Durchmesser einer r-Umgebung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Di 19.10.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei X ein normierter Vektorraum. Der Durchmesser diam(A) einer Teilmenge A [mm] \subset [/mm] X sei definiert durch diam(A):= sup ||x-y||, x,y [mm] \in [/mm] A.
Dann heißt A [mm] \subset [/mm] X beschränkt, falls diam(A) < unendlich.
Für r [mm] \ge [/mm] 0 und x [mm] \in [/mm] X sei die r-Umgebung B(x,r) um x gegeben durch B(x,r):= {y [mm] \in [/mm] X: ||x-y|| [mm] \le [/mm] r}.
AUFGABE:
Zeigen Sie, dass [mm] diam(B(x,r))=2r [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] X und r [mm] \ge0. [/mm] |
Ich habe mich an dieser Aufgabe versucht, bin wohl auch zu einem Ergebnis bzw. einem Beweis gekommen; jedoch kommt mir das alles ein bisschen wenig vor, sodass ich meine Zweifel über die Richtigkeit/ Vollständigkeit meines Beweises habe.
Hier meine Idee hierzu:
Man wähle zwei Punkte [mm] y_{1} [/mm] und [mm] y_{2}, [/mm] die sich in der r-Umgebung um x befinden.
Mit der Dreiecksungleichung und kleinen Umformungen folgt dann:
[mm] ||y_{1}-y_{2}|| [/mm] = [mm] ||y_{1}-x+x-y_{2}|| \le ||y_{1}-x|| [/mm] + [mm] ||x-y_{2}|| \le [/mm] r+r=2r, da ja nach Def. von B(x,r) die beiden Summanden jeweils [mm] \le [/mm] r sind.
Daraus folgt, dass das Supremum des Ausdrucks ||y1-y2|| eben 2r ist, also:
diam(B(x,r))= sup [mm] ||y_{1}-y_{2}|| [/mm] = 2r mit [mm] y_{1},y_{2} \in [/mm] B(x,r). [mm] \Box
[/mm]
Ist das der vollständige Beweis?
Oder fehlt da etwas?
Über Hinweise wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei X ein normierter Vektorraum. Der Durchmesser diam(A)
> einer Teilmenge A von X sei definiert durch diam(A):= sup
> ||x-y||, x und y in A.
> Dann heißt eine Teilmenge A von X beschränkt, falls
> diam(A) < unendlich.
>
> Für r >= 0 und x in X sei die r-Umgebung B(x,r) um x
> gegeben durch B(x,r):= {y in X: ||x-y|| <= r}.
>
> AUFGABE:
> Zeigen Sie, dass diam(B(x,r))=2r für alle x in X und r
> >=0.
> Ich habe mich an dieser Aufgabe versucht, bin wohl auch zu
> einem Ergebnis bzw. einem Beweis gekommen; jedoch kommt mir
> das alles ein bisschen wenig vor, sodass ich meine Zweifel
> über die Richtigkeit/ Vollständigkeit meines Beweises
> habe.
>
> Hier meine Idee hierzu:
>
> Man wähle zwei Punkte y1 und y2, die sich in der
> r-Umgebung um x befinden.
>
> Mit der Dreiecksungleichung und kleinen Umformungen folgt
> dann:
>
> ||y1-y2|| = ||y1-x+x-y2|| <= ||y1-x|| + ||x-y2|| <= r+r=2r,
> da ja nach Def. von B(x,r) die beiden Summanden jeweils <=
> r sind.
>
> Daraus folgt, dass das Supremum des Ausdrucks ||y1-y2||
> eben 2r ist, also:
Nein. Du hast nur gezeigt: [mm] diam(B(x,r))\le2r
[/mm]
FRED
>
> diam(B(x,r))= sup ||y1-y2|| = 2r mit y1,y2 in B(x,r). ◘
>
>
> Ist das der vollständige Beweis?
> Oder fehlt da etwas?
>
> Über Hinweise wäre ich dankbar.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Di 19.10.2010 | | Autor: | dennis2 |
Kann ich einen kleinen Hinweis bekommen, wie ich dann die Aufgabe lösen kann? Ich habe keine weitere Idee.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 19.10.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich sollte es vielleicht besser als Frage kennzeichnen und nicht als Mitteilung. :D
Hast Du einen Tipp für mich, wie ich weiter vorgehen kann, ich habe nämlich keine weitere Idee!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:30 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Fall 1: x=0 . Sei y $ [mm] \in [/mm] $ X mit ||y||=r
Setze $ [mm] y_1=y [/mm] $ und $ [mm] y_2 [/mm] $ = -y
Fall 2: x $ [mm] \ne [/mm] $ 0. Setze $ [mm] y_1= (1-\bruch{r}{||x||})\cdot{}||x|| [/mm] $ und $ [mm] y_2= (1+\bruch{r}{||x||})\cdot{}||x|| [/mm] $
Zeige: in beiden Fällen ist $ [mm] y_1,y_2 \in [/mm] $ B(x,r) Und $ [mm] ||y_1-y_2||=2r [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Di 19.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Fall 1: x=0 . Sei y [mm] \in [/mm] X mit ||y||=r
Setze [mm] y_1=y [/mm] und [mm] y_2 [/mm] = -y
Fall 2: x [mm] \ne [/mm] 0. Setze [mm] $y_1= (1-\bruch{r}{||x||})*||x||$ [/mm] und [mm] $y_2= (1+\bruch{r}{||x||})*||x||$
[/mm]
Zeige: in beiden Fällen ist [mm] y_1,y_2 \in [/mm] B(x,r) Und [mm] $||y_1-y_2||=2r$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Di 19.10.2010 | | Autor: | dennis2 |
Dankeschön, damit komme ich weiter.
|
|
|
|
