Ebenenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Durch die Punkte A(2/1/1), B(3/0/2) und [mm] C_{a}(a/-a/2), a\in\IR [/mm] wird im kartesischen Koordinatensystem eine Schar von Ebenen [mm] E_{a} [/mm] definiert,die die Punkte A,B und [mm] C_{a} [/mm] enthält.
a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung und eine Koordinarengleichung der Ebenenschar [mm] E_{a}. [/mm] |
Hallo zusammen^^
Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,komme aber nicht mehr weiter.Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich hab zunächst die Prameterlgeichung aufgestellt.
[mm] E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a-2 \\ -a-1 \\ 1}.
[/mm]
Jetzt will ich die Koordinatengleichung,also schreib ich :
1.) x=2+r+sa-2s
2.) y=1-r-sa-s
3.) z=1+r+s
Jetzt kann ich 1.)+2.) rechnen und hab x+y=3-s.Ich kann aber dann das s nicht mehr eliminieren.Und eigentlich darf ich das a doch nicht eliminieren oder,weil ich das für die Schar brauche???
Ich komme hier grad nicht weiter...kann mir jemand helfen?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy_90,
> Durch die Punkte A(2/1/1), B(3/0/2) und [mm]C_{a}(a/-a/2), a\in\IR[/mm]
> wird im kartesischen Koordinatensystem eine Schar von
> Ebenen [mm]E_{a}[/mm] definiert,die die Punkte A,B und [mm]C_{a}[/mm]
> enthält.
>
> a) Bestimmen Sie eine Parametergleichung und eine
> Koordinarengleichung der Ebenenschar [mm]E_{a}.[/mm]
> Hallo zusammen^^
>
> Ich beschäftige mich grad mit dieser Aufgabe,komme aber
> nicht mehr weiter.Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> Ich hab zunächst die Prameterlgeichung aufgestellt.
>
> [mm]E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a-2 \\ -a-1 \\ 1}.[/mm]
>
> Jetzt will ich die Koordinatengleichung,also schreib ich :
>
> 1.) x=2+r+sa-2s
> 2.) y=1-r-sa-s
> 3.) z=1+r+s
>
> Jetzt kann ich 1.)+2.) rechnen und hab x+y=3-s.Ich kann
> aber dann das s nicht mehr eliminieren.Und eigentlich darf
> ich das a doch nicht eliminieren oder,weil ich das für die
> Schar brauche???
> Ich komme hier grad nicht weiter...kann mir jemand
> helfen?
>
Nun, löse [mm]x+y=3-\red{3}s[/mm] nach s auf,
setze dies dann in 1.) oder 2.) ein,
und löse dann nach r auf.
Zu guter letzt, setze r und s in 3.) ein.
>
> Vielen Dank
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Jetzt will ich die Koordinatengleichung,also schreib ich :
> >
> > 1.) x=2+r+sa-2s
> > 2.) y=1-r-sa-s
> > 3.) z=1+r+s
> >
> > Jetzt kann ich 1.)+2.) rechnen und hab x+y=3-s.Ich kann
> > aber dann das s nicht mehr eliminieren.Und eigentlich darf
> > ich das a doch nicht eliminieren oder,weil ich das für die
> > Schar brauche???
> > Ich komme hier grad nicht weiter...kann mir jemand
> > helfen?
> >
>
> Nun, löse [mm]x+y=3-\red{3}s[/mm] nach s auf,
> setze dies dann in 1.) oder 2.) ein,
> und löse dann nach r auf.
>
> Zu guter letzt, setze r und s in 3.) ein.
>
ok,Vielen Dank.Das hab ich gemacht und habe am Ende
[mm] 0=x*(\bruch{1}{3}a)+y*(\bruch{1}{3}a)-a-z=0
[/mm]
Stimmt das so?Und ist das dann meine Koordinatengleichung?
lg
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Hallo Mandy_90,
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> > > Jetzt will ich die Koordinatengleichung,also schreib ich :
> > >
> > > 1.) x=2+r+sa-2s
> > > 2.) y=1-r-sa-s
> > > 3.) z=1+r+s
> > >
> > > Jetzt kann ich 1.)+2.) rechnen und hab x+y=3-s.Ich kann
> > > aber dann das s nicht mehr eliminieren.Und eigentlich darf
> > > ich das a doch nicht eliminieren oder,weil ich das für die
> > > Schar brauche???
> > > Ich komme hier grad nicht weiter...kann mir jemand
> > > helfen?
> > >
> >
> > Nun, löse [mm]x+y=3-\red{3}s[/mm] nach s auf,
> > setze dies dann in 1.) oder 2.) ein,
> > und löse dann nach r auf.
> >
> > Zu guter letzt, setze r und s in 3.) ein.
> >
>
> ok,Vielen Dank.Das hab ich gemacht und habe am Ende
>
> [mm]0=x*(\bruch{1}{3}a)+y*(\bruch{1}{3}a)-a-z=0[/mm]
Das stimmt nicht ganz:
[mm]x*(\bruch{1}{3}a)+y*\red{(\bruch{1}{3}a)-a}-z=0[/mm]
Die rot unterlegten Ausdrücke stimmen nicht.
> Stimmt das so?Und ist das dann meine Koordinatengleichung?
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Fr 20.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Das stimmt nicht ganz:
>
> [mm]x*(\bruch{1}{3}a)+y*\red{(\bruch{1}{3}a)-a}-z=0[/mm]
>
> Die rot unterlegten Ausdrücke stimmen nicht.
>
ok,ich habs nochmal gemacht und komme auf
[mm] 0=x*(\bruch{1}{3}a)+y*(\bruch{1}{3}a-1)-a-z+2.
[/mm]
Ist das -a trotzdem noch falsch oder stimmt es jetzt?
lg
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Hallo Mandy_90,
>
> > Das stimmt nicht ganz:
> >
> > [mm]x*(\bruch{1}{3}a)+y*\red{(\bruch{1}{3}a)-a}-z=0[/mm]
> >
> > Die rot unterlegten Ausdrücke stimmen nicht.
> >
>
> ok,ich habs nochmal gemacht und komme auf
>
> [mm]0=x*(\bruch{1}{3}a)+y*(\bruch{1}{3}a-1)-a-z+2.[/mm]
>
> Ist das -a trotzdem noch falsch oder stimmt es jetzt?
Das stimmt jetzt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | b) Zeigen Sie,dass sich alle Ebenen der Schar [mm] E_{a} [/mm] in einer gemeinsamen Gerade g schneiden.Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Geraden g. |
Hallo^^
Ich hab jetzt mal die Aufgabe b) versucht,komme hier aber an einer Stelle nicht mehr weiter.
Ich hab ja zunächt meine Ebene:
[mm] E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a-2 \\ -a-1 \\ 1} [/mm] (in Parametergleichung)
und [mm] E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a)+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a-1)-a-z+2 [/mm] (in Koordinatengleichung).
Jetzt nehme ich mir [mm] E_{a1} [/mm] und [mm] E_{a2}.In [/mm] die Parametergleichung setz ich a1 ein und in die Koordinatengleichung a2.
[mm] E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a_{1}-2 \\ -a_{1}-1 \\ }
[/mm]
[mm] E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a_{2})+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a_{2}-1)-a_{2}-z+2.
[/mm]
Dann nehme ich die Koordinaten der Prametergleichung und setze diese in die Koordinatengelichung ein,also
[mm] x=2+r+s*a_{1}-2s
[/mm]
[mm] y=1-r-s*a_{1}-s
[/mm]
z=1+r+s
[mm] 0=(2+r+s*a_{1}-2s)*\bruch{1}{3}a_{2}+(1-r-s*a_{1}-s)*\bruch{1}{3}a_{2}-(1-r-s*a_{1}-s)-a_{2}-(1+r+s)+2
[/mm]
Wenn ich das ganze ausklammere und zusammenfasse,komme ich am Ende auf
[mm] -\bruch{2}{3}sa_{2}+sa_{1}=0
[/mm]
[mm] s=\bruch{0}{-\bruch{2}{3}sa_{2}+sa_{1}}
[/mm]
Dann würde aber für s=0 rauskommen und eigentlich muss hier dürfen auch nicht [mm] a_{2} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] beide 0 sein.
Dann würde für die Schnittgerade,wenn ich s=0 einsetze,rauskommen:
[mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
Heißt das,alle Ebenen schneiden sich in dieser Gerade?
Vielen Dank
lg
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> b) Zeigen Sie,dass sich alle Ebenen der Schar [mm]E_{a}[/mm] in
> einer gemeinsamen Gerade g schneiden.Bestimmen Sie eine
> Gleichung dieser Geraden g.
> Hallo^^
>
> Ich hab jetzt mal die Aufgabe b) versucht,komme hier aber
> an einer Stelle nicht mehr weiter.
>
> Ich hab ja zunächt meine Ebene:
>
> [mm]E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a-2 \\ -a-1 \\ 1}[/mm]
> (in Parametergleichung)
>
> und
> [mm]E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a)+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a-1)-a-z+2[/mm]
> (in Koordinatengleichung).
>
> Jetzt nehme ich mir [mm]E_{a1}[/mm] und [mm]E_{a2}.In[/mm] die
> Parametergleichung setz ich a1 ein und in die
> Koordinatengleichung a2.
>
> [mm]E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a_{1}-2 \\ -a_{1}-1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a_{2})+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a_{2}-1)-a_{2}-z+2.[/mm]
>
> Dann nehme ich die Koordinaten der Prametergleichung und
> setze diese in die Koordinatengelichung ein,also
>
> [mm]x=2+r+s*a_{1}-2s[/mm]
> [mm]y=1-r-s*a_{1}-s[/mm]
> z=1+r+s
>
> [mm]0=(2+r+s*a_{1}-2s)*\bruch{1}{3}a_{2}+(1-r-s*a_{1}-s)*\bruch{1}{3}a_{2}-(1-r-s*a_{1}-s)-a_{2}-(1+r+s)+2[/mm]
>
> Wenn ich das ganze ausklammere und zusammenfasse,komme ich
> am Ende auf
>
> [mm]-\bruch{2}{3}sa_{2}+sa_{1}=0[/mm]
>
> [mm]s=\bruch{0}{-\bruch{2}{3}sa_{2}+sa_{1}}[/mm]
>
> Dann würde aber für s=0 rauskommen und eigentlich muss hier
> dürfen auch nicht [mm]a_{2}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] beide 0 sein.
>
> Dann würde für die Schnittgerade,wenn ich s=0
> einsetze,rauskommen:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}.[/mm]
>
> Heißt das,alle Ebenen schneiden sich in dieser Gerade?
Stimmt - und wenn Du nochmals die Parameterform von [mm] $E_a$ [/mm] anschaust, siehst Du dies doch sogar durch blosses Draufschauen:
[mm]E_{a}:\red{\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}}+s\cdot{}\vektor{a_{1}-2 \\ -a_{1}-1 \\ 1}[/mm]
Denn in diesem Teil der Parametergleichung tritt der Parameter $a$ gar nicht auf. Alle Punkte, deren Ortsvektor durch den rot marktierten Teil (der Parametergleichung einer Geraden) dargestellt werden können, liegen also in allen Ebenen [mm] $E_a$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Sa 21.03.2009 | | Autor: | abakus |
> > b) Zeigen Sie,dass sich alle Ebenen der Schar [mm]E_{a}[/mm] in
> > einer gemeinsamen Gerade g schneiden.Bestimmen Sie eine
> > Gleichung dieser Geraden g.
> > Hallo^^
> >
> > Ich hab jetzt mal die Aufgabe b) versucht,komme hier aber
> > an einer Stelle nicht mehr weiter.
> >
> > Ich hab ja zunächt meine Ebene:
> >
> > [mm]E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a-2 \\ -a-1 \\ 1}[/mm]
> > (in Parametergleichung)
> >
> > und
> >
> [mm]E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a)+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a-1)-a-z+2[/mm]
> > (in Koordinatengleichung).
> >
> > Jetzt nehme ich mir [mm]E_{a1}[/mm] und [mm]E_{a2}.In[/mm] die
> > Parametergleichung setz ich a1 ein und in die
> > Koordinatengleichung a2.
> >
> > [mm]E_{a}:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}+s\cdot{}\vektor{a_{1}-2 \\ -a_{1}-1 \\ 1}[/mm]
>
> >
> >
> [mm]E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a_{2})+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a_{2}-1)-a_{2}-z+2.[/mm]
> >
> > Dann nehme ich die Koordinaten der Prametergleichung und
> > setze diese in die Koordinatengelichung ein,also
> >
> > [mm]x=2+r+s*a_{1}-2s[/mm]
> > [mm]y=1-r-s*a_{1}-s[/mm]
> > z=1+r+s
> >
> >
> [mm]0=(2+r+s*a_{1}-2s)*\bruch{1}{3}a_{2}+(1-r-s*a_{1}-s)*\bruch{1}{3}a_{2}-(1-r-s*a_{1}-s)-a_{2}-(1+r+s)+2[/mm]
> >
> > Wenn ich das ganze ausklammere und zusammenfasse,komme ich
> > am Ende auf
> >
> > [mm]-\bruch{2}{3}sa_{2}+sa_{1}=0[/mm]
> >
> > [mm]s=\bruch{0}{-\bruch{2}{3}sa_{2}+sa_{1}}[/mm]
> >
> > Dann würde aber für s=0 rauskommen und eigentlich muss hier
> > dürfen auch nicht [mm]a_{2}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] beide 0 sein.
> >
> > Dann würde für die Schnittgerade,wenn ich s=0
> > einsetze,rauskommen:
> >
> > [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}.[/mm]
>
> >
> > Heißt das,alle Ebenen schneiden sich in dieser Gerade?
>
> Stimmt - und wenn Du nochmals die Parameterform von [mm]E_a[/mm]
> anschaust, siehst Du dies doch sogar durch blosses
> Draufschauen:
> [mm]E_{a}:\red{\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+r\cdot{}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}}+s\cdot{}\vektor{a_{1}-2 \\ -a_{1}-1 \\ 1}[/mm]
>
> Denn in diesem Teil der Parametergleichung tritt der
> Parameter [mm]a[/mm] gar nicht auf. Alle Punkte, deren Ortsvektor
> durch den rot marktierten Teil (der Parametergleichung
> einer Geraden) dargestellt werden können, liegen also in
> allen Ebenen [mm]E_a[/mm].
Außerdem:
die Ebenen sind bestimmt durch zwei feste Punkte A und B und einen variablen Punkt C.
ALLE Ebenen gehen also durch die Punkte A und B, damit liegt die Gerade AB in allen Ebenen.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:28 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Ebenen [mm] E_{a} [/mm] mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von a.Für welche Werte von a gibt es keine 3 Schnittpunkte?Geben Sie für diese Fälle eine geometrische Deutung an. |
Ich hab jetzt auch mal Aufgabe c) versucht.
[mm] E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a)+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a-1)-a-z+2.
[/mm]
1.Schnittpunkt mit der x-Achse:
Da setz ich für y=0 und z=0 ein,dann hab ich:
[mm] x*\bruch{1}{3}a-a=-2
[/mm]
x=a*(a-2)
2.Schnittpunkt der y-Achse:
x=0,z=0
[mm] y*(\bruch{1}{3}a-1)-a=-2
[/mm]
[mm] y=\bruch{a-2}{\bruch{1}{3}a-1}
[/mm]
3.Schnittpunkt der z-Achse:
-a-z=-2
z=2-a
Die Schnittpunkte hab ich jetzt,stimmen die so?
Ich weiß nur nicht,wie ich jetzt untersuchen kan,,für welche Werte von a es keine 3 Schnittpunkte gibt.Kann mir da jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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> Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Ebenen
> [mm]E_{a}[/mm] mit den Koordinatenachsen in Abhängigkeit von a.Für
> welche Werte von a gibt es keine 3 Schnittpunkte?Geben Sie
> für diese Fälle eine geometrische Deutung an.
> Ich hab jetzt auch mal Aufgabe c) versucht.
>
> [mm]E_{a}:0=x\cdot{}(\bruch{1}{3}a)+y\cdot{}(\bruch{1}{3}a-1)-a-z+2.[/mm]
>
> 1.Schnittpunkt mit der x-Achse:
>
> Da setz ich für y=0 und z=0 ein,dann hab ich:
>
> [mm]x*\bruch{1}{3}a-a=-2[/mm]
>
> x=a*(a-2)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Des weiteren willst Du hier durch den Parameter $a$ dividieren, musst also eine Fallunterscheidung einführen: 1. Fall $a=0$, 2. Fall [mm] $a\neq [/mm] 0$.
Im ersten Fall gibt es keinen Schnittpunkt mit der $x$-Achse.
>
> 2.Schnittpunkt der y-Achse:
>
> x=0,z=0
>
> [mm]y*(\bruch{1}{3}a-1)-a=-2[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{a-2}{\bruch{1}{3}a-1}[/mm]
, aber nur falls [mm] $a\neq [/mm] 3$. Ist aber $a=3$ gibt es wieder keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
>
>
> 3.Schnittpunkt der z-Achse:
>
> -a-z=-2
> z=2-a
> Die Schnittpunkte hab ich jetzt,stimmen die so?
Nicht alle, siehe oben.
> Ich weiß nur nicht,wie ich jetzt untersuchen kan,,für
> welche Werte von a es keine 3 Schnittpunkte gibt.
Wenn Du eine Gleichung mit Parameter auflöst, musst Du darauf achten, ob die Umformung, die Du vornehmen willst, überhaupt zulässig bzw. eine Äquivalenzumformung ist. Beim Auflösen der Schnittgleichungen für den Schnitt mit der $x$- bzw. $y$-Achse hast Du die Gleichung jeweils durch einen Term dividiert, der für gewisse Parameterwerte $a$ gleich $0$ ist. An diesem Stellen musst Du eine Fallunterscheidung machen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,vielen Dank.
Bedeutet das jetzt,dass es für a=0 keinen Schnittpunkt der x-Achse gibt und für a=3 keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.Und ansonsten gibts für alle a Schnittpunkte mit allen drei Achsen?
Würde das dann auch heißen,dass die Ebene für a=0 parallel zur x-Achse ist und die Ebene mit a=3 parallel zur y-Achse ist?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Sa 21.03.2009 | | Autor: | hawe |
Das wäre jetzt mal die Gesamtsituation
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 So 22.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
ok vielen Dank
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