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Man zeige durch Bestimmung der entsprechenden Eigenräume, dass λ1 = −1 und λ2 = i
Eigenwerte der linearen Abbildung fA : C3 → C3, fA(x) = Ax für alle x ∈ C3 sind, wobei
-1 -1 -1
A= 1 0 0 ∈ M3(C).
0 1 0
also ich weiß zwar wie ich eigenwerte von matrizen zu berechnen habe, aber ich weiß nicht wie ich eigenräume berechnen soll?
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> Man zeige durch Bestimmung der entsprechenden Eigenräume,
> dass λ1 = −1 und λ2 = i
> Eigenwerte der linearen Abbildung fA : C3 → C3, fA(x) =
> Ax für alle x ∈ C3 sind, wobei
> -1 -1 -1
> A= 1 0 0 ∈ M3(C).
> 0 1 0
>
> also ich weiß zwar wie ich eigenwerte von matrizen zu
> berechnen habe, aber ich weiß nicht wie ich eigenräume
> berechnen soll?
Hallo,
wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert der Matrix A ist, dann sind im Eigenraum zu diesem Eigenwert alle Vektoren x enthalten, für welche gilt:
[mm] Ax=\lambda [/mm] x.
(Also alle Eigenvektoren zu [mm] \lambda [/mm] und der Nullvektor)
Daraus ergibt sich, daß Du eine Basis des Lösungsraumes von
[mm] Ax-\lambda [/mm] x =0 bestimmen mußt,
dh. den Kern von [mm] A-\lambda [/mm] E.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> wenn [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert der Matrix A ist, dann sind im
> Eigenraum zu diesem Eigenwert alle Vektoren x enthalten,
> für welche gilt:
>
> [mm]Ax=\lambda[/mm] x.
>
> (Also alle Eigenvektoren zu [mm]\lambda[/mm] und der Nullvektor)
>
> Daraus ergibt sich, daß Du eine Basis des Lösungsraumes
> von
>
> [mm]Ax-\lambda[/mm] x =0 bestimmen mußt,
>
> dh. den Kern von [mm]A-\lambda[/mm] E.
>
Ich mach grad auch diese Aufgabe. Bist du sicher, dass man den Kern von [mm]A-\lambda[/mm] E bestimmen muss und nicht den von [mm] \lambda*E-A. [/mm] Wir hatten uns nämlich letzteres aufgeschrieben.
Ich hab jetzt für die jeweiligen Lambdas die Eigenräume bestimmt, für [mm] \lambda=-1 [/mm] ist der Eigenraum (z,-z,z), z [mm] \in \IR [/mm] und für [mm] \lambda=i [/mm] ist der Eigenraum [mm] (\bruch{1}{i-1}*z,-\bruch{1}{i}*z, [/mm] z).
So die Eigenräume hab ich und hab ich damit automatisch gezeigt, dass die Lambdas Eigenwerte sind, muss ich jetzt nichts mehr machen?
lg
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> Hallo,
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> > wenn [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert der Matrix A ist, dann sind im
> > Eigenraum zu diesem Eigenwert alle Vektoren x enthalten,
> > für welche gilt:
> >
> > [mm]Ax=\lambda[/mm] x.
> >
> > (Also alle Eigenvektoren zu [mm]\lambda[/mm] und der Nullvektor)
> >
> > Daraus ergibt sich, daß Du eine Basis des Lösungsraumes
> > von
> >
> > [mm]Ax-\lambda[/mm] x =0 bestimmen mußt,
> >
> > dh. den Kern von [mm]A-\lambda[/mm] E.
> >
>
> Ich mach grad auch diese Aufgabe. Bist du sicher, dass man
> den Kern von [mm]A-\lambda[/mm] E bestimmen muss und nicht den von
> [mm]\lambda*E-A.[/mm] Wir hatten uns nämlich letzteres
> aufgeschrieben.
Hallo,
überlege Dir mal, daß die Lösungen von Bx=0 dieselben sind wie von (-B)x=0. Es ist also egal, wie man es macht.
Ich arbeite lieber mit [mm] A-\lambda [/mm] E, denn auf der Hauptdiagonalen etwas zu subtrahieren gelingt mir meist besser, als eine komplette Matrix von einer Diagonalmatrix abzuziehen: die Gefahr von Vorzeichenfehlern bei Unkonzentriertheit ist hierbei größer und bei Betätigung der copy-Funktion muß man mehr ändern.
> Ich hab jetzt für die jeweiligen Lambdas die Eigenräume
> bestimmt, für [mm]\lambda=-1[/mm] ist der Eigenraum (z,-z,z), z [mm]\in \IR[/mm]
> und für [mm]\lambda=i[/mm] ist der Eigenraum
> [mm](\bruch{1}{i-1}*z,-\bruch{1}{i}*z,[/mm] z).
Die Eigenräume solltest Du noch gescheit aufschreiben als Mengen, und dann würde ich mal aufgrund der Aufgabenstellung sagen: [mm] z\in \IC, [/mm] oder?
Beim Eigenraum zu [mm] \lambda=i [/mm] schreibe die Zahlen so, daß nichts Komplexes im Nenner steht. Und rechne hier nochmal nach: ich bekomme etwas anderes.
> So die Eigenräume hab ich und hab ich damit automatisch
> gezeigt, dass die Lambdas Eigenwerte sind, muss ich jetzt
> nichts mehr machen?
Nun, einen kleinen abschließenden Satz würde ich noch spendieren, welchem man entnehmen kann, daß Du weißt, warum das der Eigenraum zum vorgegebenen Eigenwert ist. Es sei denn, Du hast einleitend schon erklärt, wieso Du diesen Kern berechnest.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo,
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> überlege Dir mal, daß die Lösungen von Bx=0 dieselben
> sind wie von (-B)x=0. Es ist also egal, wie man es macht.
Ich hab es an einem Beispiel nachgerechnet. Die beiden Lösungen sind gleich, weil ich z.B. die Zeilen von B mit -1 multiplizieren kann (Gauß) und dann hab ich -B, das ändert aber nichts an der Lösungsmenge.
>
> Ich arbeite lieber mit [mm]A-\lambda[/mm] E, denn auf der
> Hauptdiagonalen etwas zu subtrahieren gelingt mir meist
> besser, als eine komplette Matrix von einer Diagonalmatrix
> abzuziehen: die Gefahr von Vorzeichenfehlern bei
> Unkonzentriertheit ist hierbei größer und bei Betätigung
> der copy-Funktion muß man mehr ändern.
Es ist wirklich einfacher es so zu rechnen wie du das machst.
>
> > Ich hab jetzt für die jeweiligen Lambdas die Eigenräume
> > bestimmt, für [mm]\lambda=-1[/mm] ist der Eigenraum (z,-z,z), z [mm]\in \IR[/mm]
> > und für [mm]\lambda=i[/mm] ist der Eigenraum
> > [mm](\bruch{1}{i-1}*z,-\bruch{1}{i}*z,[/mm] z).
>
> Die Eigenräume solltest Du noch gescheit aufschreiben als
> Mengen, und dann würde ich mal aufgrund der
> Aufgabenstellung sagen: [mm]z\in \IC,[/mm] oder?
Klar doch.
>
> Beim Eigenraum zu [mm]\lambda=i[/mm] schreibe die Zahlen so, daß
> nichts Komplexes im Nenner steht. Und rechne hier nochmal
> nach: ich bekomme etwas anderes.
Ja da hatte sich ein Fehler eingeschlichen, ich hab jetzt für beide Eigenräume [mm] V_{f,-1}=\{x_{3}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}|x_{3} \in \IC| A*x_{3}*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}=-x_{3}*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}\} [/mm] und [mm] V_{f,i}=\{x_{3}\vektor{-1 \\ i \\ 1}|x_{3} \in \IC| A*x_{3}*\vektor{-1 \\ i \\ 1}=-x_{3}*\vektor{-1 \\ i \\ 1}\}
[/mm]
So stimmt es doch nun oder?
lg
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Hallo Mandy_90,
> > Hallo,
> >
> > überlege Dir mal, daß die Lösungen von Bx=0 dieselben
> > sind wie von (-B)x=0. Es ist also egal, wie man es macht.
>
> Ich hab es an einem Beispiel nachgerechnet. Die beiden
> Lösungen sind gleich, weil ich z.B. die Zeilen von B mit
> -1 multiplizieren kann (Gauß) und dann hab ich -B, das
> ändert aber nichts an der Lösungsmenge.
> >
> > Ich arbeite lieber mit [mm]A-\lambda[/mm] E, denn auf der
> > Hauptdiagonalen etwas zu subtrahieren gelingt mir meist
> > besser, als eine komplette Matrix von einer Diagonalmatrix
> > abzuziehen: die Gefahr von Vorzeichenfehlern bei
> > Unkonzentriertheit ist hierbei größer und bei Betätigung
> > der copy-Funktion muß man mehr ändern.
>
> Es ist wirklich einfacher es so zu rechnen wie du das
> machst.
> >
> > > Ich hab jetzt für die jeweiligen Lambdas die Eigenräume
> > > bestimmt, für [mm]\lambda=-1[/mm] ist der Eigenraum (z,-z,z), z [mm]\in \IR[/mm]
> > > und für [mm]\lambda=i[/mm] ist der Eigenraum
> > > [mm](\bruch{1}{i-1}*z,-\bruch{1}{i}*z,[/mm] z).
> >
> > Die Eigenräume solltest Du noch gescheit aufschreiben als
> > Mengen, und dann würde ich mal aufgrund der
> > Aufgabenstellung sagen: [mm]z\in \IC,[/mm] oder?
> Klar doch.
> >
> > Beim Eigenraum zu [mm]\lambda=i[/mm] schreibe die Zahlen so, daß
> > nichts Komplexes im Nenner steht. Und rechne hier nochmal
> > nach: ich bekomme etwas anderes.
>
> Ja da hatte sich ein Fehler eingeschlichen, ich hab jetzt
> für beide Eigenräume [mm]V_{f,-1}=\{x_{3}\vektor{1 \\ -1 \\ 1}|x_{3} \in \IR| A*x_{3}*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}=-x_{3}*\vektor{1 \\ -1 \\ 1}\}[/mm]
> und [mm]V_{f,i}=\{x_{3}\vektor{-1 \\ i \\ 1}|x_{3} \in \IR| A*x_{3}*\vektor{-1 \\ i \\ 1}=-x_{3}*\vektor{-1 \\ i \\ 1}\}[/mm]
>
> So stimmt es doch nun oder?
Ja, das stimmt so.
>
> lg
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, danke MathePower.
lg
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kann mir bitte mal jemand erklären, wie man auf diese eigenräume kommt. also ich versuche es mit A-λE , aber bei mir kommen diese Zahlen nicht raus..?
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Hallo looney_tune,
> kann mir bitte mal jemand erklären, wie man auf diese
> eigenräume kommt. also ich versuche es mit A-λE , aber
> bei mir kommen diese Zahlen nicht raus..?
Bestimme [mm]\operatorname{Kern}\left(A-\lambda*E\right)[/mm] für jeden Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
Gruss
MathePower
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