Eckpunkte eines Tetraeder(Vek) < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Eckpunkte eines gleichmäßigen Tetraeders seien durch den Urspung [mm] P_{1} [/mm] eines kartesischen Koordinatensystems und
die Endpunkte [mm] P_{2}, P_{3}, P_{4} [/mm] der Vektoren a, b, bzw. c gegeben, die alle die Länge a besitzen und paarweise den Winkel [mm] \alpha [/mm] = 60 grad einschließen. Dabei verlaufe a(vektor) parallel zur x-Achse und b(vektor) in der xy-Ebene.
a) Bestimmen Sie die daraus folgenden Koordinaten der vier Eckpunkte und skizzieren Sie den Tetraeder.
b) Berechnen Sie für jede der vier Begrenzungsflächen des Tetraeders den Einheitsvektor, der senkrecht auf ihr steht
und nach außen zeigt („Normaleneinheitsvektor“).
c) Wie groß ist die Oberfläche des Tetraeders? |
Hello again !
Sooo, ich hab leider so gut wie gar keinen Ansatz für diese Aufgabe. Ich weiß auch gar nicht was genau mit xy-Ebene gemeint ist. Und auch weiß ich nicht was mit "60 grad einschließen" gemeint ist. Was wird denn da eingeschloßen?! Kann mir jemand vielleicht einen kleinen Ansatz geben, auf dem ich aufbauen kann?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mathe-Duff,
das kann ich komplett nicht glauben. Willst Du uns auf den Arm nehmen?
Dann schlag halt ![[]](/images/popup.gif) Tetraeder nach.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:53 So 23.10.2011 | | Autor: | Mathe-Duff |
Sehr schön herr reverend !
Ich wusste auch schon vorher das das ne Pyramide ist. Was hat das jetzt gebracht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:32 So 23.10.2011 | | Autor: | reverend |
Ich habs Dir verlinkt.
Lesen musst Du es aber schon selbst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:09 So 23.10.2011 | | Autor: | Mathe-Duff |
Bin ja schon am Grübeln^^
Aber jetzt geh ich erstmal pennen, gute nacht !
Gruß
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Tut mir leid, ich komm leider nicht drauf was man da machen muss -.-
Mag jemand helfen? :)
Gruß
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Hallo Mathe-Duff,
da sind wir offenbar gleichzeitig wieder im Forum angekommen.
Nur damit das klar ist: ich will Dir nicht zu nahe treten und Dich auch nicht "belehren". Das ist nicht Sinn dieses Forums und auch keiner der Gründe, warum ich hier mitmache.
Zum Tetraeder:
Die Aufgabenstellung ist leider nicht eindeutig, vielleicht erschwert das ja auch das Finden "der" Lösung. Es gibt nämlich acht davon, also acht verschiedene Tetraeder, die die Bedingungen erfüllen. Allerdings sind alle Lösungen durch Ebenenspiegelungen an den Koordinatenebenen ineinander überzuführen.
Der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] soll "parallel zur x-Achse" liegen. Da eine Ecke des Tetraeders im Ursprung liegt, kann [mm] \vec{a} [/mm] nur auf der Achse liegen. Eine Länge ist nicht gegeben, also setzen wir einen Parameter, nämlich die Seitenlänge a.
Ich bleibe mal bei der Konstruktion eines einzelnen (und wahrscheinlich des gemeinten) Tetraeders. Da ist dann
[mm] \vec{a}=\vektor{a\\0\\0}
[/mm]
(Man könnte auch [mm] \vec{a}=(-a,0,0)^T [/mm] nehmen)
[mm] \vec{b} [/mm] soll in der x,y-Ebene liegen, also die z-Komponente 0 haben. Da der Vektor die gleiche Länge wie [mm] \vec{a} [/mm] haben muss und mit ihm einen Winkel von 60° einschließt, gibt es wieder zwei Möglichkeiten; ich nehme die mit der positiven y-Komponente:
[mm] \vec{b}=\vektor{\bruch{1}{2}a\\ \bruch{1}{2}\wurzel{3}a\\0}
[/mm]
(Man könnte hier die y-Komponente auch negativ stellen).
Damit haben wir, incl. des Ursprungs, alle drei Punkte der Grundfläche des Tetraeders. Nun brauchen wir noch die Spitze. Wikipedia verrät uns die z-Komponente, nämlich die Höhe des Tetraeders.
Die ließe sich auch anders ermitteln; wir suchen ja einen vierten Punkt, der von den drei vorliegenden genau den Abstand a hat. Auch hier entscheide ich mich für die positive z-Komponente:
[mm] \vec{c}=\vektor{\bruch{1}{2}a\\ \bruch{1}{6}\wurzel{3}a\\\bruch{1}{3}\wurzel{6}a}
[/mm]
Die x- und y-Komponente sind natürlich die des Mittelpunkts der Grundfläche. Beim gleichseitigen Dreieck fallen ja fast alle der besonderen Punkte des Dreiecks zusammen, also Höhenschnittpunkt, Inkreismittelpunkt, Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt etc.
Du könntest jetzt mal die Probe machen, ob wirklich [mm] |\vec{c}|=a,\ |\vec{c}-\vec{a}|=a [/mm] und [mm] |\vec{c}-\vec{b}|=a [/mm] gilt. Wenn nicht, dann ist es nicht der richtige Punkt.
Für die Oberflächenberechnung (Teil c) gibt es nun zwar fertige Formeln, aber ich nehme an, dass Du hier vektorgeometrisch vorgehen sollst.
Teil b nutzt das gleiche Prinzip wie Teil c, nur dass es einmal auf den Betrag und einmal auf die Richtung ankommt. Der größte Teil der Rechnung ist aber der gleiche.
Dann erstmal viel Erfolg bei der Weiterarbeit!
Grüße
reverend
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