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Ebene: in allen Darstellungsformen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Di 21.08.2007
Autor: jane882

Aufgabe
a= ( 1 2 2 ), b( 2 1 -1), c= (-2 1 0 )  


Ich soll eine Ebene durch a b und c darstellen:

E: x= ( 1 2 2) + Lamnda ( 1 -1 -3) + Mü (-3 -1 -2)



jetzt muss ich die ebene in allen darstellungsformen darstellen:
parameterform ( hab ich ja)
normalenform
korrdinatenform
hessesche form
achsenabschnittsform

Normalenform:
Da hab ich Kreuzprodukt mit den Richtungsvektoren gemacht: ( -1 11 -4) ?

Korrdinatenform:
-1x+ 11y-4z , aber muss da nicht noch = hin?

Hessesche und Achsenabschnittsform weiß ich nicht:( Könnt ihr mir behilflich sein?
Danke:)

        
Bezug
Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Di 21.08.2007
Autor: angela.h.b.


> ...
>  a= ( 1 2 2 ), b( 2 1 -1), c= (-2 1 0 )
>
> Ich soll eine Ebene durch a b und c darstellen:
>
> E: [mm] \vec{a}= \vektor{1 \\ 2\\2}+ \lambda\vektor{1 \\ -1\\-3}+\mu\vektor{-3 \\ -1\\-2} [/mm]
>
>
>
> jetzt muss ich die ebene in allen darstellungsformen
> darstellen:
> parameterform ( hab ich ja)
> normalenform
> korrdinatenform
> hessesche form
> achsenabschnittsform


>
> Normalenform:
> Da hab ich Kreuzprodukt mit den Richtungsvektoren gemacht:
> ( -1 11 -4) ?

Hallo,

den Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] zu bestimmen, ist eine gute Idee.

>
> Korrdinatenform:
> -1x+ 11y-4z , aber muss da nicht noch = hin?

Ganz recht!  [mm] "=\vec{n}*\vektor{1 \\ 2\\2}" [/mm] gehört da hin.


>
> Hessesche

Wenn Du den Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{n_1 \\ n_2\\n_3} [/mm] hast, ist das ziemlich einfach: Du normierst ihn: [mm] \vec{n_0}=\bruch{\vec{n}}{\wurzel{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}. [/mm]

Mit [mm] \vec{n_0}(\vec{x}- \underbrace{\vektor{1 \\ 2\\2}}_{Punkt.in.d.Ebene})=0 [/mm]

hast Du's.


> und Achsenabschnittsform

Die geht so:  [mm] \bruch{x}{a}+ \bruch{y}{b} [/mm] + [mm] \bruch{z}{c} [/mm] = 1.

a,b,c sind die Achsenabschnitte.

Es ist z.B. b der y-Achsenabschnitt.
b kannst Du aus der Koordinatenform -1x+ 11y-4z =Zahl  erhalten, indem Du x=z=0 setzt.

Dann hättest Du mit x=z=0 noch 11y=Zahl, und Dein Achsenabschnitt b wäre [mm] b=\bruch{Zahl}{11}. [/mm]

Die anderen genauso.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Ebene: normalenvektor
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Di 21.08.2007
Autor: jane882


wieso ist der normalenvektor denn nicht richtig:(

ich habe  (1 -1 -3) * (-3 -1 -2) mit dem kreuzprodukt verwendet, sprich:

(-1)*(-2)-(-3)*(-1)
(-3)*(-3)-1*(-2)
1*(-1)-(-1)*(-3)

und da kommt dann -1 11 -4 raus :(

Bezug
                        
Bezug
Ebene: Ist richtig.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Di 21.08.2007
Autor: angela.h.b.


> ...
>  wieso ist der normalenvektor denn nicht richtig:(
>  
> ich habe  (1 -1 -3) * (-3 -1 -2) mit dem kreuzprodukt
> verwendet, sprich:
>  
> (-1)*(-2)-(-3)*(-1)
>  (-3)*(-3)-1*(-2)
>  1*(-1)-(-1)*(-3)
>  
> und da kommt dann -1 11 -4 raus :(

Hallo,

doch, der Normalenvektor ist richtig.

Ich habe in Deiner Parameterform einen Tippfehler übersehen.

Guck Dir mal den ersten Richtungsvektor an, den Du dort angibst.

(Ich bearbeite das gleich.)

Gruß v. Angela

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Bezug
Ebene: Koordinatenform
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Di 21.08.2007
Autor: jane882


also ist die parameterform und der normalenvektor sind doch richtig oder:(

die koordinatenform heißt dann: -1x+11y-4z= -n * ( 1 2 2 ) ?

danke

Bezug
                        
Bezug
Ebene: Skalarprodukt berechnen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Di 21.08.2007
Autor: Loddar

Hallo jane!


Du solltest natürlich auf der rechten Seite der Gleichung den Normalenvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] einsetzen und das entsprechende MBSkalarprodukt ausrechnen.


Gruß
Loddar


PS: Ja, Parameterform der Ebene und der Normalenvektor stimmen. [ok]


Bezug
                                
Bezug
Ebene: :) okay
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Di 21.08.2007
Autor: jane882


achso also:

(-1 11 -4) * (1 2 2)= -1*1+ 11*2* (-4)*2 = 13

-> -1x+11y-4z= 13 ?

Bezug
                                        
Bezug
Ebene: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Di 21.08.2007
Autor: Loddar

Hallo jane!


[daumenhoch] !!


Gruß
Loddar


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Bezug
Ebene: hessesche
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 Di 21.08.2007
Autor: jane882


das mit der hesseschen hab ich noch nicht ganz verstanden: so ?

n= -1+11-4/ Wurzel aus (-1)²+ (11)²+ (-4)²

6/ 138 ?

Bezug
                        
Bezug
Ebene: nicht ganz ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Di 21.08.2007
Autor: Loddar

Hallo Jane!


Den Betrag des Normalenvektors hast Du richtig ermittelt. [ok]

Aber um die HESSE'sche Normalform zu erhalten, musst Du die Normalenform durch den Betrag teilen:

[mm] $\vektor{-1\\11\\-4}*\vec{x} [/mm] \ = \ 13$

Und diese Gleichung nun durch [mm] $\left|\vec{n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{138}$ [/mm] teilen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Ebene: teilen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Di 21.08.2007
Autor: jane882


durch Wurzel 138 teilen, wie geht denn das:( wir haben die formel noch nie verwendet, könntest du mir das vielleicht bei meinem beispiel mal zeigen? ich weiß WIRKLICH nicht, wie das geht:(

Bezug
                                        
Bezug
Ebene: ganz einfach ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:17 Di 21.08.2007
Autor: Loddar

Hallo Jane!


Aber Du wirst doch wissen, wie man eine Gleichung durch eine Zahl teilt ;-) ...


$ [mm] \vektor{-1\\11\\-4}\cdot{}\vec{x} [/mm] \ = \ 13 $     [mm] $\left| \ : \ \wurzel{138}$ $ \bruch{1}{\wurzel{138}}*\vektor{-1\\11\\-4}\cdot{}\vec{x} \ = \ \bruch{13}{\wurzel{138}} \ \approx \ 1.107$ Gruß Loddar PS: Du musst nicht jedesmal diese 3 Punkte bzw. Striche in das Fragenfeld machen. Lass es bei einer Rückfrage einfach frei. :-) [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Ebene: form?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Di 21.08.2007
Autor: jane882


ok:) aber was ist dann genau die hessesche form? 1,1 ja nicht:(

Bezug
                                                        
Bezug
Ebene: die gesamte Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Di 21.08.2007
Autor: Loddar

Hallo Jane!


Die HESSE'sche Normalform ist selbstverständlich die gesamte Gleichung (und nicht nur Teile davon): [mm] $\vec{n}_0*\vec{x} [/mm] \ = \ d$ .


$ [mm] \underbrace{\bruch{1}{\wurzel{138}}\cdot{}\vektor{-1\\11\\-4}}_{= \ \vec{n}_0}\cdot{}\vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{13}{\wurzel{138}}}_{= \ d} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.107 $

Denn [mm] $\bruch{1}{\wurzel{138}}\cdot{}\vektor{-1\\11\\-4}$ [/mm] gibt genau den normierten Normalenvektor [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] an (d.h. den Normalenvektor mit der Länge [mm] $\left|\vec{n}_0\right| [/mm] \ = \ 1$ ).

Und $d_$ gibt den Abstand der Ebene zum Koordinatenurspung an.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Ebene: achsenabschnittsform
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:10 Di 21.08.2007
Autor: jane882


zuletzt noch zu achsenabschnittsform

b= 13/ 11
a= -13/ 1
c= -13/ 4 ???

Bezug
                        
Bezug
Ebene: soweit richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:48 Mi 22.08.2007
Autor: Loddar

Hallo Jane!


Diese Beiwerte sind richtig. Die vollständige Achsenabschnittsform lautet aber:

[mm] $\bruch{x}{a}+\bruch{y}{b}+\bruch{z}{c} [/mm] \ =  \ 1$


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Ebene: form
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Mi 22.08.2007
Autor: jane882

Aufgabe
...

also:

x/-13/1 + y/13/11 + z/-13/4 = 1?


Bezug
                                        
Bezug
Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mi 22.08.2007
Autor: vagnerlove

Hallo

Das stimmt schon, nur kann man das wesentlich schöner mit einem bzw 3 Brüchen schreiben.

z.B.:x/(-13/1)=-x/13

Gruß
Reinhold

Bezug
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