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| Aufgabe | In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der Schaumsäule verringert sich alle 15 Sekunden um 9%.
a) Um wie viel verringert sich die Höhe der Schaumsäule in einer Minute ?
b) Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Schaumhöhe 10cm.
Bestimmen Sie den Funktionsterm der zugehörigen Exponentialfunktion, die die Schaumhöhe ( in cm ) in Abhängigkeit von der Zeit ( in Minuten ) beschreibt.
c) Man spricht von " sehr guter Bierschaumhaltbartkeit" , wenn die Halbwertszeit des Schaumzerfalls mehr als 2 minuten beträgt. Beschreiben Sie , ob im vorliegenden Fall sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vorliegt. Liegt sie vor ? |
Hallo ,
ich gehe die Aufgaben mal Schritt für Schritt durch , also zuerst mit a):
a) Wachstumfaktor von 0.91
=> f(t) = 15 * [mm] 0,91^{t} [/mm]
Stimmt das ?
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Hallo pc_doctor,
> In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von
> Bierschaum untersucht. Die Höhe der Schaumsäule
> verringert sich alle 15 Sekunden um 9%.
>
> a) Um wie viel verringert sich die Höhe der Schaumsäule
> in einer Minute ?
>
> b) Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Schaumhöhe 10cm.
> Bestimmen Sie den Funktionsterm der zugehörigen
> Exponentialfunktion, die die Schaumhöhe ( in cm ) in
> Abhängigkeit von der Zeit ( in Minuten ) beschreibt.
> c) Man spricht von " sehr guter Bierschaumhaltbartkeit" ,
> wenn die Halbwertszeit des Schaumzerfalls mehr als 2
> minuten beträgt. Beschreiben Sie , ob im vorliegenden Fall
> sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vorliegt. Liegt sie vor ?
>
> Hallo ,
>
> ich gehe die Aufgaben mal Schritt für Schritt durch , also
> zuerst mit a):
>
> a) Wachstumfaktor von 0.91
>
> => f(t) = 15 * [mm]0,91^{t}[/mm]
Der Faktor 15 muß die Höhe der Schaumsäule zu Beginn sein.
Der Exponent stimmt nur, wenn t in Zeiteinheiten
von 15 s angegeben wird.
>
> Stimmt das ?
Gruss
MathePower
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> Der Faktor 15 muß die Höhe der Schaumsäule zu Beginn
> sein.
Das verstehe ich jetzt nicht.. Die Säule wird alle 15 s um 9% verringert, 15 kann nicht die Höhe der Säule sein glaub ich..
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Hallo pc_doctor,
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> >
> > Der Faktor 15 muß die Höhe der Schaumsäule zu Beginn
> > sein.
>
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> Das verstehe ich jetzt nicht.. Die Säule wird alle 15 s um
> 9% verringert, 15 kann nicht die Höhe der Säule sein
> glaub ich.
.
Ja, so meinte ich das auch.
Statt der 15 muß dort die Höhe der Schaumsäule stehen.
Gruss
MathePower
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Ich muss doch aber die Höhe erstmal ausrechnen , oder ?
Wenn man diesen Satz hat : "....verringert sich alle 15 Sekunden um 9%" , daraus kann man jetzt eine Funktionsgleichung aufstellen , die diesen Vorgang beschreibt.
Ohne erstmal auf Höhe etc einzugehen , das kann man ja nachdem man die Gleichung hat.
Ist die Funktionsgleichung jetzt so hier falsch ?
f(x) = 15 [mm] 0,91^{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Na überleg Dir mal, was bei Dir rechts steht.
Sagen wir, wir sind im Zeitpunkt 3 (d.h. nach 45 sek), dann steht bei Dir
$15s [mm] 0,91^{3} [/mm] = 11.3s $
Also was will mir die Antwort
"Das Ergebnis nach 45 Sekunden ist 11.3 Sekunden"
sagen? Auf welche Frage ist das die Antwort? =)
Auf die Frage, "wie hoch ist dier Bierschaum nach 45s" muß als Antwort zwangsläufig irgendwas in cm (oder mm, oder was auch immer) rauskommen.
Nehmen wir mal t=0 und t=1 (bietet sich bei exponentiellem Abfall meist an).
Wenn f(x) die Höhe des Schaums sein soll, dann muß es doch folgende Ergebnisse liefern:
f(0)=Anfangshöhe
f(1)=0.91 * Anfangshöhe
ciao
Stefan
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Also nur ; f(x) = [mm] 0,91^{n} [/mm] ?
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Hallo pc_doctor,
Du bist hier in einem Forum. Mit einer solchen Frage:
> Also nur ; f(x) = [mm]0,91^{n}[/mm] ?
...kann nur ein Dialogpartner etwas anfangen, der alles bis dahin auch gelesen hat. Dazu hat aber fast nie jemand Lust, und so bekommst Du dann auf einmal keine Antworten mehr, es sei denn, die Leute sind gerade wieder online, die Dir hier bisher schon Antworten gegeben haben.
Die Funktion oben ist unsinnig, da f(x) ja einen konstanten Wert hätte; die rechte Seite der Gleichung hängt gar nicht mehr von x ab.
Außerdem ging es doch darum, eine zeitabhängige Funktion für den Schaumzerfall zu bestimmen.
Sie wird die Form [mm] f(t)=a*e^{-kt} [/mm] haben.
Bekannt ist [mm] f(0)=h_0 [/mm] wobei [mm] h_0 [/mm] ein fester Wert ist, nämlich die Höhe der Schaumsäule zum Zeitpunkt Null.
Also gilt [mm] f(0)=h_0=a*e^{-k*0}
[/mm]
Daraus kannst Du nun a ermitteln.
Außerdem wissen wir [mm] f(15)=0,91*h_0. [/mm]
Damit kannst Du nun k ermitteln, denn es gilt ja auch:
[mm] f(15)=a*e^{-15k}
[/mm]
Da a schon bekannt ist, ist die einzige Unbekannte in dieser Gleichung das k.
Dabei habe ich jetzt f(t) so aufgestellt, dass t in Sekunden gemessen wird.
Jetzt Du.
Grüße
reverend
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Also sowas hier :
> [mm]f(t)=a*e^{-kt}[/mm]
Hatten wir noch garnicht , das was ich geschrieben habe , war natürlich falsch .. mangelnde Konzentration ; ich würde mal sagen:
f(t) = [mm] 0,91^{t} [/mm] , und jetzt ist die Funktionsgleichung auch von t , also von der Zeit abhängig.
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Fein, und z.B. nach 20 Sekunden ist die Schaumsäule also wie hoch?
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Gute Frage :) , wenn ich jetzt einfach für t 20 einsetze würde dsa wohl falsch sein, da bin ich mir sicher , was muss ich da machen ?
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Hallo,
so wie Deine Gleichung aufgestellt ist, musst Du für 15 Sekunden ja t=1 setzen. Der Rest ist Dreisatz. Für 20 Sekunden ist also [mm] t=\tfrac{4}{3}.
[/mm]
Das ist nicht so richtig praktikabel, wenn auch nicht verkehrt.
Wie es normalerweise geht, habe ich ja weiter oben schon geschrieben, und den Ansatz kannst du auch getrost verwenden, selbst wenn Ihr ihn so noch nicht hattet.
Wie wärs, wenn Du Dich endlich mal um eine Lösung des ersten Aufgabenteils bemühst?
Grüße
rev
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Okay fangen wir mit dem ersten Aufgabenteil an : f(4) = [mm] 0,91^{ 4} [/mm] , da 15* 4 = 60= 1min. => f(4)= 0,69 , bisher alles richtig ?
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> Okay fangen wir mit dem ersten Aufgabenteil an : f(4) =
> [mm]0,91^{ 4}[/mm] , da 15* 4 = 60= 1min. => f(4)= 0,69 , bisher
> alles richtig ?
Die Rechnung ist richtig, nur musst du das Ergebnis
noch richtig interpretieren. Innert jeder Zeitspanne
von je 15 Sekunden nimmt die Höhe des Schaums
um 9% ab. Viermal nacheinander eine Abnahme
um 9% bedeutet:
Zeitpunkt t= 0 s : 100% = 1
Zeitpunkt t=15 s : 100%-9% = 91% = 100% * 0.91
Zeitpunkt t=30 s : 91%-(9% von 91%) = 100% * [mm] 0.91^2
[/mm]
Zeitpunkt t=45 s : 100% * [mm] 0.91^3
[/mm]
Zeitpunkt t=60 s : 100% * [mm] 0.91^4 \approx [/mm] 0.69
Die Schaumsäule ist also innert einer Minute von
ihren anfänglichen 100% auf ca. 69% geschrumpft -
sie hat sich also um etwa 31% verringert .
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Fr 27.05.2011 | | Autor: | mrkva |
Hallo,
> [mm] f(t)=a\cdot{}e^{-kt} [/mm]
wenn du sowas noch nicht hattest, nehm es doch als Ansatz.
Du brauchst auf jeden Fall eine Konstante vor deinem Ausdruck [mm] 0,91^{t} [/mm], denn wenn du für t=0 einsetzt muss die Anfangshöhe dabei rauskommen.
Wo ist denn die 15 in deiner Lösung geblieben, was muss denn für f(15) rauskommen.
Tipp: Du musst nicht die e-Funktion als Basis nehmen es klappt auch mit der 0,91.
Gruß
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Alles klar vielen Dank , kommen wir nun zu Aufgabe b) (s. 1.Beitrag). Da die Höhe hier gegeben ist ,10cm, habe ich ja sozusagen den y-Wert. Aber einfach einsetzen in die Funktionsgleichung wäre wohl falsch also sowas hier : [mm] 10=0,91^{t} [/mm] wäre für TIpps dankbar..
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Hallo,
> Alles klar vielen Dank , kommen wir nun zu Aufgabe b) (s.
> 1.Beitrag). Da die Höhe hier gegeben ist ,10cm, habe ich
> ja sozusagen den y-Wert.
Ja, den für t=0. Also ist f(0)=10.
> Aber einfach einsetzen in die
> Funktionsgleichung wäre wohl falsch also sowas hier :
> [mm]10=0,91^{t}[/mm] wäre für TIpps dankbar..
Das ist in der Tat falsch.
Du sollst die Funktion so aufstellen, dass t in Minuten gezählt wird (lt. Aufgabe) und die Funktion die Schaumhöhe zur Zeit t angibt.
Der Ansatz ist immer noch der gleiche:
[mm] f(t)=h_0*0,91^{kt}
[/mm]
[mm] h_0 [/mm] steht fest: 10cm.
Und k kannst Du ganz leicht durch eigenes Nachdenken ermitteln. Davon kommt mir in diesem ganzen Thread bisher sowieso viel zu wenig vor!
Die Basis 0,91 gilt für Zeitangaben in Einheiten von 15 Sekunden. Nach 60 Sekunden sind also vier solche Einheiten verstrichen. Also ist k was?
Grüße
reverend
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