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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Mi 28.12.2011 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Geben Sie für folgende Matrix F von [mm] $\IR^3$ [/mm] in sich alle Eigenwerte der Abbildungsmatrix an und eine Basis für jeden Eigenraum. Gibt es eine Basis, in welcher die Matrixdarstellung der Abbildung Diagonalform hat? Wenn ja, welche?
F: [mm] \pmat{ x_1 \\ x_2 \\ x_3} \mapsto \pmat{ x_1+x_2+x_3 \\ 2x_2+x_3 \\ 2x_2+3x_3} [/mm] |
Hallo zusammen
Kann da mal jemand drüber schauen, ob ich das richtig verstanden habe (ich habe abundzu ein Durcheinander mit den Begriffen und Lösungen sind leider nicht vorhanden ...).
Es ist [mm] A=\pmat{1 && 1 && 1 \\ 0 && 2 && 1 \\ 0 && 2 && 3}
[/mm]
Die verlangten Eigenwerte sind:
[mm] $\lambda_1=\lambda_2=1$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=4$ [/mm] da [mm] det(A-\lambda*I)=-(\lambda -1)(\lambda-4)(\lambda-1)$
[/mm]
Die Eigenräumen sind somit durch die Eigenvektoren aufgespannt, und die Eigenvektoren sind somit die Basis für die jeweilige Basis, d.h.
Eigenraum für [mm] $\lambda=1$: $E_1=span\{\pmat{ 0 \\ -1 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0}\}$
[/mm]
Eigenraum für [mm] $\lambda=4$: $E_4=span\{\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2}\}
[/mm]
Und zuletzt die Basis, in der die Matrixdarstellung der Abbildung Diagonalform hat, ist dann einfach die Basis mit den Eigenvektoren, d.h.
[mm] \pmat{ 0 \\ -1 \\ 1}, \pmat{1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
Dies ist möglich, weil die Matrix halbeifnach ist, d.h. die geometrische Vielfachkeit jeweils der algebraischen Vielfachkeit der Eigenwerte entspricht ...
Dann ist die Abbildungsmatrix
[mm] $A'=\pmat{1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 4}
[/mm]
also in Diagonalform.
VIele Grsse und Danke schon im voraus!
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Hallo fernweh,
> Geben Sie für folgende Matrix F von [mm]\IR^3[/mm] in sich alle
> Eigenwerte der Abbildungsmatrix an und eine Basis für
> jeden Eigenraum. Gibt es eine Basis, in welcher die
> Matrixdarstellung der Abbildung Diagonalform hat? Wenn ja,
> welche?
>
> F: [mm]\pmat{ x_1 \\
x_2 \\
x_3} \mapsto \pmat{ x_1+x_2+x_3 \\
2x_2+x_3 \\
2x_2+3x_3}[/mm]
>
> Hallo zusammen
>
> Kann da mal jemand drüber schauen, ob ich das richtig
> verstanden habe (ich habe abundzu ein Durcheinander mit den
> Begriffen und Lösungen sind leider nicht vorhanden ...).
>
> Es ist [mm]A=\pmat{1 && 1 && 1 \\
0 && 2 && 1 \\
0 && 2 && 3}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die verlangten Eigenwerte sind:
> [mm]\lambda_1=\lambda_2=1[/mm][/mm] und [mm]\lambda_3=4[/mm][/mm] da
> [mm]det(A-\lambda*I)=-(\lambda -1)(\lambda-4)(\lambda-1)$[/mm]
>
> Die Eigenräumen sind somit durch die Eigenvektoren
> aufgespannt, und die Eigenvektoren sind somit die Basis
> für die jeweilige Basis, d.h.
> Eigenraum für [mm]\lambda=1[/mm]: [mm]E_1=span\{\pmat{ 0 \\
-1 \\
1}, \pmat{1 \\
0 \\
0}\}[/mm]
>
> Eigenraum für [mm]\lambda=4[/mm]: [mm] $E_4=span\{\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2}\}[/mm] [/mm]
>
> Und zuletzt die Basis, in der die Matrixdarstellung der
> Abbildung Diagonalform hat, ist dann einfach die Basis mit
> den Eigenvektoren, d.h.
> [mm]\pmat{ 0 \\
-1 \\
1}, \pmat{1 \\
0 \\
0}, \pmat{ 1 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> Dies ist möglich, weil die Matrix halbeifnach ist, d.h.
> die geometrische Vielfachkeit jeweils der algebraischen
> Vielfachkeit der Eigenwerte entspricht ...
>
> Dann ist die Abbildungsmatrix
> [mm]$A'=\pmat{1 && 0 && 0 \\
0 && 1 && 0 \\
0 && 0 && 4}[/mm]
> also
> in Diagonalform.
Jo!
>
> VIele Grsse und Danke schon im voraus!
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:16 Mi 28.12.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo
VIelen Dank für deine prompte Antwort :)
Gruess
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