Eckpunkt im Dreieck berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie Punkt 3, die Länge [mm] l_2,_3 [/mm] , cos [mm] \alpha [/mm] sowie Punkt 1
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Meine Frage lautet nun:
Wie bestimme ich den Punkt 3?
Auch nach drei tägigem probieren aller möglichen Lösungen, habe ich es leider nicht geschafft... :-(
Hier das Bild der Aufgabenstellung:
![[]](/images/popup.gif) [img=http://img363.imageshack.us/img363/7949/matheni0.th.jpg]
oder
http://img363.imageshack.us/img363/7949/matheni0.jpg
Vielen lieben Dank im Voraus!
Gruß, Marty
P.S. Dies ist mein erstes Posting hier, falls ich etwas falsch gemacht haben sollte, bitte einfach drauf hinweisen... 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Fr 26.01.2007 | | Autor: | riwe |
hallo,
du mußt zuerst teil b) lösen und die cosinus der winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] berechnen.
dann kannst du dich mit hilfe des skalarproduktes daran machen, die "richtungseinheitsvektoren" der geraden [mm] g_{13} [/mm] und [mm] g_{23} [/mm] durch [mm] P_1P_3 [/mm] und [mm] P_2P_3 [/mm] zu ermitteln.
der rest: die beiden geraden schneiden ergibt [mm] P_3
[/mm]
aus b) bekommst du [mm]cos\beta=-\frac{5}{3}[/mm]. mit [mm] \overrightarrow{P_2P_1}=\vektor{-3a\\8a} [/mm] hast du dann mit dem richtungseinheitsvektor [mm] \vec{r}=\vektor{r_1\\r_2}:
[/mm]
[mm] -\frac{3}{5}=\frac{1}{a\sqrt{73}}\cdot\vektor{-3a\\8a}\cdot\vektor{r_1\\r_2}
[/mm]
und daraus
[mm] r_1=\frac{8}{3}r_2+\frac{\sqrt{73}}{5}
[/mm]
sowie
[mm]r²_1+r²_2=1[/mm]
damit kannst du den 1. richtungsvektor ermitteln
(achtung, es gibt 2 lösungen, du mußt die nehmen, bei der der winkel paßt)
[mm] \vec{r}=\frac{1}{5\sqrt{73}}\cdot\vektor{41\\-12}
[/mm]
dasselbe nocheinmal, die geraden schneiden
[mm]P_3(18.6365a/-1.9914a)[/mm].
hoffentlich hilft es dir weiter
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | | Bestimmung von Punkt 3 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Leider kann ich den Teil [mm] -\bruch{3}{5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a\wurzel[1]{73}} \* \vektor{-3a \\ 8a} \* \vektor{r_{1}\\ r_{2}}
[/mm]
und dem folgenden Schritt nicht...
Dies würde ja
[mm] \bruch{1}{cos \alpha}=\bruch{\overline{P2P1}}{\vmat{ a\wurzel[1]{73}} } \* \vektor{-3a \\ 8a} \* \vektor{r_{1}\\ r_{2}}
[/mm]
entsprechen.
Liegt dort ein Fehler vor?
Denn das Skalarprodukt lautet ja nicht [mm] \bruch {1}{\cos \alpha}=....
[/mm]
sondern [mm] \cos\alpha=.... [/mm] oder liegt da mein Denkfehler?
Wer wäre so nett und könnte mir den Schritt genauer erklären?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß, Marty
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Di 30.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Bestimmung von Punkt 3
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Leider kann ich den Teil [mm]-\bruch{3}{5}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{a\wurzel[1]{73}} \* \vektor{-3a \\ 8a} \* \vektor{r_{1}\\ r_{2}}[/mm]
>
> und dem folgenden Schritt nicht...
>
> Dies würde ja
> [mm]\bruch{1}{cos \alpha}=\bruch{\overline{P2P1}}{\vmat{ a\wurzel[1]{73}} } \* \vektor{-3a \\ 8a} \* \vektor{r_{1}\\ r_{2}}[/mm]
>
> entsprechen.
> Liegt dort ein Fehler vor?
> Denn das Skalarprodukt lautet ja nicht [mm]\bruch {1}{\cos \alpha}=....[/mm]
>
> sondern [mm]\cos\alpha=....[/mm] oder liegt da mein Denkfehler?
>
> Wer wäre so nett und könnte mir den Schritt genauer
> erklären?
>
> Vielen Dank im Voraus!
> Gruß, Marty
hallo marty,
???? verstehe nicht so recht, was du da siehst!
ok ein neuer versuch :
wir bestimmen den einheitsvektor von, der von [mm] P_2 [/mm] nach [mm] P_3 [/mm] zeigt:
[mm] \overrightarrow{P_2P_3}=\vektor{r_1\\r_2} [/mm] mit [mm] r_1²+r_2²=1
[/mm]
der verwendete winkel ist also NICHT [mm] \alpha [/mm] sondern [mm] \beta [/mm] mit [mm] cos\beta=-\frac{3}{5}.
[/mm]
nun gilt
[mm] cos\beta=\frac{\overrightarrow{P_2P_1}\cdot\overrightarrow{P_2P_3}}{|\overrightarrow{P_2P_1}|\cdot|\overrightarrow{P_2P_3}|}
[/mm]
und jetzt setzt du ein:
[mm] \overrightarrow{P_2P_1}=\vektor{-3a\\8a} [/mm] und
[mm] |\overrightarrow{_2P_1}|=\sqrt{73}\cdot [/mm] a
ok? sonst weiter fragen
wie du der maßstabsgetreuen skizze entnehmen kannst, darfst du davon ausgehen, dass alles seine richtigkeit hat.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Di 30.01.2007 | | Autor: | Marty1982 |
Ich hatte in der Frage ja leider cos [mm] \alpha [/mm] geschrieben und meinte cos [mm] \beta, [/mm] dies ist mir leider nicht aufgefallen. Sorry
Da du ganz oben für cos [mm] \beta [/mm] = [mm] -\bruch{5}{3} [/mm] anstatt [mm] -\bruch{3}{5} [/mm] geschrieben hattest, war ich leider etwas verwirrt.
Mir ist aber aufgefallen, dass es ja nur ein Zahlendreher deinerseits war.
An der Richtigkeit der Lösung habe ich ja nie gezweifelt, da ich das Dreieck einmal skizziert hatte und es große Ähnlichkeit mit deiner Antwort hatte.
Ich werde es jetzt nachvollziehen und mich bei Bedarf melden.
Ich danke dir recht herzlich für deine Bemühungen!
Gruß, Marty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 Di 30.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Ich hatte in der Frage ja leider cos [mm]\alpha[/mm] geschrieben und
> meinte cos [mm]\beta,[/mm] dies ist mir leider nicht aufgefallen.
> Sorry
>
> Da du ganz oben für cos [mm]\beta[/mm] = [mm]-\bruch{5}{3}[/mm] anstatt
> [mm]-\bruch{3}{5}[/mm] geschrieben hattest, war ich leider etwas
> verwirrt.
> Mir ist aber aufgefallen, dass es ja nur ein Zahlendreher
> deinerseits war.
> An der Richtigkeit der Lösung habe ich ja nie gezweifelt,
> da ich das Dreieck einmal skizziert hatte und es große
> Ähnlichkeit mit deiner Antwort hatte.
>
> Ich werde es jetzt nachvollziehen und mich bei Bedarf
> melden.
> Ich danke dir recht herzlich für deine Bemühungen!
>
> Gruß, Marty
diesen ziffernsturz habe ich leider nicht bemerkt, tut mir leid.
aber [mm] cos\alpha [/mm] < |1|
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![[]](http://img363.imageshack.us/my.php?image=matheni0.jpg){kind=small}
[img=http://img363.imageshack.us/img363/7949/matheni0.th.jpg]