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| Aufgabe | A(1/2/3)
B(0/0/6)
Bestimme eine Ebende durch die Punkte A und B, welche die Ebene: x+y+z=6 unter einem Winkel von 30° schneidet. |
Also ich zerbreche mir schon seit gestern abend den Kopf an der Aufgabe, aber komme einfach nicht weiter.
Ich würde mich über jede kleine Hilfe, die zur Lösung führt freuen.
Danke schonmal im Vorraus
MfG
GuapoChico
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
www.uni-protokolle.de/foren
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Di 14.02.2006 | | Autor: | ardik |
Mangels Zeit nur kurz eine Ansatz-Idee:
Du musst einen Normalenvektor finden, der rechtwinklig zu [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] und im 30°-Winkel zu [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] (dem Normalenvektor der gegebenen Ebene) steht.
Verwende dazu das Skalarprodukt.
Hth,
ardik
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Also leider versteh ich nicht so ganz wie ich diesen Normalenvektor errechnen kann? Vorallem versteh ich nicht, woher ich herausfinden soll, ab wann der winkel 30° beträgt!!
Könnte mir das bitte bitte jemand erklären?
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Hallo GuapoChico,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst hier mit der Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren vorgehen:
[mm] $\cos(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \vec{a}*\vec{b} }{\left|\vec{a}\right| \ * \ \left|\vec{b}\right|}$
[/mm]
Das heißt für Deine Aufgabe mit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 30°$ sowie [mm] $\vec{a} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\1\\1}$ [/mm] und [mm] $\left|\vec{a}\right| [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3}$ [/mm] :
[mm] $\cos(30°) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ \vektor{1\\1\\1}*\vektor{x\\y\\z} }{\wurzel{3} \ * \ \wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{ 1*x+1*y+1*z }{\wurzel{3} \ * \ \wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] $
Daraus ergibt sich dann folgendes Gleichungssystem:
$x+y+z \ = \ [mm] \wurzel{3}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{3}*\wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] \ = \ 2$ [mm] $\gdw$ $x^2+y^2+z^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4}{3}$
[/mm]
Hier kannst Du nun einen der Koordinaten beliebig wählen und anschließend die anderen beiden berechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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[mm] \cos(30°) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] \ ist doch garnicht richtig??
muss das nicht [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
..naja trotzdem danke ^^
Aber wie krieg ich denn von dort jetzt eine Ebene durch die beiden Punkte...
Könnte mir da jemand weiterhelfen?
Ich weiß, das klingt so als ob ich will, dass ihr meine ha's macht oder so. Aber ernsthaft, eigentlich kann ich das..nur blick ich bei der aufgabe nicht durch!!!
Aber dennoch n dickes fettes dankeschön!!!
MfG
GuapoChico>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Di 14.02.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Ihr,
edit: Durch sigrids Antwort hat sich die ausführliche Überarbeitung meiner Lösung erübrigt. Sie hat genau den Punkt getroffen, wo ich noch einen Denkfehler hatte.
zunächst eine Anmerkung zu Roadrunner:
Der Betrag von [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] ist natürlich beliebig und nicht unbedingt [mm]\wurzel {\bruch{4}{3}}[/mm]...
Vorüberlegungen:
Es gibt natürlich unendlich viele Normalenvektoren, die im 30°-Winkel um [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] liegen, sozusagen kegelförmig um diesen herum, außerdem ist deren Länge beliebig. Es gilt dann aus dieser Menge von Vektoren noch die zu finden, die senkrecht auf AB stehen. Da auch dieses unendlich viele sind, deren Länge ist ja immer noch beliebig, zeichnet sich ab, dass wir irgendwo im Laufe der Rechnung eine Komponente frei wählen können (oder uns einfach auf eine bestimmte Länge festlegen, wie Roadrunner es getan hat).
edit: Da A und B beide in der Ausgangsebene liegen, sagt die Anschauung, dass es exakt zwei Ebenen gibt, die die Aufgabenstellung erfüllen.
Berechnung:
[mm]\vec{n}[/mm] sei der gesuchte Normalenvektor.
Ich setze bei Roadrunners 30°-Gleichung an:
[mm]\cos{30°} = \bruch {\wurzel{3}}{2} = \bruch{x+y+z}{\wurzel{3}\ \wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm]
Ich beschließe, den Normalenvektor zu suchen, der die Länge 1 hat, für den also gilt:
[mm]\qquad |\vec{n}| = \wurzel{x^2+y^2+z^2} = 1 [/mm]
(0)[mm]\qquad x^2+y^2+z^2 = 1 [/mm]
[mm]\cos{30°} = \bruch {\wurzel{3}}{2} = \bruch{x+y+z}{\wurzel{3}} [/mm]
[mm](1)\quad x + y + z = \bruch {3}{2}[/mm]
Nun die Rechtwinkligkeit zu AB:
[mm]\overrightarrow{AB} = \vektor{0-1 \\ 0-2 \\ 6-3} = \vektor{-1 \\ -2 \\ 3}[/mm]
[mm]\overrightarrow{AB}\ \vec{n} = 0 [/mm]
[mm](2)\quad -x -2y + 3z = 0[/mm]
Nun kannst Du z.B. [mm]x=1[/mm] setzen und dann aus (0), (1) und (2) die restlichen Komponenten des Normalenvektors bestimmen. Schließlich wäre es dann noch ganz schick, die Komponenten des Normalenvekors so zu "erweitern", dass sie möglichst alle ganzzahlig sind...
An meiner Rechnung stört mich jetzt noch, dass trotz der Festlegung auf [mm] |\vec{n}| = 1 [/mm] immer noch die Freiheit bleibt, eine Komponente zu wählen. edit: siehe Sigrids Antwort. Ich hatte Gl. (0) zwar zur Vereinfachung der Winkelformel verwendet, aber dann nicht weiter als Bedingung berücksichtigt.
Da die Gleichung (0) quadratisch ist, werden auf diesem Wege die beiden Lösungen entstehen..
Schöne Grüße,
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Mi 15.02.2006 | | Autor: | ardik |
Dank riwes Ansatz ist mir aufgefallen, dass ich [mm]\overrightarrow{AB}[/mm] in der falschen Richtung berechnet hatte, also eigentlich [mm]\overrightarrow{AB}[/mm].
Habe ich lautlos in meiner Antwort korrigiert.
Für das Ergebnis ist dies bedeutungslos, da ja in beiden Fällen die Rechtwinkligkeit gegeben ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:23 Di 14.02.2006 | | Autor: | riwe |
was ich bis jetzt gelesen habe, überzeugt mich nicht (ganz). und ich glaube, da wird etwas wesentliches nicht beachtet. ich schlage daher einen ganz anderen weg vor, vielleicht umständlich aber er liefert zumindest eine lösung.
A und B liegen nämlich auch in E!
ich bastle mir daher ein halbes gleichseitiges dreieck ACD mit dem höhenfußpunkt C in E und bestimme D so, daß der winkel CAD = 30°, damit habe ich dann 3 punkte A, B und D und damit die gesuchte ebene.
1) berechnung von C: [mm] \overrightarrow{AB}= \vektor{-1 \\ -2\\3} \Rightarrow \vektor{-1\\ -2\\3} \times \vektor{1 \\ 1\\1}= \vektor{-5\\ 4\\1} \Rightarrow [/mm] g: [mm] \vec{x}= \vektor{1\\ 2\\3}+t \vektor{-5 \\ 4\\1} [/mm] und mit t = 1 ergibt sich C zu C(-4/6/4) und mit [mm] h = d(AC) \Rightarrow a=2\cdot \sqrt{14} [/mm]
2) bestimmung von D: [mm] \overrightarrow{OD}= \overrightarrow{OC}+\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} \vektor{1 \\ 1\\1} \Rightarrow D(-4+W/6+W/4+W) [/mm] mit [mm] W = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3}} [/mm]
3) das liefert den normalenvektor der gesuchten eben: [mm] \vec{n}= \vektor{14+5W \\ 14-4W\\14-W}[/mm]
wie man sich "leicht" überzeugt, liefert die ebene ABD den gewünschten schnittwinkel mit E.
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Aber da wird halt das Kreuzprodukt angewandt..und das dürfen wir dafür nicht benutzen...wir sollen das schon mit der Formel zur Winkelberechnung ausrechnen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 14.02.2006 | | Autor: | riwe |
wenns nur am kreuzprodukt scheitern sollte, das kann man "natürlich" mit dem skalarprodukt und einem linearen gls. umgehen.
und eigentlich finde ich es ziemlich doof, einen bestimmten lösungsweg zu verlangen. ist aber meine private meinung.
werner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 15.02.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo GuapoChico,
Hier noch einmal Ardiks Lösung. Sie ist aus meiner Sicht bis auf die Wahl von x=1 richtig.
Berechnung:
$ [mm] \vec{n} [/mm] $ sei der gesuchte Normalenvektor.
Ich setze bei Roadrunners 30°-Gleichung an:
$ [mm] \cos{30°} [/mm] = [mm] \bruch {\wurzel{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x+y+z}{\wurzel{3}\ \wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] $
Ich beschließe, den Normalenvektor zu suchen, der die Länge 1 hat, für den also gilt:
$ [mm] |\vec{n}| [/mm] = [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] = 1 $
$ [mm] \cos{30°} [/mm] = [mm] \bruch {\wurzel{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x+y+z}{\wurzel{3}} [/mm] $
$ [mm] (1)\quad [/mm] x + y + z = [mm] \bruch [/mm] {3}{2} $
Nun die Rechtwinkligkeit zu AB:
$ [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] = [mm] \vektor{0-1 \\ 0-2 \\ 6-3} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ 3} [/mm] $
$ [mm] \overrightarrow{AB}\ \vec{n} [/mm] = 0 $
$ (2) [mm] \quad [/mm] -x + (-2y) + 3z = 0 $
Nun kannst Du z.B. $ x=1 $ setzen und dann aus (1) und (2) die restlichen Komponenten des Normalenvektors bestimmen. Schließlich wäre es dann noch ganz schick, die Komponenten des Normalenvekors so zu "erweitern", dass sie möglichst alle ganzzahlig sind...
Da die Länge = 1 gesetzt ist, kann man keine Variable mehr frei wählen. Aber du hast ja auch drei Gleichungen mit drei Variablen:
$ [mm] \cos{30°} [/mm] = [mm] \bruch {\wurzel{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x+y+z}{\wurzel{3}} [/mm] $ $ [mm] \gdw \quad [/mm] x + y + z = [mm] \bruch {3}{2}\quad [/mm] (1)$
$ [mm] \overrightarrow{AB}\ \vec{n} [/mm] = 0 $ $ [mm] \gdw \quad [/mm] -x + -2y + 3z = 0 [mm] \quad [/mm] (2)$
$ [mm] |\vec{n}| [/mm] = [mm] \wurzel{x^2+y^2+z^2} [/mm] = 1 [mm] \quad [/mm] (3)$
Der Nachteil der Festlegung der Länge ist allerdings, dass man möglicherweise sehr krumme Ergebnisse bekommt. Bei mir ist das so, aber ich kann mich auch verrechnet haben.
Wenn du das vermeiden möchtest, musst du an Stelle von (1) die kompliziertere Gleichung von Roadrunner nehmen:
$ [mm] \cos{30°} [/mm] = [mm] \bruch {\wurzel{3}}{2} [/mm] = [mm] \bruch{x+y+z}{\wurzel{3}\wurzel{x^2+y^2+z^2}} [/mm] $
Gleichung (3) weglassen und eine Variable frei wählen.
Gruß
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:08 Mi 15.02.2006 | | Autor: | ardik |
riwes Ansatz ist interessant!
Es fehlt bei ihm (wie auch noch in meiner Lösung) die zweite Lösung, da es ja zwei Ebenen gibt, die die Ausgangsebenen im 30°-Winkel schneiden.
Das lässt sich leicht ergänzen, indem man [mm]W=\pm \bruch{\wurzel{14}}{\wurzel{3}}[/mm] setzt, also quasi D an der Ausgangsebene spiegelt.
Mir bleibt etwas unklar, was mit [mm]a[/mm] gemeint ist. Das wird nicht erläutert. Ich schätze, das muss die Länge der Seite AD des Dreiecks ACD sein, dann passt die Rechnung...
Gruß,
ardik
(der jetzt noch seinen eigenen Ansatz überarbeitet)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:43 Mi 15.02.2006 | | Autor: | riwe |
entschuldigung, ich dachte, das sei klar: a = seite des gleichseitigen dreiecks, und klarerweise gibt es 2 lösungen, die zweite ergibt sich mit vorzeichenwechsel, aber dazu war ich zu faul, aber der weg ist wohl klar.
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