Ebene bestimmen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme eine Ebene durch die Punkte A(1/2/3) und B(0/0/6), welche die Ebene E: [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 [/mm] unter einem Winkel von 30° schneidet. |
Hallo,
also ich habe mir dzu folgendes überlegt:
Man kann durch die Punkte A und B sowie einen Punkt C (x / y / z) eine Ebene aufstellen.
Diese Ebene hat dann einen Normalenvektor in Abhängigkeit von x, y und z. Das setze ich dann in die Formel für den Winkel zwischen zwei Ebenen ein und wollte x, y und z bestimmen.... Das funktioniert aber nicht, da ich ja dann im Prinzip nur eine Gleichung mit drei Unbekannten habe.
Hat jemand eine Idee, wie das sonst gehen könnte ?
Lg,
Exeqter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mi 08.04.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Bestimme eine Ebene durch die Punkte A(1/2/3) und B(0/0/6),
> welche die Ebene E: [mm]x_{1}+x_{2}+x_{3}=6[/mm] unter einem Winkel
> von 30° schneidet.
Der Schnittwinkel 2er Ebenen ist der Schnittwinkel ihrer Normalen, jedenfalls würde ich das so anpacken.
> Man kann durch die Punkte A und B sowie einen Punkt C (x /
> y / z) eine Ebene aufstellen.
Wenn du die Koordinatenform nimmst, weil du aus ihr einen Normalenvektor ablesen kannst, dann bleibt ein Parameter übrig, denk ich mal. Du hast 3 Unbekannte - die Koeffizienten - und 2 Gleichungen.
> Diese Ebene hat dann einen Normalenvektor in Abhängigkeit
> von x, y und z. Das setze ich dann in die Formel für den
> Winkel zwischen zwei Ebenen ein und wollte x, y und z
> bestimmen.... Das funktioniert aber nicht, da ich ja dann
> im Prinzip nur eine Gleichung mit drei Unbekannten habe.
Deine Unbekannten sind die Koeffizienten a, b und c, oder wie immer du sie nennst, die hängen von einem Parameter t ab, so daß letztlich auch der Normalenvektor und schließlich der gesuchte Winkel von diesem t abhängt. x, y und z sind deine unabhängigen Variablen, vermute ich jedenfalls. Es sollte 2 Lösungen geben, das ist anschaulich klar und hängt rechnerisch mit arcos zusammen.
Versuch's noch mal, oder frag.
Gruß
Dieter
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Hallo,
also angenommen ich nehme die Koordinatenform, dann hätte ich ja:
a*x+b*y+c*z=d
wenn ich jetzt schonmal vorraussetze, dass die Punkte A und B darin enthalten sein müssen, kann ich 2 Parameter eliminieren, also bsp.:
[mm] a*x-\bruch{2*a+d}{4}*y+\bruch{d}{6}*z=d
[/mm]
So die Formel für den Winkel zwischen zwei Ebene wäre die folgende:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{|n_1*n_2|}{|n_1|*|n_2|}
[/mm]
Setze ich da jetzt als einen Normalenvektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und als anderen [mm] \vektor{a \\ -\bruch{2*a+d}{4} \\ \bruch{d}{6}} [/mm] kann ich das doch immernoch nicht lösen... Kann man hier vielleicht nicht mit der Formel rangehen ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hallo,
>
> also angenommen ich nehme die Koordinatenform, dann hätte
> ich ja:
>
> a*x+b*y+c*z=d
>
> wenn ich jetzt schonmal vorraussetze, dass die Punkte A und
> B darin enthalten sein müssen, kann ich 2 Parameter
> eliminieren, also bsp.:
>
> [mm]a*x-\bruch{2*a+d}{4}*y+\bruch{d}{6}*z=d[/mm]
>
> So die Formel für den Winkel zwischen zwei Ebene wäre die
> folgende:
>
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{|n_1*n_2|}{|n_1|*|n_2|}[/mm]
>
> Setze ich da jetzt als einen Normalenvektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> und als anderen [mm]\vektor{a \\ -\bruch{2*a+d}{4} \\ \bruch{d}{6}}[/mm]
> kann ich das doch immernoch nicht lösen... Kann man hier
> vielleicht nicht mit der Formel rangehen ?
Hier benötigst Du die Zusatzbedingung:
[mm]\vmat{\vektor{a \\ -\bruch{2*a+d}{4} \\ \bruch{d}{6}}}=1[/mm]
Dann kannst Du über
[mm]cos(\alpha)=\bruch{|n_1*n_2|}{|n_1|*|n_2|}[/mm]
a in Abhängigkeit von d bzw. d in Abhängigkeit von a ausdrücken.
Und somit mittels der Zusatzbedingung den fehlenden Parameter bestimmen.
>
> Lg
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 08.04.2009 | | Autor: | chrisgee |
Hab nachgerechnet und zunächst nur eine Lösung gehabt, aber die Antwort über mir ist schonmal richtig. Nur so als Tipp: achte auf x1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Mi 08.04.2009 | | Autor: | weduwe |
mit dem NORMIERTEN normalenvektor der gesuchten ebene(n) [mm] \vec{n}_0=(a,b,c)^T [/mm] hast du 3 gleichungen, um seine komponenten zu bestimmen:
(1) [mm]a^2+b^2+c^2=1[/mm]
(2) [mm]a+b+c=\frac{3}{2}[/mm]
(3) [mm]a+2b-3c=0[/mm]
womit du die beiden ebenengleichungen aufstellen kannst
ich erhalte das hübsche ergebnis 
[mm] \vec{n}_0=\frac{1}{2}\vektor{1\mp 5W\\1\pm 4W\\1\pm W} [/mm] mit [mm] W=\frac{1}{\sqrt{41}}
[/mm]
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hi,
ja, so steht das hier auch im Lösungsbuch, aber wie kommt man auf diese Bedingungen? Ich blicke es einfach nicht.
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Mi 08.04.2009 | | Autor: | weduwe |
> hi,
>
> ja, so steht das hier auch im Lösungsbuch, aber wie kommt
> man auf diese Bedingungen? Ich blicke es einfach nicht.
>
> Lg
(1) der normierte normalenvektor hat die länge/den betrag [mm] |\vec{n}_0|=1
[/mm]
(2) [mm] cos(30°)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\vec{n}_0\cdot\vektor{1\\1\\1}}{1\cdot \sqrt{3}}
[/mm]
[mm] (3)\overrightarrow{AB}\cdot\vec{n}_0=0, [/mm] da die beiden vektoren senkrecht aufeinander stehen
jetzt ok 
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