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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Fr 17.09.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Aufgabe 1
Betrachten Sie die Funktion
f: {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} +(\bruch{y}{2})^{2}\le [/mm] 1 } [mm] \to \IR
[/mm]
gegeben durch
f(x,y) = 1 - [mm] x^{2}y^{2}
[/mm]
Besitzt f globale Extrema ( mit Begründung!)? Bestimmen SIe gegebenfalls alle globalen Extrema. |
So bin ich vorgegangen:
f: {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} +(\bruch{y}{2})^{2}\le [/mm] 1 } [mm] \to \IR
[/mm]
beschreibt eine Ellipse mit dem Rand:
[mm] \partial [/mm] f: {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} +(\bruch{y}{2})^{2} [/mm] = 1 }
Dann die partiellen Ableitungen:
fx = [mm] -2xy^{2} [/mm] , fxx = [mm] -2y^{2}
[/mm]
fy = [mm] -x^{2}2y [/mm] , fyy = [mm] -2x^{2}
[/mm]
fxy = fyx = -4xy
Stationäre Punkte bestimmen:
fx und fy = 0 setzen:
fx = [mm] -2xy^{2} [/mm] = 0 => P1 = ( 0,2), P2 = (1,0), P3(-1,0), P4(0, -2)
Ich habe die Randpunkte der Ellipse genommen. bin mir nicht sicher.
Hesse-Matrix:
D = [mm] \vmat{ -2y^{2} & -4xy \\ -4xy & -2x^{2} }
[/mm]
D = [mm] -12x^{2}y^{2}
[/mm]
Wenn ich nun alle stationären Punkte in die Determinante einsetzte bekomme ich immer D = O
was mach ich jetzt?
Lg
Stevie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> fx = [mm]-2xy^{2}[/mm] , fxx = [mm]-2y^{2}[/mm]
> fy = [mm]-x^{2}2y[/mm] , fyy = [mm]-2x^{2}[/mm]
> fxy = fyx = -4xy
>
> Stationäre Punkte bestimmen:
>
> fx und fy = 0 setzen:
>
> fx = [mm]-2xy^{2}[/mm] = 0 => P1 = ( 0,2), P2 = (1,0), P3(-1,0),
> P4(0, -2)
was ist aus [mm] $f_y$ [/mm] geworden? Wieso sollte (0;2) ein stationärer Punkt sein?
> Ich habe die Randpunkte der Ellipse genommen. bin mir nicht
> sicher.
>
konstruiere mir eine Funktion $g:\ [mm] \{x\in\IR^2;\ \| x\|_2\leq 1\} \to \IR$, [/mm] d.h. auf dem Einheitskreis, die ein globales Maximum und ein globales Minimum hat und keines von beiden liegt auf einem Randpunkt.
Keine Formeln, beschreib sie einfach nur.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Fr 17.09.2010 | | Autor: | StevieG |
wenn ich fx = 0 setze
[mm] -2xy^{2} [/mm] = 0 dann muss jetzt eine der beiden Varibalen Null sein und die andere kann eine völlig x- beliebe sein, die mit Null zu Null wird.
Ich habe die stationären punkte gewählt , da die in der aller ersten Definition der Aufgabe = 1 sind.
Das mit der Hessematrix ist doch soweit richtig?
Was soll ich machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]-2xy^{2}[/mm] = 0 dann muss jetzt eine der beiden Varibalen
> Null sein und die andere kann eine völlig x- beliebe sein,
> die mit Null zu Null wird.
Ja, also warum hast Du nur die 4 ausgewählt? Es sind Randpunkte, und weiter?
Du hast richtig erkannt, daß die Koordinatenachsen aus lauter stationären Punkten bestehen. Sind die Punkte Extrema? Wenn ja, Minima oder Maxima?
Vergiß die Hesse-Matrix, schau Dir einfach mal die Funktion an:
[mm] $f(x,y)=1-x^2y^2$
[/mm]
Und was können wir über die Existenz von anderen Extrema außerhalb der stationären Punkte sagen? Was weißt Du denn über Funktionen und ihre Extrempunkte auf kompakten Definitionsmengen?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Fr 17.09.2010 | | Autor: | StevieG |
Wieso funktioniert es mit der Hesse Matrix nicht?
Wenn ich mir die Fkt anschaue und x=y = 0 setze kommt 1 heraus.
Dh im Koordinatenursprung ist die Funktion auf der Höhe 1.
Alle anderen Punkte in der Menge müssten kleiner sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wieso funktioniert es mit der Hesse Matrix nicht?
[mm] $f(x):=x^3$, [/mm] $f'(0)=0$, also ist 0 stationärer Punkt,
$f''(0)=0$ Hey, wieso funktioniert's mit der zweiten Ableitung nicht? =)
>
> Wenn ich mir die Fkt anschaue und x=y = 0 setze kommt 1
> heraus.
>
> Dh im Koordinatenursprung ist die Funktion auf der Höhe
> 1.
>
> Alle anderen Punkte in der Menge müssten kleiner sein?
Nenn mir einen Punkt irgendwo, wo die Funktion größer als 1 ist.
Also haben wir jede Menge globale Maxima. Was ist mit lokalen Maxima? Und was ist mit Minima?
ciao
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Fr 17.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Aufgabe 1
>
> Betrachten Sie die Funktion
>
> f: (x,y) [mm]\in \IR^{2}[/mm] : [mm]x^{2} +(\bruch{y}{2})^{2}\le[/mm] 1
> [mm]\to \IR[/mm]
>
> gegeben durch
>
> f(x,y) = 1 - [mm]x^{2}y^{2}[/mm]
>
>
> Besitzt f globale Extrema ( mit Begründung!)? Bestimmen
> SIe gegebenfalls alle globalen Extrema.
Ganz elementar: f(x,y) kann 1 nicht überschreiten. Der Wert 1 wird gerade dann angenommen, wenn x oder y Null sind. Damit ist das gesamte Achsenkreuz in der Ellipse Ort des globalen Maximums.
Ein Minimum hast du, wenn von 1 möglichst viel subtrahiert wird, wenn also [mm] x^2y^2 [/mm] maximal wird.
Das ist vorzeichenunabhängig; ein Minimum für ein beliebiges Paar (x,y) zieht zwangsläufig gleiche Werte für (-x,y), (x,-y) und (-x,-y) nach sich.
Somit sind 4 Minima zu erwarten.
Beschränke dich auf den ersten Quadranten, setze [mm] y=r(\phi)*cos(\phi) [/mm] und [mm] x=r(\phi)*sin(\phi) [/mm] und suche ein Maximum für [mm] xy=r(\phi)^2*0.5sin(2\phi).
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Fr 17.09.2010 | | Autor: | StevieG |
1. Frage: Alle Werte auf der x- und y-achse die von der ellipse eingeschlossen sind , sind gleich 1? habe ich das richtig verstanden.
2. Frage: Der Teil ab Quadranten verstehe ich nicht mit den Winkel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Fr 17.09.2010 | | Autor: | abakus |
> 1. Frage: Alle Werte auf der x- und y-achse die von der
> ellipse eingeschlossen sind , sind gleich 1? habe ich das
> richtig verstanden.
>
> 2. Frage: Der Teil ab Quadranten verstehe ich nicht mit den
> Winkel?
Hallo,
gehe vom Ursprung aus auf einer geraden Linie (auf einem im Ursprung beginnenden Strahl) nach außen.
Dabei nehmen sowohl die Beträge der x- als auch der y-Werte zu, je weiter du dich vom Ursprung entfernst. Somit ist für jeden dieser Strahlen das Produkt [mm] x^2y^2 [/mm] außen (also auf dem Rand) an größten.
Nun musst du nur noch denjenigen Strahl finden, dessen Ellipsenschnittpunkt den Ort mit dem größten aller Randwerte liefert.
Jeden dieser Strahlen kannst du durch seinen Winkel [mm] \phi [/mm] beschreiben, den er gegenübder der x-Achse einnimmt.
Hätten wir einen Kreis, wäre für jeden Randpunkt sein Abstand zum Ursprung ein konstanter Wert r.
Bei Ellipsenpunkten schwankt der Abstand und hängt von gewählten Winkel [mm] \phi [/mm] ab, deshalb habe ich ihn [mm] r(\phi) [/mm] genannt.
Ich habe einfach x und y eines beliebigen Randpunktes durch Polarkoordinaten ausgedrückt.
Wenn du bedenkst, dass [mm] tan(\phi)=y/x [/mm] gilt, sollte es dir möglich sein, auch r allein mit [mm] \phi [/mm] auszudrücken.
Gruß Abakus
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