine Koeffizienten ohne x drinstehen folgt also b(t) = 0
3. Matrix A = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -k } [/mm]
das ist jedenfalls genau die Matrix A, die auch angegeben ist. Zufall oder richtig kombiniert??
Jetzt habe ich leider noch ein kleines Verständnisproblem:
Und zwar wollte ich aus der Matrix A aus der Aufgabe 2 [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & -\bruch{1}{10} } [/mm] das charakteristische Polynom bestimmen. Ich erhalte: [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{10}*\lambda [/mm] + 1
[mm] \Rightarrow \lambda_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{10} \pm \wurzel{\bruch{1}{100} - 4}
[/mm]
Im Skript steht für die Mitternachtsformel aber: [mm] -\bruch{1}{20} \pm \wurzel{\bruch{1}{400} -1}.
[/mm]
Genau das gleiche Problem habe ich bei Aufgabe 1: aus der Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -k } [/mm] erhält man doch eigentlich das charakteristische Polynom [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] k*\lambda [/mm] + 1
Damit würde man mit der Mitternachtsformel -k [mm] \pm \wurzel{k^2 - 4} [/mm] erhalten. Es muss aber heißen [mm] \bruch{-k}{2} \pm \wurzel{\bruch{k^2}{4} - 4} [/mm] (so ists im Skript angegeben). Also muss das charakteristische Polynom [mm] \lambda^2 [/mm] + [mm] k*\lambda [/mm] + [mm] 1\bruch{1}{4} [/mm] lauten. Aber warum?
Danke schomal im Vorraus (auch wenns jetz vermutlich zu spät ist...) &
Gute Nacht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:53 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich hab mir den Rest der Aufgabe nicht angeschaut, aber ein fundamentaler Fehler ist mir sofort aufgefallen:
> Genau das gleiche Problem habe ich bei Aufgabe 1: aus der
> Matrix [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & -k }[/mm] erhält man doch eigentlich
> das charakteristische Polynom [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]k*\lambda[/mm] + 1
Jo.
> Damit würde man mit der Mitternachtsformel -k [mm]\pm \wurzel{k^2 - 4}[/mm]
> erhalten.
Nein.
> Es muss aber heißen [mm]\bruch{-k}{2} \pm \wurzel{\bruch{k^2}{4} - 4}[/mm]
Das ist korrekt.
> (so ists im Skript angegeben). Also muss das
> charakteristische Polynom [mm]\lambda^2[/mm] + [mm]k*\lambda[/mm] +
> [mm]1\bruch{1}{4}[/mm] lauten. Aber warum?
Nein, du rechnest einfach falsch mit der Mitternachtsformel.
> Danke schomal im Vorraus (auch wenns jetz vermutlich zu
> spät ist...) &
> Gute Nacht
Hoffen wir mal, dass es daran lag 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Sa 26.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
aaaahhhh - natürlich! es tut mir Leid! dazu braucht man echt NIX mehr sagen... *fg* . Bei mir liegts dann, wenn ich endlich alles Schwierige (theoretisch) kann immer an SOWAS - oder an Rechenfehlern... Menno ...
(war mir übrigens dann sogar eingefallen als ich im Bett lag - einfahc so ^^)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Sa 26.09.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hat sich die Frage dann damit erledigt?
mFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mo 25.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Ja, es hatte tatsächlich "nur" daran gelegen... 
Ich weiß auch nicht, ob es mich beruhigen oder doch beunruhigen sollte, dass ich ständig (fast) nur solche "Leichtsinnfehler" mache.
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mo 28.09.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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