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Hallo ich brauche dringend Hilfe.
Ich habe folgende Matrix gegeben:
[mm] \vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & -1}
[/mm]
Ich erhalte als charakteristisches polynom nun [mm] -x^3+x^2+x-1.
[/mm]
Ich erhalte als reelle Eigenwerte -1,1,1
Ich erhalte als Eigenvektor zu EIgenwert -1 [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Ich erhalte als Eigenvektor zu EIgenwert 1 [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Ich erhalte als Eigenvektor zu Eigenwert 1 [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Wenn ich das nun richtig erkenne, hat der Eigenwert -1 die algebraische Vielfachheit 1. Der Eigenwert 1 hat die algebraische Vielfachheit 2.
Die geometrische Vielfachheit ist, wenn ich das ebenfalls richtig erkenne 2.
Ich soll nun außerdem zu jedem EIgenwert den Eigenraum bestimmen. Kann mir dabei jmd. helfen? Ich weiß nicht so recht, wie ich das machen soll.
Danke schonmal für jede Hilfe. mit freundlichen Grüßen domenigge135
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> Hallo ich brauche dringend Hilfe.
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> Ich habe folgende Matrix gegeben:
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> [mm]\vmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -4 & -1}[/mm]
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> Ich erhalte als charakteristisches polynom nun
> [mm]-x^3+x^2+x-1.[/mm]
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> Ich erhalte als reelle Eigenwerte -1,1,1
Hallo,
das stimmt.
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> Ich erhalte als Eigenvektor zu EIgenwert -1 [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Richtig.
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> Ich erhalte als Eigenvektor zu EIgenwert 1 [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Ich erhalte als Eigenvektor zu Eigenwert 1 [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Der Eigenvektor stimmt zwar, aber er ist nur die halbe Wahrheit: es gibt einen weiteren, von diesem linear unabhängigen Eigenvektor.
Wenn Du Dir das GS (A-1*E)x=0 (bzw. kern(A-1*E) ) anschaust, solltest Du sehen, daß der Lösungsraum die Dimension 2 hat. Du behältst doch nur eine Zeile. Rechne da nochmal.
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> Wenn ich das nun richtig erkenne, hat der Eigenwert -1 die
> algebraische Vielfachheit 1.
Ja.
> Der Eigenwert 1 hat die
> algebraische Vielfachheit 2.
Ja.
> Die geometrische Vielfachheit ist, wenn ich das ebenfalls
> richtig erkenne 2.
Wenn Du später richtig gerechnet haben wirst, wird das so sein.
Aus dem, was Du bisher oben schreibst, müßte man ablesen: geometr. Vielfalt=1, denn Du hast ja nicht zwei linear unabhängige Eigenvektoren zum EW 1 ausgerechnet.
> Ich soll nun außerdem zu jedem EIgenwert den Eigenraum
> bestimmen. Kann mir dabei jmd. helfen? Ich weiß nicht so
> recht, wie ich das machen soll.
Der Eigenraum ist der Lösungsraum des GSs (A-1*E)x=0 (bzw. der kern(A-1*E) ).
Die Vektoren, die Du ausgerechnet hast bzw. haben solltest, sind eine Basis dieses Raumes,
der Eigenraum zu -1 wäre also [mm] Eig_{-1}=<\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>,
[/mm]
der Eigenraum zu 1 wäre also [mm] Eig_{1}=<\vektor{2 \\ 1 \\ 0}, [/mm] ? >.
Was bedeutet das? Jedes pos. oder neg. Vielfache v. [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ist auch ein Eigenvektor zum Eigenwert -1. (Probier's aus),
und jede Linearkombination von [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}und [/mm] ?, die nicht den Nullvektor ergibt, ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
Gruß v. Angela
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Achso. Okay dann wähle ich zunächst als Eigenvektor zu 1 [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Wäre das okay so?
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> Achso. Okay dann wähle ich zunächst als Eigenvektor zu 1
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
>
> Wäre das okay so?
Hallo,
das Wort "zunächst" irritiert mich.
Mit [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] und dem zuvor bestimmten Vektor [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0} [/mm] hättest Du zwei linear unabhängige Eigenvektoren gefunden und damit eine Basis des Eigenraumes zu 1.
Gruß v. Angela
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Okay dann bleibt es nun bei meiner letzten frage, dass mit dem Eigenraum habe ich noch nicht ganz verstanden. Könntest du mir für meinen Eigenwert -1 das ganze vielleicht in die Formel [mm] (A-1\*E)x=0 [/mm] einsetzen, bzw mir erklären, wie genau ich dort jetzt rechnen muss?
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> Okay dann bleibt es nun bei meiner letzten frage, dass mit
> dem Eigenraum habe ich noch nicht ganz verstanden. Könntest
> du mir für meinen Eigenwert -1 das ganze vielleicht in die
> Formel [mm](A-1\*E)x=0[/mm] einsetzen, bzw mir erklären, wie genau
> ich dort jetzt rechnen muss?
Aber Du hast es für -1 korrekt gelöst.
Bestimmung des Eigenraumes zu -1:
$ [mm] \pmat{ 1-(-1) & 0 & 0 \\ 0 & 1-(-1) & 0 \\ 2 & -4 & -1-(-1)} [/mm] $ = [mm] \pmat{2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -4 & 0}.
[/mm]
Der kern dieser Matrix ist zu bestimmen.
Ich bringe die Matrix auf ZSF und erhalte
[mm] \pmat{2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0& 0}
[/mm]
Daraus lese ich ab: x=0, y=0. die Variable z kann ich frei wählen, denn aufgrund der letzten Zeile bin ich hierbei völlig frei.
Also hat mein Lösungsvektor die [mm] Gestalt\vektor{x \\y\\z}= \vektor{0 \\0\\z}=z \vektor{0 \\0\\1}, [/mm] und ich sehe, daß der Lösungsraum von [mm] \vektor{0 \\0\\1} [/mm] aufgespannt wird.
Bestimmung des Eigenraumes zu 1:
$ [mm] \pmat{ 1-(1) & 0 & 0 \\ 0 & 1-(1) & 0 \\ 2 & -4 & -1-(1)} [/mm] $ = [mm] \pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & -4 & -2}.
[/mm]
Der kern dieser Matrix ist zu bestimmen.
Ich bringe die Matrix auf ZSF und erhalte
[mm] \pmat{1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0}.
[/mm]
Ich lese ab:
x=2y+z.
Aufgrund der beiden Nullzeilen bin ich in der Wahl v. y und z frei.
Mein Lösungsvektor hat die Gestalt
[mm] \vektor{x \\y\\z}=\vektor{2y+z \\y\\z}=y\vektor{2 \\1\\0}+z\vektor{1 \\0\\1}.
[/mm]
Also bilden [mm] \vektor{2 \\1\\0}und \vektor{1 \\0\\1} [/mm] zusammen eine Basis des Lösungsraumes, also des Eigenraumes zu 1.
Gruß v. Angela
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Okay. Dann ist das doch so einfach. Dankeschön für deine Hilfe.
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