Ebene senkrecht zu Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 Fr 06.02.2009 | | Autor: | ladytine |
Hab hier eine Aufgabe mit der ich nicht so wirklich weiterkomme.
Habe eine Ebene vorgegeben in Normalenform, so weit wie möglich zusammengefasst. Zu dieser Ebene soll eine senkrechte Ebene gebildet werden, wobei noch ein Punkt P vorgegeben ist, durch den diese Ebene verlaufen soll.
Meine bisherigen Ansätze/Ideen/Bedingungen:
1) Der Normalenvektor der neuen Ebene E* muss senkrecht zu dem der Ebene E sein.
2)Der Vektor OP dient als Stützvektor der neuen Ebene E*
3)Der Normalenvektor der vorgegebenen Ebene E kann als einer der beiden 'Richtungsvektoren' der neuen Ebene genutzt werden, aus dem sich dann ggf auch der neue Normalenvektor n* errechnen ließe?!
Allerdings komme ich nicht zu einem brauchbaren Ansatz der zu einer lösbaren Gleichung führt. Es fehlt immer irgendwas...
Tipps? Ansätze?
Bin für alles dankbar!
tine
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Hallo ladytine,
das liest sich doch schon sehr gut:
> Habe eine Ebene vorgegeben in Normalenform, so weit wie
> möglich zusammengefasst. Zu dieser Ebene soll eine
> senkrechte Ebene gebildet werden, wobei noch ein Punkt P
> vorgegeben ist, durch den diese Ebene verlaufen soll.
>
> Meine bisherigen Ansätze/Ideen/Bedingungen:
> 1) Der Normalenvektor der neuen Ebene E* muss senkrecht zu
> dem der Ebene E sein.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2)Der Vektor OP dient als Stützvektor der neuen Ebene E*
> 3)Der Normalenvektor der vorgegebenen Ebene E kann als
> einer der beiden 'Richtungsvektoren' der neuen Ebene
> genutzt werden, aus dem sich dann ggf auch der neue
> Normalenvektor n* errechnen ließe?!
Stimmt, aber Du gehst offenbar davon aus, dass es eine eindeutige Lösung gibt. Das ist aber nicht so. Überlegs Dir mal räumlich. Fälle das Lot von P auf die gegebene Ebene. Erweitere diese Strecke zu einer Geraden. Nun erfüllt jede Ebene, die diese Gerade enthält, die geforderte Bedingung! Du wirst also, wenn keine weiteren Angaben vorliegen, eine Ebenenschar erhalten.
> Allerdings komme ich nicht zu einem brauchbaren Ansatz der
> zu einer lösbaren Gleichung führt. Es fehlt immer
> irgendwas...
Kommst Du damit weiter? Deine Lösung enthält selbst in (Hessescher) Normalform noch einen Parameter.
> Tipps? Ansätze?
> Bin für alles dankbar!
>
> tine
Liebe Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Fr 06.02.2009 | | Autor: | ladytine |
Okok. DAS ist schon mal klar. Danke für die shcnelle Antwort!
Jetzt hab ich aber noch eine Frage dazu, wie ich das aufschreiben soll. Also die Gerade habe ich, geht ja schnell auszurechnen. Aber ich soll ja eine Ebenengleichung aufstellen.
Bisher hab ich ja:
g: x= 0P + lambda u
Ich verstehe, dass alle Ebenen, die diese Gerade enthalten, die Bedingung erfüllen. Aber wie schreibe ich die Ebenenschar wenn man das in dem Fall so nennen kann, denn auf?
Also bisher hab ich ja konkrete Werte aber soll ich dann einen komplett "theoretischen" Vektor (k1/k2/k3) noch dazunehmen?
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Hallo ladytine,
> Okok. DAS ist schon mal klar. Danke für die shcnelle
> Antwort!
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> Jetzt hab ich aber noch eine Frage dazu, wie ich das
> aufschreiben soll. Also die Gerade habe ich, geht ja
> schnell auszurechnen. Aber ich soll ja eine Ebenengleichung
> aufstellen.
> Bisher hab ich ja:
> g: x= 0P + lambda u
>
> Ich verstehe, dass alle Ebenen, die diese Gerade enthalten,
> die Bedingung erfüllen. Aber wie schreibe ich die
> Ebenenschar wenn man das in dem Fall so nennen kann, denn
> auf?
> Also bisher hab ich ja konkrete Werte aber soll ich dann
> einen komplett "theoretischen" Vektor (k1/k2/k3) noch
> dazunehmen?
Nein.
Wenn sich zwei Ebenen [mm]E_{1}, \ E_{2}[/mm] senkrecht schneiden,
dann müssen deren Normalenvektoren senkrecht aufeinander stehen.
Die Ebenengleichung der Ebene [mm]E_{2}[/mm] lautet:
[mm]E_{2}: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda*\overrightarrow{u}+\gamma*\overrightarrow{v}[/mm]
Als [mm]\overrightarrow{u}[/mm] hast Du den Normalenvektor der Ebene [mm]E_{1}[/mm] genommen.
Der Einfachheit halber kannst Du annehmen,
daß die Richtungsvektoren der Ebene [mm]E_{2}[/mm] auch senkrecht aufeinanderstehen.
Demnach muß gelten:
[mm]\overrightarrow{u} \* \overrightarrow{v}=0[/mm]
[mm]\overrightarrow{n_{2}} \* \overrightarrow{v}=0[/mm]
,wobei [mm]n_{2}[/mm] der Normalenvektor der Ebene [mm]E_{2}[/mm] ist.
Wie ergibt sich nun der Vektor [mm]\overrightarrow{v}[/mm] ?
Gruß
MathePower
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