E(X) der F-Verteilung Beweis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 So 17.11.2013 | | Autor: | EllaK |
Hallo.
Ich muss den E(X) der F-Verteilung beweisen.
Nun habe ich in einer anderen Diskussion den Tipp gelesen, dass ich auf der S. 248 dieses Linkes schaues soll: http://www.colorado.edu/Economics/morey/7818/MoodGraybillBoesBook/MGB3rdSearchable.pdf
Der hat mir auch sehr geholfen!
Leider komme ich jetzt ab einem bestimmten Schritt nicht mehr weiter.
Das ist der Beweis: E(X) = [mm] E(\bruch{\bruch{U}{m}}{\bruch{V}{n}}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{m} [/mm] * E(U) * [mm] E(\bruch{1}{V}) [/mm] = [mm] \bruch{n}{m} [/mm] * m * [mm] \bruch{1}{n-2} [/mm] = [mm] \bruch{n}{n-2}
[/mm]
Jetzt muss ich aber zeigen, dass [mm] E(\bruch{1}{V}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-2} [/mm] ergibt.
Da V Chi-Quadrat-verteilt ist, brauche ich auch deren Dichtefkt dafür.
[mm] E(\bruch{1}{V}) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{v^{\bruch{n}{2}-1}*e^{\bruch{-v}{2}}}{2^{\bruch{n}{2}}*Gamma(\bruch{n}{2})} dv} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^\bruch{n}{2}*Gamma(\bruch{n}{2})} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\infty}{v^{\bruch{n}{2}-1}*e^{\bruch{-v}{2}} dv} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^\bruch{n}{2}} [/mm] * [mm] \bruch{1}{Gamma(\bruch{n}{2})} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{v} * v^\bruch{n}{2} * e^\bruch{-v}{2} dv}
[/mm]
Und ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter, wie ich vorgehen muss!
Ich hoffe, jmd kann mir ein paar Tipps dazu geben.
Gruß, Ella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 17.11.2013 | | Autor: | EllaK |
Hilft da evtl die partielle Integration?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 So 17.11.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin
> [mm] $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{v} * v^\bruch{n}{2} * e^\bruch{-v}{2} dv}$
[/mm]
Hier ist der Wurm drin. In der Quelle lese ich
[mm] $\integral_{0}^{\infty}\bruch{1}{v} [/mm] * [mm] v^{\bruch{n-2}{2}} [/mm] * [mm] e^\bruch{-v}{2} dv=\integral_{0}^{\infty} v^{\bruch{n-4}{2}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{-v}{2}} [/mm] dv$
Substituiere $u=v/2$ ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 So 17.11.2013 | | Autor: | EllaK |
So, nachdem ich das substituiert habe, steht das bei mir da:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{v^\bruch{n-4}{2}* e^z -2dz}
[/mm]
Darf ich das -2 (vom -2dz) vor das Integral ziehen?
Muss ich nun mit einer partiellen Integration weiterrechnen?
LG Ella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 So 17.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> So, nachdem ich das substituiert habe, steht das bei mir
> da:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{v^\bruch{n-4}{2}* e^z -2dz}[/mm]
Wo kommt denn auf einmal ein $z_$ her? Aus $u=v/2$ folgt $v=2u$ und $dv=2du$ (nicht $-2du$). *Ich* erhalte so
[mm] $\int_0^\infty(2u)^{\bruch{n-4}{2}}e^{-u}\cdot [/mm] 2 du$
>
> Darf ich das -2 (vom -2dz) vor das Integral ziehen?
Da sind noch mehr Faktoren mit Basis 2 vorhanden. Die kannst du alle vor das Integral ziehen.
> Muss ich nun mit einer partiellen Integration
> weiterrechnen?
Nein. Einfach mal genau hinschauen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 So 17.11.2013 | | Autor: | EllaK |
Kann ich das dann auch über die Gammafkt berechnen?
Den im Beweis ganz oben, kommt ja auch irgendwas mit Gamma raus!
Denn es gilt ja Gamma(x+1) = x * Gamma(x)
und Gamma(x) = [mm] \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}*e^{-t} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 So 17.11.2013 | | Autor: | luis52 |
> Kann ich das dann auch über die Gammafkt berechnen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mo 18.11.2013 | | Autor: | EllaK |
Nun habe ich da stehen: [mm] \bruch{1}{2^\bruch{n}{2}}*\bruch{1}{G(\bruch{n}{2})}*G(\bruch{n-2}{2})*2^{\bruch{n}{2}-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{G(\bruch{n-2}{2})}{G(\bruch{n}{2})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}* \bruch{G(\bruch{n}{2}-1)}{G(\bruch{n}{2})}
[/mm]
und das muss [mm] \bruch{1}{n-2} [/mm] ergeben.
- G steht für die Gammafkt. -
Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich das hier [mm] \bruch{G(\bruch{n}{2}-1)}{G(\bruch{n}{2})} [/mm] berechnen soll.
Die Rechenregeln der Gammafkt helfen mir leider nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mo 18.11.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> - G steht für die Gammafkt. -
Schreibe \Gamma
>
> Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich das
> hier [mm]\bruch{G(\bruch{n}{2}-1)}{G(\bruch{n}{2})}[/mm] berechnen
> soll.
> Die Rechenregeln der Gammafkt helfen mir leider nicht
> weiter.
Doch. Nutze [mm] $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$ [/mm] und schreibe
[mm] $\Gamma\left(\dfrac{n}{2}\right)=\Gamma\left(\dfrac{n}{2}-1+1\right)$.
[/mm]
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