Durch 13 teilbar < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Sa 06.10.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Zeige: Für jede natrürliche Zahl n ist die Zahl [mm] 4^{2n+1}+3^{n+2} [/mm] durch 13 teilbar. |
Muss man diese Aufgabe mit vollständier Induktion lösen? Oder gibt es noch andere Möglichkeiten? Ich habe keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Sa 06.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo joker,
vollständige Induktion ist hier in der Tat das Mittel der Wahl.
Setze zuerst 0 für n ein und du erhältst 13. Damit ist die sog. Verankerung (oder auch Induktionsanfang bewiesen)
Nun der Induktionsschritt:
Hier darfst du davon ausgehen, daß die Aussage für n gilt und mußt sie dann für n+1 beweisen.
Sei $f(n) = [mm] 4^{2n+1}+3^{n+2}$.
[/mm]
Bilde einmal f(n+1) - f(n) und untersuche diese Differenz.
Klar ist, daß von der Teilbarkeit durch 13 dieser Differenz die Aussage abhängt. Denn f(n) ist ja nach Voraussetzung durch 13 teilbar.
Du wirst sehen, daß man in dieser Differenz aus 2 Termen [mm] $4^{2n+1}$ [/mm] ausklammern kann und aus 2 anderen Termen [mm] $3^{n+2}$. [/mm] Fasse dann zusammen, so weit es geht.
Wenn du das hast, darfst du noch einmal 2*f(n) abziehen. Der Rest ist ein Produkt mit Faktor 13.
Was ich jetzt hier geschrieben habe, kannst du natürlich nur verstehen, wenn du gleichzeitig mitrechnest!
Viel Erfolg,
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Ernie |
Hey, dass ist ein sehr schöner Induktionsbeweis. Er zeigt, wie wichtig es ist, dass der Induktionsanfang mit berücksichtigt wird
!!!
Die Antwort von Koepper kann ach zu Ziel führen. Aber die Differenzuntersuchung finde ich personlich nicht so interessant!
Also:
Induktionsanfang:
Für n=0 ist die Aussage Bewiesen und du erhältst 13. Damit ist der Anfang gemacht. Diesen wirst du noch brachen
!!!
Induktionsschluss mit n [mm] \to [/mm] n+1 :
[mm] \Rightarrow 4^{2{n+1}+1} [/mm] + [mm] 3^{{n+1}+2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 4^{2n} *4^2 *4^1 [/mm] + [mm] 3^{n+1}*3^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow 4^{2n+1}*4^2 [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3^1
[/mm]
[mm] \gdw 4^{2n+1}*(13+3) [/mm] + [mm] 3^{n+2}*3 [/mm]
Klammere 3 aus
[mm] \Rightarrow 13*4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3*(4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2})
[/mm]
Der Induktionsanfang sagt Dir nun, dass sich [mm] 3*(4^{2n+1} [/mm] + [mm] 3^{n+2}) [/mm] durch 13 teilen lässt und [mm] 13*4^{2n+1} [/mm] sowieso.
Damit beweist die vollständige Induktion die Behauptung!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:12 Mo 08.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Er zeigt,
> wie wichtig es ist, dass der Induktionsanfang mit
> berücksichtigt wird
!!!
dazu mehr weiter unten...
> Induktionsanfang:
>
> Für n=0 ist die Aussage Bewiesen und du erhältst 13. Damit
> ist der Anfang gemacht. Diesen wirst du noch brachen
!!!
der gehört zwar zum Beweis, aber wir werden ihn nicht mehr brauchen...
> Induktionsschluss mit n [mm]\to[/mm] n+1 :
>
> [mm]\Rightarrow 4^{2{n+1}+1}[/mm] + [mm]3^{{n+1}+2}[/mm]
was macht denn der Folgerungspfeil dort oben?
Außerdem fehlen im Exponenten der 4 die Klammern um (n+1). Aber das war offenbar nur ein Tippfehler, denn im Quellcode stehen geschweifte Klammern und der weitere Verlauf ist mE korrekt.
> [mm]\Rightarrow 4^{2n} *4^2 *4^1[/mm] + [mm]3^{n+1}*3^2[/mm]
hier und auch überall weiter unten gehören Gleichheitszeichen hin und keine Folgerungspfeile.
> [mm]\Rightarrow 4^{2n+1}*4^2[/mm] + [mm]3^{n+2}*3^1[/mm]
>
> [mm]\gdw 4^{2n+1}*(13+3)[/mm] + [mm]3^{n+2}*3[/mm]
>
> Klammere 3 aus
>
>
> [mm]\Rightarrow 13*4^{2n+1}[/mm] + [mm]3*(4^{2n+1}[/mm] + [mm]3^{n+2})[/mm]
>
Ansonsten ist das bis hier mE richtig.
Allerdings wird dir ein Schüler entgegenhalten, wie er denn auf diese Vorgehensweise selbst kommen soll.
> Der Induktionsanfang sagt Dir nun, dass sich [mm]3*(4^{2n+1}[/mm] +
> [mm]3^{n+2})[/mm] durch 13 teilen lässt und [mm]13*4^{2n+1}[/mm] sowieso.
Hier liegt offenbar ein grundsätzliches Mißverständnis. Es ist keineswegs der Induktionsanfang, der uns die Teilbarkeit garantiert, sondern die Induktionsvoraussetzung.
Der Induktionsbeweis besteht aus 2 Teilen:
1. Induktionsanfang (manchmal auch Induktionsverankerung genannt)
2. Induktionsschritt
Im Induktionsschritt darfst du die Gültigkeit der zu beweisenden Behauptung für ein beliebiges n annehmen (Induktionsvoraussetzung) und mußt unter dieser Voraussetzung beweisen, daß die Aussage auch für n+1 gilt.
Das hat hier also nichts mehr mit dem Induktionsanfang zu tun.
Gruß
Will
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 13:31 Mo 08.10.2007 | | Autor: | Ernie |
Hey köpper, sorry, aber ich verstehe Deine einwende nicht. Was willst du denn eigentlich sagen? Wieso wird mir den ein Schüler entgegentreten und sagen, wie soll ich darauf kommen!? Erstens mal ist jokerose kein Schüler mehr, sondern ein Mathe Student, und zweitens mach ich nichts anderes als eine vollständige Induktion mit Schluss von n nach n+1! Das muss ein Schüler, nach dem ihn die vollständige Induktion erklärt wurde, schon selber hinbekommen, dafür sind die Leute im Matheraum nicht zuständig, jedenfalls nicht bei einem Studenten!!! Ich denke, ein Schüler der den Anspruch auf einen LK stellt sollte mit den Potenzgesetzten vertraut sein. Ebenso sollte er sehen, dass [mm] 4^2 [/mm] = 16 = (13+3) entspricht. Und schon ist alles erledigt!!! Ich will dir nicht zu nahe treten, aber Deine ganze Aussage ist doch nichts anderes als das du schreibst, dass da nen paar Pfeile falsch sind. Sicherlich kann man daraus Äquivalenzen machen, jedoch wird das an der Richtigkeit des Beweises nichts ändern
!!!
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Mo 08.10.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Ernie,
es ist mir nicht gelungen, diese Mitt. an deine Korrekturmitteilung zu hängen, obwohl sie dort hingehören würde. Es ist nämlich einfach so, daß koepper rundherum recht hat. Logische Pfeile verbinden Aussagen und nicht Terme, in den Induktionsschluß geht die Induktionsvoraussetzung ein, und der Einwand 'Wie soll ich denn darauf kommen?' wird gerne und regelmäßig vorgebracht, von mir allerdings meistens überhört oder untergebuttert. Er gehört ja auch nicht mit zur substantiellen Kritik.
Ach ja, wofür wir hier im Matheraum zuständig sind, das bestimmt jeder auch ein bißchen für sich selbst. Wenn koepper mal einen schönen Induktionsbeweis von Anfang bis Ende durchexerzieren wollte, dann tut er das eben. Er ist ein freier Mensch! So wie du und ich auch.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
