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Hallo Leute,
ich beschäftige mich gerade mit Integration und bin in meinem Skript auf Eigenschaften der Integration gestossen.
B(X) sei ein R-Vektorraum reelwertiger Funktionen auf X=R.
[mm] I(f)=\integral_{f(x) dx} [/mm] fassen wir auf als eine Abbildung I:B(X)->R und erwarten folgende Eigenschaften.
Diese wären:
-R-Linearität
-Monotonie
-Normierung:Es gilt [mm] \chi [/mm] [0,1] [mm] \in [/mm] B(X)und [mm] I(\chi [/mm] [0,1])=1
-Translationsinvarianz:für f [mm] \in [/mm] B(X),x0 [mm] \in [/mm] R ist das Translat g(x) =f(x+x0) in B(X) und es gilt I(f)=I(g)
was bedeuten die Eigenschaft Normierung Translationsinvarianz ?
vielleicht habt ihr ein einfaches Beispiel für mich so dass ich das endlich verstehe ^^
Danke für eure mithilfe
gruß,youngmath !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo youngmath,
willkommen im Matheraum.
@Normierung: Am besten, setzt du es im Formeleditor nochmal richtig, dann wissen wir auch, was gemeint sein soll. Ich könnte dir zwar erklären, was diese Eigenschaft aussagt, jedoch kenne ich die genaue Formulierung in deinem Skript nicht.
@Translationsinvarianz:
Beispiel:
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\notin [0,1] \\ 1, & \mbox{für } x\in [0,1] \end{cases}$
[/mm]
Dann gilt ja (dies übrigens gerade aufgrund der Normierung-Eigenschaft): $I(f)=1$.
Nun wird ein Translat gebildet, mit einem [mm] $x_0 \in \mathbb{R}$. [/mm] Sagen wir doch z.B. [mm] $x_0 [/mm] = 5$. Dann heißt das Translat $g(x) = f(x+5)$.
Überlege dir anschaulich, wie diese Funktion aussieht. Es wird nur an der X-Achse verschoben, daher gerade der Name "Translat". Und die Translationsinvarianz sagt nun nichts anderes, als dass es egal ist, wenn verschoben wird, das Integral bleibt das gleiche, also $I(f)=I(g)$.
Mache dir das wieder anschaulich klar, indem du das Integral, wie gewohnt, als den Flächeninhalt interpretierst.
Gruß,
Sandro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 Di 15.03.2016 | | Autor: | youngmath |
hey danke für deine schnelle antwort :)
also zur translationsinvarianz
eine Funktion wird "nur" verschoben die Funktion selbst bleibt die gleiche sie wird einfach nur auf der x-Achse verschoben so ist es fast schon logisch das die Fläche unter dem Graphen gleich bleibt egal ob das Intervall der Funktion von [0,5]oder [15,20] geht
habe ich das so richtig verstanden?
@Normierung
sorry da fehlt ja das [mm] \chi [/mm] editier ich jetzt nochmal rein !
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ups ich glaube editieren ist nicht möglich :D
also hier nochmal die Definition der Normierung aus meinem Skript
Es gilt [mm] \chi [/mm] [0,1] [mm] \in [/mm] B(X) und [mm] I(\chi[0,1])=1
[/mm]
B(X) sei ein R-Vektorraum reelwertiger Funktionen auf X=R
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@Translationsinvarianz-Verständnis: Vom Prinzip hast du es wohl verstanden. Rede nicht vom "Intervall der Funktion", denn sowohl $f(x)$ als auch $g(x)$ sind ja auf ganz [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] definiert.
@Normierung:
Wie wurde denn in deinem Skript [mm] $\chi [/mm] [0,1]$ definiert? Vermutlich ist damit einfach die Funktion gemeint, die ich vorher schon als Beispiel hatte, nämlich:
$ [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\notin [0,1] \\ 1, & \mbox{für } x\in [0,1] \end{cases}$
[/mm]
Die Eigenschaft der Normierung sagt nun aus, dass genau diese Funktion das Integral $1$ hat, wie im vorherigen Post schon vorweg gegriffen.
Bei den von dir genannten Eigenschaften handelt es sich um einen axiomatischen Zugang zum Integral. Ziel sollte nun sein, für alle anderen Funktionen, deren Integral du bestimmen willst, dies auf die genannten Eigenschaften zurückzuführen.
Übe das beispielsweise an der Funktion:
$ [mm] h(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\notin [-4,-3] \\ 7, & \mbox{für } x\in [-4,-3] \end{cases}$
[/mm]
(Und benütze nur die Eigenschaften!)
Gruß,
Sandro
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Hi,
sei a [mm] \in [/mm] R
R-Linearität:
zz.:I(h+g)=I(h)+I(g) und I(a*h)=a*I(h)
wie zeige ich das 1. denn es ist ja nur h gegeben kein g ?
für h(x)=0
I(a*h)=I(a*o)=I(0)=0
a*I(h)=a*I(0)=a*0=0
für h(x)=7
I(7a)=
a *I(7)=
Monotonie:
[mm] zz.:h\le [/mm] g [mm] \Rightarrow I(h)\le [/mm] I(g)
Normierung:
also das Integral für die charackteristische Funktion ist 1 aber wie zeige ich die normierungseigenschaft für meinen fall h(x)
Translationsinvarianz:
zz.:g(x)=h(x+x0) ist Translat es gilt I(h)=I(g)
sorry das da soviele lücken sind aber habe soetwas noch nie gezeigt mich stört etwas das ich ja nur eine explizite Funktion vorgegeben habe also h(x) aber um zb. Linearität und Monotonie nachzuweisen bräuchte ich doch noch eine
Wenn ich die Axiome nachgewiesen habe dann habe ich bewiesen das h integrierbar ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mi 16.03.2016 | | Autor: | fred97 |
Du hast die Aufforderung von Sandro völlig missverstanden !
Er hat Dir die folgende Funktion genannt:
$ [mm] h(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\notin [-4,-3] \\ 7, & \mbox{für } x\in [-4,-3] \end{cases} [/mm] $
Du sollst nun das Integral [mm] \integral_{\IR}^{}{h(x) dx} [/mm] berechnen, und zwar nur mit Hilfe (!) der Eigenschaften
-R-Linearität
-Monotonie
-Normierung
und
-Translationsinvarianz.
Das geht und ist eine schöne Übung ! Die Monotonie braucht man dabei nicht.
FRED
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