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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Mo 25.10.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr Mathefreaks!
Ich hab' mal wieder ein Problem mit einer Definition.
Also in der Vorlesung wurde ein [mm] \cap [/mm] - stabiler Erzeuger folgendermaßen definiert:
gegeben: [mm] (\omega,A) [/mm] (eigentlich sollte das ein großes Omega sein, aber das tut ja nichts zur Sache...)
[mm] A_0 \subset P(\omega) [/mm] heißt [mm] \cap [/mm] - stabiler Erzeuger von A, falls [mm] \sigma(A_o)=A [/mm] und [mm] \forall [/mm] A, B [mm] \in A_0: A\cap [/mm] B [mm] \in A_0.
[/mm]
Nach der Definition von [mm] \sigma [/mm] bedeutet dies doch dann, dass [mm] A_0 [/mm] ein [mm] \cap [/mm] - stabiler Erzeuger von A ist gdw. der Schnitt aller Obermengen von [mm] A_0, [/mm] die selbst eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] sind = A ist, und eben für alle Mengen, die in [mm] A_0 [/mm] sind, auch ihr Schnitt in [mm] A_0 [/mm] ist.
Die Definition ist ja schön und gut, nur vorstellen kann ich mir das leider nicht. Aber zum Glück hat der Prof auch ein Beispiel gegeben:
[mm] A_0={ ]s,t]:s,t \in \IR, s\le t } [/mm] ist [mm] \cap [/mm] - stabiler Erzeuger von [mm] B(\IR), [/mm] wobei [mm] B(\IR) [/mm] die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
Kann mir vielleicht jemand an diesem Beispiel die Definition veranschaulichen, damit ich sie mir besser vorstellen kann?
Viele Grüße und viel Spaß noch bei Mathe...
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Hallo Christiane!
Also, dröseln wir das mal auseinander... die erste Bedingung an Dein Mengensystem [mm] $A_0$ [/mm] lautet:
[mm] $\mathcal{A} [/mm] = [mm] \sigma (A_0)$
[/mm]
Und das heißt, dass [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gerade die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, die das [mm] $A_0$ [/mm] enthält oder anders gesagt, dass das [mm] $A_0$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist - man kann aus dem [mm] $A_0$ [/mm] das [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] gewinnen.
Das kannst Du Dir ähnlich vorstellen wie ein Erzeugendensystem in der linearen Algebra: dort hat man ein System von Vektoren, das weniger Elemente enthält als der ganze Vektorraum, aber man kann den ganzen Raum durch Bildung von Linearkombinationen zurückgewinnen.
Hier ist das ähnlich. [mm] $A_0$ [/mm] ist nicht die ganze [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$, [/mm] aber man kann diese aus dem [mm] $A_0$ [/mm] zurückgewinnen - nur halt in diesem Fall nicht durch Linearkombinationen, sondern indem man den Schnitt über alle [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] bildet, die das [mm] $A_0$ [/mm] enthalten.
Die Schnittstabilität ist eine zusätzliche Eigenschaft, die dieser Erzeuger hat - das ist ganz unabhängig davon, dass er die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] erzeugt. Ein beliebiges Mengensystem $B$ heißt ganz allgemein schnittstabil, wenn es unter Bildung von Durchschnitten stabil bleibt, also wenn für $X, Y [mm] \in [/mm] B$ auch $X [mm] \cap [/mm] Y [mm] \in [/mm] B$ gilt.
Zu eurem Beispiel: Du weißt vielleicht schon, dass die Borelsche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] von dem unten angegebenen Mengensystem erzeugt wird. Naja und dieses ist eben auch schnittstabil: wann immer man zwei solcher Intervalle schneidet, ist der Durchschnitt entweder leer (und es gilt [mm] $\emptyset [/mm] = ]t,t]$) oder aber wieder ein halboffenes Intervall.
Schnittstabile Systeme spielen besonders beim Nachweis, dass ein Mengensystem eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist eine große Rolle. Ein Dynkinsystem, das zugleich schnittststabil ist, ist bereits eine [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Alles klar? Sonst fragen!
Lars
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