Eckpunkte und Umkehrabbildung < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Eckpunkte A'; B'; C'; D' der Abbildung des Rechtecks.
Das Rechteck hat die Punkte A (1/0); B (5/0); C (5/4); D(1/4)
b) Begünde warum es sich um ein besonderes oder kein besonderes Rechteck handelt.
c) Bestimmen Sie die Umkehrabbildung (falls diese existiert) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich habe diese wundeschöne Aufgabe von meinem absolut genialen Mathelehrer bekommen...mir stellen sich da nur einige Fragen:
1. Wenn ich die Punkte doch alle habe was für Eckpunkte soll ich dann noch berechnen
2. Das Ding ist quadratisch....das kanns doch noch nicht gewesen sein, oder?
3. Was ist eine Umkehrabbildung? Bestimmt weiß ich das aber mein Lehrer benutzt nie Fachbegriffe sodass man unter Garantie nicht weiß was man da gerade eigentlich berechnet.
würd mich freuen wenn mir jemand helfen kann!
Gruß Aldiimwald
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Hallo.
Ganz kurze Frage:
Was für eine Abbildung?
Ich seh in Deinem Posting keine.
Grüße,
Christian
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| Aufgabe | Eine Abbildung bildet :
O (0/0) auf O' (0/0)
P (2/4) auf P' (4/2)
Q (-2/5) auf Q' (-3/6) |
ohhh sorry
wir solleten dann die Matrix dazu finden:
[mm] \pmat{ 1/9 & 16/9 \\ -7/9 & 8/9 }
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Aldiimwald |
[mm] \pmat{ 16/9 & 1/9 \\ -7/9 & 8/9 }
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Christian |
Gut, das sieht doch schon wesentlich besser aus 
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Aaaaah!
> Eine Abbildung bildet :
> O (0/0) auf O' (0/0)
> P (2/4) auf P' (4/2)
> Q (-2/5) auf Q' (-3/6)
>
> [mm]\pmat{ 1/9 & 16/9 \\ 8/9 & -7/9 }[/mm]
Also ich hab [mm] $M=\pmat{16/9 & 1/9 \\ -7/9 & 8/9}$ [/mm] raus... also vielleicht nochmal nachsehen, vermutlich hast Du bloß x und y vertauscht.
Nun zur Aufgabe. Wie ihr sicher schon gelernt habt, ist für einen Punkt P sein Bild P' unter der Abbildung gegeben durch P'=MP.
Zum Beispiel für den Punkt P(2|4) wäre das
[mm] $P'=\pmat{16/9 & 1/9 \\ -7/9 & 8/9}\vektor{2\\ 4}=\vektor{16/9\cdot 2+ 1/9\cdot 4 \\ -7/9\cdot 2 + 8/9\cdot 4}=\vektor{4\\ 2}$, [/mm] wie ja schon in der Aufgabenstellung gefordert war.
Das exerzierst Du jetzt mit allen Punkten Deines Quadrates durch und schaust Dir an, was das für ein Ding ist...
Eine Umkehrabbildung ist nun eine Abbildung, die Dir aus dem Punkt P' den Punkt P zurückgibt, also genau das Umgekehrte macht wie die Abbildung, deren Umkehrung sie ist.
[Falls Du Folgendes noch nicht gehabt haben solltest, ignoriere es einfach]
Sie ist gegeben durch [mm] $P=M^{-1}P'$, [/mm] wobei [mm] $M^{-1}$ [/mm] die zu M inverse Matrix bezeichnet, also diejenige Matrix mit [mm] $MM^{-1}=\pmat{1 & 0\\0&1}$.
[/mm]
Um [mm] $M^{-1}$ [/mm] zu bestimmen könntest Du zum Beispiel dasselbe tun, womit Du auch M bestimmt hast, nur, daß Du P und P' vertauschst.
Gruß,
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Aldiimwald |
wow vielen Dank das habe ich auf Anhieb verstanden!
Super Antwort!!!
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Ich habe die Rechnung für [mm] M^{-1} [/mm] nach der Anleitung oben gemacht und folgendes herausbekommen:
[mm] \pmat{ 8/15 & -1/15 \\ 7/15 & 16/15 }
[/mm]
stimmt das?
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Hallo!
Kurz und bündig: paßt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß,
Christian
[EDIT:] Mal etwas weiterführendes: Man kann im 2-dimensionalen eine sehr einfache Formel für die Inverse einer Matrix [mm] $M=\pmat{a&b\\c&d}$ [/mm] angeben, nämlich
$ [mm] M^{-1}=\frac{1}{\det M}\pmat{d & -b \\ -c & a}$, [/mm] wobei [mm] $\det [/mm] M=ad-bc$ ist.
Masterfrage: Wann ist also eine 2 mal 2-Matrix genau invertierbar?
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