Eigenschaften K-linearer Abbil < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 So 02.12.2012 | | Autor: | grasimu |
| Aufgabe | Sei f: V [mm] \to [/mm] W eine K-lineare Abbildung zwischen K-Vektorräumen V und W. Zeigen Sie:
a) [mm] \forall [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] V: U [mm] \le [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] f(U) [mm] \le [/mm] f(V)
b) [mm] \forall [/mm] H [mm] \subseteq [/mm] W: H [mm] \le [/mm] W [mm] \Rightarrow f^{-1}(H) \le [/mm] V
c) [mm] \forall [/mm] M [mm] \subseteq [/mm] V: f(<M>) = <f(M)>.
wobei [mm] f^{-1}(H) [/mm] := {v [mm] \in [/mm] V | f(v) [mm] \in [/mm] H} also die Urfunktion ist. |
a)
Sei u [mm] \in [/mm] U und v [mm] \in [/mm] V so gilt:
u [mm] \le [/mm] v [mm] \Rightarrow [/mm] f(u) [mm] \le [/mm] f(v) ,da f K-linear?
b)
Seien h [mm] \in [/mm] H, v [mm] \in [/mm] V und w [mm] \in [/mm] W mit f(v) = w dann gilt:
h [mm] \le [/mm] w [mm] \Rightarrow f^{-1}(h) \le f^{-1}(w) \gdw f^{-1}(h) \le [/mm] v , da ...?
c)
Noch keinen richtigen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 So 02.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: V [mm]\to[/mm] W eine K-lineare Abbildung zwischen
> K-Vektorräumen V und W. Zeigen Sie:
> a) [mm]\forall[/mm] U [mm]\subseteq[/mm] V: U [mm]\le[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] f(U) [mm]\le[/mm]
> f(V)
> b) [mm]\forall[/mm] H [mm]\subseteq[/mm] W: H [mm]\le[/mm] W [mm]\Rightarrow f^{-1}(H) \le[/mm]
> V
> c) [mm]\forall[/mm] M [mm]\subseteq[/mm] V: f(<M>) = <f(M)>.
> wobei [mm]f^{-1}(H)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {v [mm]\in[/mm] V | f(v) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H} also die
> Urfunktion ist.
>
> a)
> Sei u [mm]\in[/mm] U und v [mm]\in[/mm] V so gilt:
> u [mm]\le[/mm] v [mm]\Rightarrow[/mm] f(u) [mm]\le[/mm] f(v) ,da f K-linear?
>
> b)
> Seien h [mm]\in[/mm] H, v [mm]\in[/mm] V und w [mm]\in[/mm] W mit f(v) = w dann
> gilt:
> h [mm]\le[/mm] w [mm]\Rightarrow f^{-1}(h) \le f^{-1}(w) \gdw f^{-1}(h) \le[/mm]
> v , da ...?
a) und b) hast Du ja grausam "gelöst " !
[mm] \le [/mm] bedeutet doch keine Ordnung !!
U $ [mm] \le [/mm] $ V ist eine Kurzschreibweise für: " U ist ein Untervektorraum von V"
FRED
>
> c)
> Noch keinen richtigen Ansatz.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 02.12.2012 | | Autor: | grasimu |
a)
Wir haben ne Def. die besagt dass "U ein untervektorraum von V ist" wenn:
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda \in [/mm] K: v + w [mm] \in [/mm] U [mm] \wedge \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] U gilt.
Da wir ja vorraussetzen dass U ein untervektorraum von V ist und daraus folgen soll dass somit auch f(U) ein untervektorraum von f(V) sein soll gilt es also zu zeigen:
das
[mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] f(V), [mm] \lambda \in [/mm] K: v + w [mm] \in [/mm] f(U) [mm] \wedge \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] f(U) gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:49 Mo 03.12.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo grasimu und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> a)
> Wir haben ne Def. die besagt dass "U [mm] $\red{\subseteq V}$ [/mm] ein untervektorraum
> von V ist" wenn:
> [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V [mm] $\red{U}$,[/mm] [mm]\lambda \in[/mm] K: v + w [mm]\in[/mm] U [mm]\wedge \lambda[/mm]
> v [mm]\in[/mm] U gilt.
> Da wir ja vorraussetzen dass U ein untervektorraum von V
> ist und daraus folgen soll dass somit auch f(U) ein
> untervektorraum von f(V) sein soll gilt es also zu zeigen:
> das
> [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] f(V [mm] $\red{U}$),[/mm] [mm]\lambda \in[/mm] K: v + w [mm]\in[/mm] f(U) [mm]\wedge \lambda[/mm]
> v [mm]\in[/mm] f(U) gilt?
Kurz bewiesen (oder zumindest erwähnt) werden sollte aus meiner Sicht noch [mm] $f(U)\subseteq [/mm] f(V)$. Dann ist (bis auf den rot markierten Verwechsler von U und V) genau das von dir angegebene zu zeigen.
Viele Grüße
Tobias
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