Durchschnitt, Summe bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | 1. Bestimmen Sie den Durchschnitt U [mm] \cap [/mm] V und die Summe U + V der beiden Unterräume U = [mm] Lin(u_{1}, u_{2}) [/mm] und V = [mm] Lin(v_{1}, v_{2}) [/mm] des [mm] \IR^{3}, [/mm] wobei [mm] u_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, u_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] v_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] und [mm] v_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also: Sei w sowohl [mm] \in [/mm] U als auch w [mm] \in [/mm] V , dann lässt sich w einmal als Linearkombination von [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] und einmal als Linearkombination von [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] schreiben.
Damit gilt: w= [mm] \alpha_{1}*u_{1}+\alpha_{2}*u_{2}
[/mm]
und w= [mm] \beta_{1}*v_{1}+\beta_{2}*v_{2}
[/mm]
und damit: [mm] \alpha_{1}*u_{1}+\alpha_{2}*u_{2}= \beta_{1}*v_{1}+\beta_{2}*v_{2} \gdw \alpha_{1}*u_{1}+\alpha_{2}*u_{2}- \beta_{1}*v_{1}-\beta_{2}*v_{2}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha_{1}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+\alpha_{2}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}-\beta_{1}*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}-\beta_{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=0 \Rightarrow \vektor{0 \\ 0 \\ \alpha_{1}}+\vektor{\alpha_{2} \\ \alpha_{2} \\ 0}-\vektor{0 \\ \beta_{1} \\ \beta_{1}}-\vektor{\beta_{2} \\ 0 \\ \beta_{2}}=0 \Rightarrow \vektor{\alpha_{2}-\beta_{2} \\ \alpha_{2}-\beta_{1} \\ \alpha_{1}-\beta_{1}-\beta_{2}}=0
[/mm]
und damit: [mm] \alpha_{2}-\beta_{2}=0
[/mm]
[mm] \alpha_{2}-\beta_{1}=0
[/mm]
[mm] \alpha_{1}-\beta_{1}-\beta_{2}=0
[/mm]
Wenn ich das Gleichungssystem löse, ergibt sich: [mm] \beta_{1}=\beta_{2}; \alpha_{2}=\beta_{2} [/mm] und [mm] \alpha_{1}=2*\beta_{2}
[/mm]
Aber was sagt mir das über den Schnitt aus? :S
und wie kann man U+V berechnen?
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> 1. Bestimmen Sie den Durchschnitt U [mm]\cap[/mm] V und die Summe U
> + V der beiden Unterräume U = [mm]Lin(u_{1}, u_{2})[/mm] und V =
> [mm]Lin(v_{1}, v_{2})[/mm] des [mm]\IR^{3},[/mm] wobei [mm]u_{1}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}, u_{2}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> , [mm]v_{1}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] und [mm]v_{2}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also: Sei w sowohl [mm]\in[/mm] U als auch w [mm]\in[/mm] V , dann lässt
> sich w einmal als Linearkombination von [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{2}[/mm] und
> einmal als Linearkombination von [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm]
> schreiben.
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> Damit gilt: w= [mm]\alpha_{1}*u_{1}+\alpha_{2}*u_{2}[/mm]
> und w= [mm]\beta_{1}*v_{1}+\beta_{2}*v_{2}[/mm]
>
> und damit: [mm]\alpha_{1}*u_{1}+\alpha_{2}*u_{2}= \beta_{1}*v_{1}+\beta_{2}*v_{2} \gdw \alpha_{1}*u_{1}+\alpha_{2}*u_{2}- \beta_{1}*v_{1}-\beta_{2}*v_{2}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \alpha_{1}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}+\alpha_{2}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}-\beta_{1}*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}-\beta_{2}*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=0 \Rightarrow \vektor{0 \\ 0 \\ \alpha_{1}}+\vektor{\alpha_{2} \\ \alpha_{2} \\ 0}-\vektor{0 \\ \beta_{1} \\ \beta_{1}}-\vektor{\beta_{2} \\ 0 \\ \beta_{2}}=0 \Rightarrow \vektor{\alpha_{2}-\beta_{2} \\ \alpha_{2}-\beta_{1} \\ \alpha_{1}-\beta_{1}-\beta_{2}}=0[/mm]
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> und damit: [mm]\alpha_{2}-\beta_{2}=0[/mm]
> [mm]\alpha_{2}-\beta_{1}=0[/mm]
> [mm]\alpha_{1}-\beta_{1}-\beta_{2}=0[/mm]
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> Wenn ich das Gleichungssystem löse, ergibt sich:
> [mm]\beta_{1}=\beta_{2}; \alpha_{2}=\beta_{2}[/mm] und
> [mm]\alpha_{1}=2*\beta_{2}[/mm]
>
> Aber was sagt mir das über den Schnitt aus? :S
Hallo,
wenn Du Schnitte berechnest, dann interessiert es am Ende immer, wie die Variablen, die jeweils zu den beiden Unterräumen gehören, zusammenhängen.
Hier brauchst Du also Gleichungen, die Dir was über das Verhältnis von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] bzw. [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] erzählen.
Du hast ja schon [mm] b_1=b_2, [/mm] das reicht eigentlich, aber [mm] a_1=2a_2 [/mm] kann man dem auch entnehmen.
Und nun weißt Du: für die [mm] v=b_1v_1+b_2v_2 [/mm] mit [mm] b_1=b_2 [/mm] liegen die Elemente aus V auch in U, sie haben die Gestalt [mm] v=b_1(v_1+v_2).
[/mm]
Also ist [mm] v_1+v_2 [/mm] eine Basis des Schnitts.
>
> und wie kann man U+V berechnen?
U+V ist der Raum, der von [mm] (u_1, u_2, v_1, v_2) [/mm] erzeugt wird.
Bestimme eine Basis des Bildes der Matrix, die diese Vektoren enhält.
Gruß v. Angela
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