EX einer symmetrischen ZVA < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 07.04.2005 | | Autor: | crowmat |
Hallo! und zwar soll ich folgendes zeigen:
Sei X eine stetige, um c aus R symmetrische Zufallsvariable!Zeige, dass EX=c gilt!!!
Ich hab dazu auch schon folgende Lösung im Internet gefunden:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/382322.html
Nur die Fragen, die derjenige stellt beschäftigen auch mich, ich weiß nicht warum die intervallgrenzen vertauscht werden bzw. warum f(t)=F(c+t) sind!
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Hallo crowmat!
Ich skizziere den Beweis nochmal, damit sich's leichter lesen läßt:
[mm] $E[X]\stackrel{def}=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx\stackrel{t=x-c}=\int_{-\infty}^\infty [/mm] (t+c)f(t+c)dt$.
Außerdem
[mm] $E[X]\stackrel{def}=\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx\stackrel{t=c-x}=\int^{-\infty}_\infty- (c-t)f(c-t)dt\stackrel{\otimes}=\int_{-\infty}^\infty (c-t)f(c-t)dt\stackrel{f\ symm.}=\int_{-\infty}^\infty [/mm] (c-t)f(c+t)dt$.
Zusammen gilt dann:
[mm] $2E[X]=\int_{-\infty}^\infty (t+c)f(t+c)dt+\int_{-\infty}^\infty (c-t)f(c+t)dt=\int_{-\infty}^\infty (t+c+c-t)f(c+t)dt=2c\int_{-\infty}^\infty f(c+t)dt\stackrel{s=c+t}=2c\int_{-\infty}^\infty [/mm] f(s)ds=2c$.
Bleibt nur noch die Frage, warum die Gleichheit [mm] $\otimes$ [/mm] gilt. Das ist ein Ergebnis aus der Integrationstheorie: [mm] $\int_a^bf(x)dx=-\int_b^af(x)dx$. [/mm]
Nimm zum Beispiel an, $f$ hätte die Stammfunktion $F$. Dann ist
[mm] $\int_a^bf(x)dx=\big[F(x)\big]^b_a=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\big[F(x)\big]_b^a=-\int_b^af(x)dx$.
[/mm]
Beantwortet das deine Fragen?
banachella
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