Eigenraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
wie ich Eigenwerte und zugehörige Vektoren berechne ist mir klar. Aber ich hab noch ein paar Verständnisschwierigkeiten mit den Eigenräumen.
Also erst einmal wie sieht denn ein Eigenraum aus? Wenn ich jetzt beispielsweise [mm] \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 [/mm] mit dazu gehörigen [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] Eigenvektoren hätte. Wie würde dann meine(?) Eigenräume aussehen? Ich hab zu jedem Eigenwert (+Eigenvektor) einen Eigenraum oder? Wie schreibt man das auf, und was sagt der mir der Eigenraum? Die einzige Beziehung die ich mir bisher selbst erklären kann ist, dass wenn die algebraische Vielfachheit=geometrische Vielfachheit sind, dann ist die Anzahl der Nullstellen gleich der Dimension des Eigenraumes.
Viele Grüße
Kayle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Mo 14.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wie ich Eigenwerte und zugehörige Vektoren berechne ist
> mir klar. Aber ich hab noch ein paar
> Verständnisschwierigkeiten mit den Eigenräumen.
>
> Also erst einmal wie sieht denn ein Eigenraum aus? Wenn ich
> jetzt beispielsweise [mm]\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3[/mm] mit dazu
> gehörigen [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] Eigenvektoren hätte. Wie würde
> dann meine(?) Eigenräume aussehen? Ich hab zu jedem
> Eigenwert (+Eigenvektor) einen Eigenraum oder?
Nein. Ist V ein Vektorraum über dem Körper K und f:V [mm] \to [/mm] V eine lineare Abbildung und [mm] \lambda \in [/mm] K ein Eigenwert von f, so ist der zu [mm] \lambda [/mm] geh. Eigenraum gegeben durch
[mm] $E_{\lambda}=\{x \in V: f(x)= \lambda*x \}$
[/mm]
Jedes x [mm] \in E_{\lambda} [/mm] mit x [mm] \ne [/mm] 0 heißt ein Eigenvektor von f zum Eigenwert [mm] \lambda.
[/mm]
> Wie schreibt
> man das auf, und was sagt der mir der Eigenraum? Die
> einzige Beziehung die ich mir bisher selbst erklären kann
> ist, dass wenn die algebraische Vielfachheit=geometrische
> Vielfachheit sind, dann ist die Anzahl der Nullstellen
> gleich der Dimension des Eigenraumes.
So, wie es da steht stimmt das nicht, aber vielleicht meinst Du das Richtige. Also schreibs mal präzise auf.
FRED
>
> Viele Grüße
> Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo
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> So, wie es da steht stimmt das nicht, aber vielleicht
> meinst Du das Richtige. Also schreibs mal präzise auf.
Mh, naja, die algebraische Vielfachheit gibt ja an, wie oft diesselbe Nullstelle auftritt. Beispielsweise ist bei [mm] 0=x^2, [/mm] x=0 und die algebraische Vielfachheit somit 2. Die geometrische sag ja was über die Anzahl der Eigenvektoren zum Eigenwert aus. Bei dem Beispiel hier würde es dann aber nur einen Eigenvektor zum EW geben, somit brauch man noch einen Hauptvektor ==> geometrische Vielfachheit 1 = Dimension des Eigenraumes zum EW. Oder?
Damit kann die geometrische nur [mm] \le [/mm] algebraischen Vielfachtheit sein.
Gruß
Kayle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Stimmt das?
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Hallo Kayle,
> Hallo
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> >
> > So, wie es da steht stimmt das nicht, aber vielleicht
> > meinst Du das Richtige. Also schreibs mal präzise auf.
>
> Mh, naja, die algebraische Vielfachheit gibt ja an, wie oft
> diesselbe Nullstelle auftritt. Beispielsweise ist bei
> [mm]0=x^2,[/mm] x=0 und die algebraische Vielfachheit somit 2. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Die
> geometrische sag ja was über die Anzahl der Eigenvektoren
> zum Eigenwert aus.
Wenn schon, dann über die maximale Anzahl linear unabhängiger Eigenvektoren zum jeweiligen Eigenwert.
> Bei dem Beispiel hier würde es dann
> aber nur einen Eigenvektor zum EW geben,
Welches Beispiel denn?
> somit brauch man
> noch einen Hauptvektor ==> geometrische Vielfachheit 1 =
> Dimension des Eigenraumes zum EW. Oder?
In der Tat ist die geometische Vielfachheit die Dim. des Eigenraums.
>
> Damit kann die geometrische nur [mm]\le[/mm] algebraischen
> Vielfachtheit sein.
>
> Gruß
> Kayle
Vielleicht hast du mal ein konkretes Beispiel (mit Matrix)?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Mo 14.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Hallo,
danke für deine Antwort. Es geht mir wirklich nur um die Theorie und die hab ich denke ich nun verstanden :)
Das Beispiel von dem ich hier die ganze Zeit ausgegangen bin war einfach nur das charakter. Polynom [mm] x^2=0.. [/mm]
Aber wie gesagt, verstanden hab ich es nun, vielen Dank!
Gruß
Kayle
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Mo 14.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
> Das Beispiel von dem ich hier die ganze Zeit ausgegangen
> bin war einfach nur das charakter. Polynom [mm]x^2=0..[/mm]
> Bei dem Beispiel hier würde es dann
> aber nur einen Eigenvektor zum EW geben,
Von dem charakt. Polynom alleine kann man aber nicht auf die Eigenvektoren schließen. Dazu braucht man dann doch die Matrix.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:13 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Kayle |
Das ist mir klar, es ging wirklich nur um die doppelt vorkommende Nullstelle und das man somit geometrische < algebraische Vielfachheit hat.
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