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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Ebene
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Ebene: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Di 16.12.2008
Autor: juel

Aufgabe
Warum ist  [mm] \vektor{\vektor{x \\ y \\ z} - \vektor{x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}}} [/mm] * [mm] \vec{n} [/mm] = 0    die Gleichung einer Ebene durch den Punkt  [mm] (x_{0},y_{0},z_{0}) [/mm]  mit dem Normalvektor [mm] \vec{n}? [/mm]

hallo

alle Normalvektoren sind zueinander parallel und der Ebene bzw. Geraden senkrecht. Deshalb   [mm] \vec{n} \* [/mm] e = 0  bzw.  [mm] \vec{n} \* \vec{v} [/mm] = 0

ich weiß aber leider nicht wie ich es anhand einer Berechnung zeigen soll.

        
Bezug
Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 Di 16.12.2008
Autor: MontBlanc

Hi,

> Warum ist  [mm]\vektor{\vektor{x \\ y \\ z} - \vektor{x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}}}[/mm]
> * [mm]\vec{n}[/mm] = 0    die Gleichung einer Ebene durch den Punkt  
> [mm](x_{0},y_{0},z_{0}[/mm]  mit dem Normalvektor [mm]\vec{a}?[/mm]
>  hallo
>  
> alle Normalvektoren sind zueinander parallel und der Ebene
> bzw. Geraden senkrecht. Deshalb   [mm]\vec{n} \*[/mm] e = 0  bzw.  
> [mm]\vec{n} \* \vec{v}[/mm] = 0

Ich nehme an [mm] \overrightarrow{e} [/mm] und [mm] \overrightarrow{v} [/mm] sind die Richtungsvektoren der Gerade / Ebene ?

> ich weiß aber leider nicht wie ich es anhand einer
> Berechnung zeigen soll.

Würde ich über die koordinatenfreie Darstellung des Skalarproduktes zeigen, es ist definiert als: [mm] \overrightarrow{n}\*\overrightarrow{v}=|\overrightarrow{n}|*|\overrightarrow{v}|*cos(\phi) [/mm]

Wobei [mm] \Phi [/mm] der eingeschlossene Winkel ist, da der cos(90°)=0 hast du eine Multiplikation mit 0 und daher ist auch das Skalarprodukt dann null. Solltest du die koordiantenfreie Darstellung noch nicht gemacht haben, kannst du sie dir herleiten über den Kosinussatz , das ist hier beschrieben:

[]Klick mich

(falls du einen TR hast kannst du wahlweise je nach belieben Radian oder Degree einstellen, im ersteren Fall ist der Winkel dann [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] im letzten wirklich 90°)


Ich hoffe, dass ich Dir helfen konnte,

lg

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