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| Aufgabe | Im R³ seien die Punkte P1 = (1,1,1), P2 = (1,0,0) und P3 = (0,1,0) gegeben.
a) Bestimmen sie die Parameterdarstellung der Ebene E durch diese Punkte.
b) Bestimmen sie die zugehörige Hesse-Normalform von E.
c) Berrechnen sie mithilfe der Hessenormalform die Senkrechte Projektion des Ortsvektors [mm] y^{T} [/mm] = (0,0,1) auf diese Ebene. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo und schönen Abend!
Also a) und b) sind hoffentlich richtig gelöst allerdings weiss ich nicht wie c) zu lösen ist.
a) X = P1 + r(P2 - P1) + s(P3 - P1)
- > [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + r[mm]\vektor{0 \\ -1 \\ -1}[/mm] + s [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
b) 1. Normalenvektor: [mm]\vec{n}[/mm] = (P2 - P1) x (P3 - P1) = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
Basis: [mm] \vec{n°} [/mm] = [mm] \bruch{ \vec{n} }{| \vec{n} |} = \vektor{1/ \wurzel{3} \\1/ \wurzel{3} \\1/ \wurzel{3} } [/mm] .
-> Hesse Normalform:
X * [mm] \vektor{ 1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{3} } - d [/mm]
c) Ich habe folgende Formel:
[mm] p = \vec{v} + 1 / || \vec{n} ||^{2} * ( \alpha - \vec{v} * \vec{n} ) \vec{n} [/mm]
ich schätze das ich nach v auflösen muss.
Das Problem ist aber:
was ist die enthaltenen Größe alpha ?
was genau tue ich eigentlich mit der formel?
laut Def: alpha = x° * n ... und was ist x° ???
Ich hoffe das mir hier geholfen werden kann!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Do 22.02.2007 | | Autor: | wauwau |
> Im R³ seien die Punkte P1 = (1,1,1), P2 = (1,0,0) und P3 =
> (0,1,0) gegeben.
>
> a) Bestimmen sie die Parameterdarstellung der Ebene E durch
> diese Punkte.
> b) Bestimmen sie die zugehörige Hesse-Normalform von E.
> c) Berrechnen sie mithilfe der Hessenormalform die
> Senkrechte Projektion des Ortsvektors [mm]y^{T}[/mm] = (0,0,1) auf
> diese Ebene.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo und schönen Abend!
> Also a) und b) sind hoffentlich richtig gelöst allerdings
> weiss ich nicht wie c) zu lösen ist.
>
> a) X = P1 + r(P2 - P1) + s(P3 - P1)
> - > [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + r[mm]\vektor{0 \\ -1 \\ -1}[/mm] + s
> [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ -1}[/mm]
>
>
> b) 1. Normalenvektor: [mm]\vec{n}[/mm] = (P2 - P1) x (P3 - P1) =
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> Basis: [mm]\vec{n°}[/mm] = [mm]\bruch{ \vec{n} }{| \vec{n} |} = \vektor{1/ \wurzel{3} \\1/ \wurzel{3} \\1/ \wurzel{3} }[/mm]
> .
>
> -> Hesse Normalform:
>
> X * [mm]\vektor{ 1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{3} } - d[/mm]
Korrektur:
X * [mm]\vektor{ 1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{3} \\-1/\wurzel{3} } = 1[/mm]
>
> c) Ich habe folgende Formel:
>
> [mm]p = \vec{v} + 1 / || \vec{n} ||^{2} * ( \alpha - \vec{v} * \vec{n} ) \vec{n}[/mm]
>
> ich schätze das ich nach v auflösen muss.
> Das Problem ist aber:
> was ist die enthaltenen Größe alpha ?
> was genau tue ich eigentlich mit der formel?
> laut Def: alpha = x° * n ... und was ist x° ???
>
> Ich hoffe das mir hier geholfen werden kann!
>
Sei [mm] n_{0} [/mm] der o.a. Einheitsnormalvektor der HNF, [mm] \vec{v} [/mm] der gegebene Richtungsvektor
und [mm] \vec{p} [/mm] die gesuchte Projektion
Dann kannst du dir sogar aufzeichnen, dass folgende Bedingungen erfüllt sein müssen:
(1) [mm] (\vec{p}.\vec{n_{0}}) [/mm] = 0
(2) [mm] \vec{p}+\mu\vec{n_{0}}-\vec{v}=0 [/mm] mit einem gewissen [mm] \mu
[/mm]
die zweite Gl mit [mm] \vec{n_{0}} [/mm] von rechts multipliziert ergibt das [mm] \mu
[/mm]
und daraus
[mm] \vec{p} [/mm] = [mm] \vec{v} [/mm] - [mm] (\vec{v}\vec{n_{0}}).\vec{n_{0}}
[/mm]
in runden Klammern steht das Skalarprodukt
Ausrechnen kannst du dann selbst
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Sa 24.02.2007 | | Autor: | Heinemann |
Vielen Dank wauwau!
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Ich weiss noch nicht genau ob ich das verstanden habe.
p ist die gesuchte projektion (in der ebene).
v ist der gegeben vektor y.
n die errechnete Basis n0.
Wenn du µ = ( v * n) / |n| herausbekommen würdest,
dann würde die Formel mit der oben aus dem skript übereinstimmen!!!
( für "alpha" = n * p = 0 )
Das Ergebnis müsste dann p = ( -1, -1, 0 ) sein!
Wäre super nett wenn das einer gegenrechnen könnte!
Vielen Dank!
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> p ist die gesuchte projektion (in der ebene).
> v ist der gegeben vektor y.
> n die errechnete Basis [mm] n_0.
[/mm]
Hallo,
[mm] n_0 [/mm] ist der Normaleneinheitsvektor, also [mm] |n_0|=1
[/mm]
>
> Wenn du µ = ( v * n) / |n| herausbekommen würdest,
> dann würde die Formel mit der oben aus dem skript
> übereinstimmen!!!
> ( für "alpha" = n * p = 0 )
Wenn man mit der normierten Normalen rechnet, hat man µ = ( v * [mm] n_0) [/mm] / [mm] |n_0| [/mm] =v * [mm] n_0.
[/mm]
Also alles wunschgemäß.
>
> Das Ergebnis müsste dann p = ( -1, -1, 0 ) sein!
> Wäre super nett wenn das einer gegenrechnen könnte!
Da hast Du Dich verrechnet, was Du schon daran sehen kannst, daß dieser Vektor nicht senkrecht zum Normalenvektor ist - Du suchst doch einen Vektor parallel zur Ebene.
Rechne einfach nochmal:
$ [mm] \vec{p} [/mm] $ = $ [mm] \vec{v} [/mm] $ - $ [mm] (\vec{v}\vec{n_{0}}).\vec{n_{0}} [/mm] $
mit [mm] v=\vektor{0 \\ 0\\1}, n_0=\vektor{ 1/\wurzel{3} \\1/\wurzel{3} \\-1/\wurzel{3} }
[/mm]
Gruß v. Angela
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