Eigenschaften einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Stellen Sie die Funktion f(x) = |x| + 2 mit dem Definitionsbereich D = R grafisch dar und ermitteln Sie
folgende Eigenschaften:
a) Wertebereich
b) Beschränktheit nach oben? Beschränktheit nach unten? Gegebenenfalls Schranken angeben.
c) Monotonie
d) Symmetrie
e) Stetigkeit
f) Differenzierbarkeit |
Hallo Leute,
Dadurch, dass in der Aufgabe |x| steht, schmeißt mir das alles durcheinander. Ich hatte keine einzige der Teilaufgaben korrekt.
Also a)
Der Wertebereich ist angeblich komplett R. Aber wie soll der Bereich komplett R sein wenn X nur positiv ist? Müsste der Wertebereich nicht R* sein. Also alle Reellen Zahlen die Positiv sind? Also [mm] W=[2;\infty)
[/mm]
b)
Beschränkt wäre die Funktion denke ich gar nicht wenn hier in der Aufgabe nicht |x| stehen würde. Dadurch würde ich sagen, die Funktion ist nur positiv. Somit müsstte die Beschränktheit doch dasselbe wie der Wertebreich sein oder nicht?
c)
x>0 Streng monoton steigend
x<0 Streng monoton fallend (dies kommt hier doch aber eigentlich nciht vor, da ja nur der Betrag von x oben steht, welcher immer positiv ist oder? )
d)
Symetrie wäre für mich erstmal gar nicht vorhanden, da die Funktion da |x| da steht bei y=2 beginnt und dann streng monoton mit der Steigung 1 bis [mm] \infty [/mm] geht. Es ist also nur im 1. Quadranten überhaupt etwas vorhanden.
Wäre hier das normale x gefragt ohne Betrag würde ich sagen es besteht Punktsymetrie, da alle Exponenten grade sind. (kann das leider nur so bestimmen, habe das bis heute nicht mit dem f(x)=-f-(x) verstanden :-( )
e)
Stetigkeit bedeutet doch das selbe wie Grenzwert oder? Somit wäre für mich bei |x| die Stetigkeit [mm] x\to\infty [/mm] oder? Hierbei bräuchte ich auch noch einmal Hilfe.
f)
Ehrlich gesagt hätte ich auch bei einem x ohne Betrag keien Ahnung was hier zu tun wäre.
Würde mich über Hilfe riesig freuen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haiza!
Hast Du diese Funktion auch mal grafisch dargestellt? Daraus sollten sich eigentlich die meisten Fragen klären bzw. die Antworten erkennen lassen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zudem hilft auch die betragsfreie Darstellung der Funktion durch Anwendung der Definition:
[mm]|x| \ := \ \begin{cases} -x, & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\
+x, & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Danke Loddar,
nein ich hatte die Funktion nicht grafisch dargstellt. Es war mir allerdings auch neu, dass eine Funktion mit Betrag anders grafisch dargestellt wird wie eine ohne Betrag.
-Wieso ist das so?
-Wieso wird wie Gerade an der Y-Achse quasi gespiegelt?
-Wie stelle ich dort rechnerisch die Symmetrie fest?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Di 04.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haiza!
> Es war mir allerdings auch neu, dass eine Funktion mit Betrag
> anders grafisch dargestellt wird wie eine ohne Betrag.
> -Wieso ist das so?
Was soll ich darauf antworten?
Das ergibt sich durch Anwendung der Betragsdefinition.
> -Wieso wird wie Gerade an der Y-Achse quasi gespiegelt?
Gleiche Antwort wie oben.
> -Wie stelle ich dort rechnerisch die Symmetrie fest?
Indem Du zeigst: $f(-x) \ = \ f(+x)$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
> > -Wie stelle ich dort rechnerisch die Symmetrie fest?
>
> Indem Du zeigst: [mm]f(-x) \ = \ f(+x)[/mm] .
Und es kommt ja immer \ f(+x)[/mm] da es sich ja um einen Betrag handelt, korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Di 04.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haiza!
Letztendlich ja.
Aber du musst für den Nachweis auch eine Fallunterscheidung mit $x \ < \ 0$ bzw. $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ machen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
> Hallo Haiza!
>
>
> Letztendlich ja.
>
> Aber du musst für den Nachweis auch eine
> Fallunterscheidung mit [mm]x \ < \ 0[/mm] bzw. [mm]x \ \ge \ 0[/mm] machen.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Könntest du mir diese vorrechnen? Und erklären?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Haiza,
den Graphen der Funktion $g(x)=|x|$ kannst Du Dir erstmal so veranschaulischen:
Betrachte die Gerade gegeben durch [mm] $y(x)=y=x\,,$ [/mm] und spiegele alle Werte unterhalb der [mm] $x\,$-Achse [/mm] an der [mm] $x\,$-Achse [/mm] nach oben. Der so entstehende Graph ist symmetrisch zur [mm] $y\,$-Achse, [/mm] denn es gilt:
1. Fall: Sei $x [mm] \le 0\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $g(x)=|x|=-x\,,$ [/mm] und wegen $x [mm] \le [/mm] 0$ ist $-x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] so dass damit $g(-x)=|-x|=-x$ gilt und daher gilt
[mm] $$g(x)=|x|=-x=|-x|=g(-x)\,.$$
[/mm]
2. Fall: Sei $x [mm] \ge 0\,,$ [/mm] dann ist $g(x)=|x|=x$ und hier gilt wegen $-x [mm] \le [/mm] 0$ dann [mm] $g(-x)=|-x|=x\,$ [/mm] und damit insgesamt
[mm] $$g(x)=|x|=x=|-x|=g(-x)\,.$$
[/mm]
In allen Fällen gilt [mm] $g(-x)=g(x)\,,$ [/mm] also folgt die Symmetrie von [mm] $g\,$ [/mm] zur [mm] $y\,$-Achse.
[/mm]
Entgegen Loddars Vorschlag kann man das ganze aber sehr viel einfacher mithilfe der Regel
[mm] $$|a*b|\;=\;|a|*|b|$$
[/mm]
einsehen (sofern bekannt), denn damit gilt, ohne lästige Fallunterscheidung, für jedes [mm] $x\in \IR$ [/mm] sodann
[mm] $$g(-x)=|-x|=|(-1)*x|=|-1|*|x|=|x|=g(x)\,.$$
[/mm]
Bei Dir liegt nun die Funktion [mm] $f(x)=g(x)+2\,$ [/mm] vor. Der Graph dieser Funktion unterscheidet sich von dem Graphen von [mm] $g\,$ [/mm] nur darin, dass alle Funktionswerte um 2 nach oben verschoben werden. (Übrigens nimmt die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] dann in der Tat nur Werte aus [mm] $[2,\infty)$ [/mm] an!) Die Symmetrie zur [mm] $\,y-$Achse [/mm] bleibt daher aus geometrischen Gründen erhalten, man kann es aber auch mit dem Wissen [mm] $|-x|=|x|\,,$ [/mm] was wir eben begründet haben, nachrechnen:
Für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt nämlich
[mm] $$f(-x)=|-x|+2=|x|+2=f(x)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
> Hallo Haiza,
>
> den Graphen der Funktion [mm]g(x)=|x|[/mm] kannst Du Dir erstmal so
> veranschaulischen:
> Betrachte die Gerade gegeben durch [mm]y(x)=y=x\,,[/mm] und
> spiegele alle Werte unterhalb der [mm]x\,[/mm]-Achse an der
> [mm]x\,[/mm]-Achse nach oben. Der so entstehende Graph ist
> symmetrisch zur [mm]y\,[/mm]-Achse, denn es gilt:
> 1. Fall: Sei [mm]x \le 0\,.[/mm] Dann ist [mm]g(x)=|x|=-x\,,[/mm] und wegen
> [mm]x \le 0[/mm] ist [mm]-x \ge 0\,,[/mm] so dass damit [mm]g(-x)=|-x|=-x[/mm] gilt
> und daher gilt
> [mm]g(x)=|x|=-x=|-x|=g(-x)\,.[/mm]
>
> 2. Fall: Sei [mm]x \ge 0\,,[/mm] dann ist [mm]g(x)=|x|=x[/mm] und hier gilt
> wegen [mm]-x \le 0[/mm] dann [mm]g(-x)=|-x|=x\,[/mm] und damit insgesamt
> [mm]g(x)=|x|=x=|-x|=g(-x)\,.[/mm]
>
> In allen Fällen gilt [mm]g(-x)=g(x)\,,[/mm] also folgt die
> Symmetrie von [mm]g\,[/mm] zur [mm]y\,[/mm]-Achse.
Puh, das war zu viel. :-(
Wenn ich ehrlich bin muss ich aber eingestehen, dass ich noch nichtmal die Symmetrie einer "normalen" Funktion wie [mm] x^2+2x+2 [/mm] bestimmen kann. Das einzige, was ich mir merke ist "Wenn alle Exponenten grade, dann..." Wenn alle Exponenten ungerade, dann..." Jedoch reicht dies nicht als Beweis...
Kann mir noch jemand das Symmetrie Verhalten evtl. einfacher erklären. Ich habe mir schon etlich Seite im Netz durchgelesen mit f(x)=f(-x) usw aber ich kapiere es leider einfach nicht... :-(
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Haiza,
> >
> > den Graphen der Funktion [mm]g(x)=|x|[/mm] kannst Du Dir erstmal so
> > veranschaulischen:
> > Betrachte die Gerade gegeben durch [mm]y(x)=y=x\,,[/mm] und
> > spiegele alle Werte unterhalb der [mm]x\,[/mm]-Achse an der
> > [mm]x\,[/mm]-Achse nach oben. Der so entstehende Graph ist
> > symmetrisch zur [mm]y\,[/mm]-Achse, denn es gilt:
> > 1. Fall: Sei [mm]x \le 0\,.[/mm] Dann ist [mm]g(x)=|x|=-x\,,[/mm] und
> wegen
> > [mm]x \le 0[/mm] ist [mm]-x \ge 0\,,[/mm] so dass damit [mm]g(-x)=|-x|=-x[/mm] gilt
> > und daher gilt
> > [mm]g(x)=|x|=-x=|-x|=g(-x)\,.[/mm]
> >
> > 2. Fall: Sei [mm]x \ge 0\,,[/mm] dann ist [mm]g(x)=|x|=x[/mm] und hier gilt
> > wegen [mm]-x \le 0[/mm] dann [mm]g(-x)=|-x|=x\,[/mm] und damit insgesamt
> > [mm]g(x)=|x|=x=|-x|=g(-x)\,.[/mm]
> >
> > In allen Fällen gilt [mm]g(-x)=g(x)\,,[/mm] also folgt die
> > Symmetrie von [mm]g\,[/mm] zur [mm]y\,[/mm]-Achse.
>
> Puh, das war zu viel. :-(
> Wenn ich ehrlich bin muss ich aber eingestehen, dass ich
> noch nichtmal die Symmetrie einer "normalen" Funktion wie
> [mm]x^2+2x+2[/mm] bestimmen kann.
bei dieser wäre es schwer(er). Denn dort liegt weder Symmetrie zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] noch Punktsymmetrie zum Nullpunkt vor. Diese müßtest Du gemäß quadratischer Ergänzung zu
[mm] $$(x+1)^2+1$$
[/mm]
umschreiben, und dann würdest Du Symmetrie zur Achse $x=-1$ erkennen.
> Das einzige, was ich mir merke ist
> "Wenn alle Exponenten grade, dann..." Wenn alle Exponenten
> ungerade, dann..." Jedoch reicht dies nicht als Beweis...
Warum nicht? Der Haken ist nur: Sowas kannst Du meist nur anwenden, wenn auch ein Polynom (ganzrationale Funktion) vorliegt. Bei (gebrochen-)rationalen Funktionen geht das schon schief, betrachte etwa $x [mm] \mapsto (x^7+x)/x^3\,$ [/mm] - wobei man dann Deine Regel trotzdem verwenden könnte - halt einzeln auf Zähler und Nenner angewandt.
> Kann mir noch jemand das Symmetrie Verhalten evtl.
> einfacher erklären. Ich habe mir schon etlich Seite im
> Netz durchgelesen mit f(x)=f(-x) usw aber ich kapiere es
> leider einfach nicht... :-(
Es ist eigentlich sehr harmlos. Nehmen wir mal die Funktion [mm] $f(x)=x^5+2x^3\,.$ [/mm] Nach Deiner Regel ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung, da dort ja nur ungerade Exponenten auftauchen - es sollte also für jedes [mm] $x\,$ [/mm] dann $f(-x)=-f(x)$ gelten. Um das zu kontrollieren, berechnest Du nun $f(-x)$ (denn wie [mm] $f(x)\,$ [/mm] aussieht, weißt Du ja: [mm] $f(x)=x^5+2x^3$). [/mm] D.h., in [mm] $f(x)\,=\ldots$ [/mm] ersetzt Du jedes [mm] $x\,$ [/mm] erstmal durch [mm] $-x\,:$
[/mm]
[mm] $$f(-x)=(-x)^5+2(-x)^3\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $-x=(-1)*x\,$ [/mm] und der Regel [mm] $(ab)^n=a^n*b^n$ [/mm] gilt dann
[mm] $$f(-x)=(-x)^5+2(-x)^3=((-1)*x)^5+2((-1)*x)^3=(-1)^5*x^5+2*(-1)^3*x^3\,,$$
[/mm]
und weil nun [mm] $-1=(-1)^3=(-1)^5$ [/mm] ist damit
[mm] $$f(-x)=(-1)*x^5+(-1)*2*x^3=(-1)*(\blue{x^5+2x^3})=-\blue{f(x)}\,.$$
[/mm]
Und jetzt zeige ich Dir mal, dass obige Funktion [mm] $g(x)=x^2+2x+2\,$ [/mm] weder symmetrisch zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Denn es gilt in völliger Analogie zu eben
[mm] $$g(-x)=(-x)^2+2*(-x)+2=((-1)*x)^2+2*((-1)*x)+2=(-1)^2*x^2+(-1)*2x+2=x^2-2x+2\,,$$
[/mm]
was offenbar nicht identisch mit [mm] $x^2+2x+2=g(x)$ [/mm] und auch nicht identisch mit [mm] $-g(x)=-x^2-2x-2\,$ [/mm] ist. Nun wird der Skeptiker fragen:
"Naja, vielleicht sieht es ja nur nicht identisch aus, ist es aber in Wahrheit doch?" (das würde er vor allem dann sagen, wenn mehrere Terme mit unterschiedlichem Vorzeichen auftauchen).
Dann kann man durch Gleichsetzen von [mm] $x^2-2x+2=x^2+2x+2$ [/mm] bzw. [mm] $x^2-2x+2=-x^2-2x-2$ [/mm] jeweils nachweisen, dass das i.a. nicht stimmt (die erste der letzten beiden Gleichungen gilt genau für [mm] $x=0\,,$ [/mm] die letzte kann nie erfüllt sein), oder man zeigt dies durch Verwenden konkreter Werte (das Gleichsetzen zeigt natürlich, welche Werte man "nicht" dafür verwenden kann; oben ginge z.B. jedes $x [mm] \not=0$). [/mm] Z.B. gilt für [mm] $x=2\,$:
[/mm]
[mm] $$g(2)=2^2+2*2+2=4+4+2=10\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$g(-2)=(-2)^2+2*(-2)+2=4-1+2=2\,.$$
[/mm]
Und da weder [mm] $2=10\,,$ [/mm] also auch nicht [mm] $g(-2)=g(2)\,,$ [/mm] noch [mm] $2=-10\,,$ [/mm] also auch nicht [mm] $g(-2)=-g(2)\,,$ [/mm] gilt, kann hier keine der aufgeführten Symmetrien vorliegen.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Der Wertebereich wäre doch dann auch nicht komplett R sondern nur Positive Zahlen ab +2 bis [mm] \infty [/mm] oder nicht?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 04.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haiza!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
> Hallo Haiza!
>
>
> Ja.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hm weil ich nämlich die Lösungen zu den Aufgaben habe und diese sagen, es wäre komplett R der Wertebereich... Es handelt sich um eine ältere Klausur, jedoch sind die Lösungen von anderen Schülern. Also um nochmal sicher zu gehen der Wertebereich wäre
[mm] [2;\infty)
[/mm]
korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Di 04.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Haiza!
Ja, das stimmt so, wie man auch gut an der Skizze sehen kann.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Somit wäre dann der Definitionsbereich komplett R.
Lücken sind keine vorhanden da es sich um eine ganzrationale Funktion handelt.
Ist das auch korrekt?
Kannst du mir noch einmal eine Hilfestellung zur:
-Stetigkeit
-Differenzierbarkeit
geben? Da setzt es bei mir nämlich ganz stark aus, leider.
Danke du bist mir wirkliche ine große Hilfe.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Di 04.01.2011 | | Autor: | maddhe |
Hi!
zur Stetigkeit: es muss in jedem Punkt $a$ (in dem die Funktion f stetig heißen soll) gelten, dass [mm] $\limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$. [/mm] Das heißt wenn man sich einem Punkt von links oder von rechts nähert, dann muss die Funktion genau dort landen, wo sie sich IN dem Punkt auch befindet. Man verwendet in der Schule oft die vereinfachte Bedingung "Die Funktion muss ohne absetzen des Stifts zu zeichnen sein" - als Orientierung gut, als Definition natürlich nicht.
zur Differenzierbarkeit: es muss in jedem Punkt $a$ (in dem die Funktion f differenzierbar heißen soll) gelten, dass [mm] $\limes_{x\uparrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\limes_{x\downarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. [/mm] Das heißt wenn man sich einem Punkt von links oder rechts nähert, dann muss die Steigung der Funktion sich so entwickeln, dass sie im Punkt $a$ EINEN Wert liefert (die Werte bei Annäherung von links und rechts also übereinstimmen). Man verwendet in der Schule oft die vereinfachte Bedingung "Die Funktion darf keine Knicke haben" - als Orientierung gut, als Definition natürlich nicht.
Bei deiner Funktion $f(x)=|x|+2$ ist für $x<0$ alles klar, denn dort hast du eine Gerade. Für $x>0$ ebenfalls. Dein kritischer Punkt, den du auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit also noch überprüfen musst, ist also bei im Punkt $a=0$.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da hier offenbar fehlerhafte Lösungen (in der Musterlösung) zu der Aufgabe gegeben wurden, gebe ich Dir mal die richtigen Lösungen:
> Stellen Sie die Funktion f(x) = |x| + 2 mit dem
> Definitionsbereich D = R grafisch dar
siehe Loddars Antwort.
> und ermitteln Sie
> folgende Eigenschaften:
> a) Wertebereich
Wegen $|x|+2 [mm] \ge [/mm] 2$ und weil [mm] $|x|\,$ [/mm] alle Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ annimmt, ist der Wertebereich [mm] $[2,\infty)\,.$
[/mm]
> b) Beschränktheit nach oben? Beschränktheit nach unten?
Die Funktion ist (vergleiche Wertebereich) nicht beschränkt (beschränkt heißt nämlich: sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt!). Sie ist nämlich nach oben unbeschränkt. Nach unten ist sie allerdings durch jede reelle Zahl [mm] $\le [/mm] 2$ beschränkt - und [mm] $2\,$ [/mm] ist die "beste untere Schranke" im Sinne von "größtmögliche untere Schranke" für [mm] $f\,.$
[/mm]
> Gegebenenfalls Schranken angeben.
Untere Schranken:
Beste: 2, andere wären z.B. 1 oder -7 oder [mm] $-\pi$ [/mm] oder [mm] $\sqrt{2}/2$ [/mm] oder [mm] $-10^{45}$ [/mm] oder ....
> c) Monotonie
Die Funktion fällt streng auf dem (im Sinne der Mengeninklusion) maximalen Bereich [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] und wächst streng auf [mm] $[0,\infty)\,.$
[/mm]
> d) Symmetrie
Siehe andere Antwort: Symmetrie zur [mm] $y\,$-Achse.
[/mm]
> e) Stetigkeit
Überall stetig.
> f) Differenzierbarkeit
Nicht differenzierbar, da die Funktion an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nicht diff'bar ist (an allen sonstigen Stellen ist sie diff'bar).
> Hallo Leute,
> Dadurch, dass in der Aufgabe |x| steht, schmeißt mir das
> alles durcheinander. Ich hatte keine einzige der
> Teilaufgaben korrekt.
> Also a)
> Der Wertebereich ist angeblich komplett R. Aber wie soll
> der Bereich komplett R sein wenn X nur positiv ist? Müsste
> der Wertebereich nicht R* sein. Also alle Reellen Zahlen
> die Positiv sind? Also [mm]W=[2;\infty)[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> b)
> Beschränkt wäre die Funktion denke ich gar nicht wenn
> hier in der Aufgabe nicht |x| stehen würde. Dadurch würde
> ich sagen, die Funktion ist nur positiv.
In der Tat nimmt die Funktion nur positive Werte an. Aber das stimmt nur, weil zu [mm] $|x|\,$ [/mm] da auch immer nur eine nichtnegative Zahl addiert wird. $h(x)=|x|-3$ nimmt z.B. auch negative Werte an, und ist nach unten beschränkt (nach oben aber nicht). Würde dort übrigens [mm] $-|x|\,$ [/mm] anstatt [mm] $|x|\,$ [/mm] stehen, so wäre die Funktion nach oben, nicht aber nach unten, beschränkt.
> Somit müsstte die
> Beschränktheit doch dasselbe wie der Wertebreich sein oder
> nicht?
Man kann anhand des Wertebereichs Aussagen über die Beschränktheit ablesen, wenn Du das so meinst. Das selbe ist es natürlich nicht...
> c)
> x>0 Streng monoton steigend
Besser: Auf $x [mm] \ge [/mm] 0$
> x<0
Besser: Auf $x [mm] \le$
[/mm]
> Streng monoton fallend (dies kommt hier doch aber
> eigentlich nciht vor, da ja nur der Betrag von x oben
> steht, welcher immer positiv ist oder? )
Das liegt daran, dass [mm] $|x|=-x\,$ [/mm] auf $x [mm] \le [/mm] 0$ gilt, und der entsprechende Graph ist auf diesem Bereich dann halt eine streng fallende Gerade (Steigung: -1).
> d)
> Symetrie wäre für mich erstmal gar nicht vorhanden, da
> die Funktion da |x| da steht bei y=2 beginnt und dann
> streng monoton mit der Steigung 1 bis [mm]\infty[/mm] geht. Es ist
> also nur im 1. Quadranten überhaupt etwas vorhanden.
??? Siehe oben.
> Wäre hier das normale x gefragt ohne Betrag würde ich
> sagen es besteht Punktsymetrie, da alle Exponenten grade
> sind. (kann das leider nur so bestimmen, habe das bis heute
> nicht mit dem f(x)=-f-(x) verstanden :-( )
Aber dieses ablesen bei Polynomen basiert doch gerade auf einem "Nachrechnen" von [mm] $p(-x)=p(x)\,.$ [/mm] Denn bei allen Termen mit ungeraden Exponenten [mm] $n\,\,,$ [/mm] als der Form [mm] $x^n\,,$ [/mm] gilt dann doch [mm] $(-x)^n=(-1)^n*x^n=-1*x^n\,,$ [/mm] weil [mm] $(-1)^n$ [/mm] für ungerades [mm] $n\,$ [/mm] gerade [mm] $-1\,$ [/mm] ergibt. Danach klammert man -1 aus... Verstehst Du denn obige Rechnung meinerseits nun? (Siehe andere Antwort!)
> e)
> Stetigkeit bedeutet doch das selbe wie Grenzwert oder?
Die Frage ist so sinnfrei. Das ist so, als wenn Du fragst, ob Auto das gleiche ist wie Reifen. Beides hat miteinander zu tun, aber man muss schon die Zusammenhänge verstehen und formulieren können.
> Somit wäre für mich bei |x| die Stetigkeit [mm]x\to\infty[/mm]
> oder? Hierbei bräuchte ich auch noch einmal Hilfe.
Stetigkeit in [mm] $\infty$ [/mm] macht keinen Sinn. Das, was Du hier ansprichst, ist nicht die Stetigkeit, sondern die Frage, "wie sich die Funktion im Unendlichen verhält". (Analog fürs "negative Unendliche".)
> f)
> Ehrlich gesagt hätte ich auch bei einem x ohne Betrag
> keien Ahnung was hier zu tun wäre.
>
> Würde mich über Hilfe riesig freuen.
> Gruß
>
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Also ich sehe jetzt keinen unterschied zwischen Schranken und Wertebereich.
Der Wertebreich ist 2 bis unendlich.
Die Beschränktheit ist:
größte untere Schranke Y=2 nach oben unbeschränkt.
Da sehe ich keinen Unterschied mehr...
Ebenfalls bei der Funktion f(x)=sinx
Wertebereich [1;-1]
Beschränktheit:
Größte untere Schranke -1. Größte obere Schranke ist 1.
Ist doch das selbe oder wo liege ich da jetzt falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich sehe jetzt keinen unterschied zwischen Schranken
> und Wertebereich.
> Der Wertebreich ist 2 bis unendlich.
> Die Beschränktheit ist:
> größte untere Schranke Y=2 nach oben unbeschränkt.
>
> Da sehe ich keinen Unterschied mehr...
>
> Ebenfalls bei der Funktion f(x)=sinx
> Wertebereich [1;-1]
> Beschränktheit:
> Größte untere Schranke -1. Größte obere Schranke ist
> 1.
> Ist doch das selbe oder wo liege ich da jetzt falsch?
das ist nicht das selbe, da die Begriffe erstmal komplett verschieden sind (wohl aber - definitionsgemäß - miteinander in Verbindung stehen). Ich bin mir sicher, dass das, was Du eigentlich mitteilen willst, das richtige ist, aber Deine Wortwahl ist total falsch:
Der Wertebereich ist eine MENGE, es ist die Menge aller Werte, die die Funktion auch wirklich annimmt (man spricht auch von dem Bild der Funktion oder dem Bildbereich einer Funktion; denn eine Funktion kann man ja auch in eine "größere" Menge abbilden lassen, die deren Bild enthält - das würde man dann den ZIELBEREICH nennen und der Wertebereich muss logischerweise immer in einem solchen enthalten sein; aber das nur nebenbei). Für Mengen kann man prüfen, ob diese unbeschränkt oder beschränkt (oder, falls Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] vorliegen: auch nur einseitig beschränkt) sind. Und man sagt halt bei einer Funktion, dass sie (entsprechend der obigen Begriffe) beschränkt ist, wenn der Wertebereich (entsprechend) beschränkt ist. Das ist eigentlich das, was Du meinst.
Aber der Wertebereich einer Funktion ist nicht das gleiche wie die Beschränktheit. Er ist nur (definitionsgemäß) als Mittel dafür zu gebrauchen, um festzustellen, ob denn eine Funktion nun beschränkt ist.
Ein anderes Beispiel:
Du hast einen (funktionsfähigen) Multimeter und willst testen, ob eine Batterie voll oder leer ist. Mit dem Multimeter siehst Du die Spannung, und merkst: Aha, die ist voll.
(Analog zu oben: Du guckst Dir den Wertebereich an und erkennst, ob es obere und untere Schranken gibt.)
Dies erkennst Du anhand der Anzeige des Multimeters. (Oben wäre die Anzeige quasi der Wertebereich (evtl. inklusive Erkennens, ob es dafür Schranken irgendwelcher Art gibt oder nich)t.)
Dann sagst Du ja auch nicht: Okay, die Batterie ist voll, weil die Anzeige die Ladung ist... sondern Du sagst: Anhand der Anzeige erkenne ich, ob die Batterie noch geladen oder schon leer ist.
Analog musst Du oben halt sagen: Anhand des Wertebereichs kann ich feststellen, ob eine Funktion beschränkt ist.
Genauso sinnlos wie der Satz "Die Anzeige ist die Ladung" ist Dein Satz "Der Wertebereich ist das selbe wie Beschränktheit." Du darfst Mittel und Zweck nicht gleichsetzen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Di 04.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Danke schön. Ich meinte bzw wollte das ausdrücken, was du grade ausführlich aufgeführt hast.
Riesen dank an dich.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Do 06.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Hallo,
ich muss das Thema noch einmal ausgraben.
Kann mir jemand erklären, wie ich eine Funktion, bzw die von mri oben genannte Funktion auf "Differenzierbarkeit" prüfe? Also Aufgabe f).
Danke im Voraus
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Hallo haiza,
> Kann mir jemand erklären, wie ich eine Funktion, bzw die
> von mri oben genannte Funktion auf "Differenzierbarkeit"
> prüfe? Also Aufgabe f).
Generell: indem Du zeigst, wo der Differenzenquotient einen Grenzwert besitzt. Der sollte auch noch rechts- und linksseitig gleich sein.
Meistens aber spart man sich die Mühe für die ganze Funktion, weil häufig die "Problemstellen" leicht zu erkennen sind.
Die meisten Verknüpfungen stetiger Funktionen sind selbst wieder stetig.
In der vorliegenden Funktion allerdings sind die Betragsstriche ein deutlicher Hinweis, dass an der Stelle x=0 eine Untersuchung nötig ist.
Und tatsächlich ist die Funktion dort nicht differenzierbar. Der linksseitige Grenzwert (des Differenzenquotienten) ist -1, der rechtsseitige ist +1.
Mit ein bisschen Übung findest Du die zu untersuchenden Stellen normalerweise schnell selbst. Sie liegen eigentlich immer am undefinierten Rand eines definierten Bereichs, also z.B. da, wo ein Nenner Null wird (verboten) oder das Argument unter einer Wurzel Null wird (erlaubt, aber negativ darf es eben nicht werden) etc.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 06.01.2011 | | Autor: | Haiza |
> Die meisten Verknüpfungen stetiger Funktionen sind selbst
> wieder stetig.
> In der vorliegenden Funktion allerdings sind die
> Betragsstriche ein deutlicher Hinweis, dass an der Stelle
> x=0 eine Untersuchung nötig ist.
Wieso sagen mir die Betragsstriche das?
> Und tatsächlich ist die Funktion dort nicht
> differenzierbar.
Wieso? Woran erkenne ich das?
>Der linksseitige Grenzwert (des
> Differenzenquotienten) ist -1, der rechtsseitige ist +1.
Wieso? Woran kann ich das erkennen das der rechts und linksseite Grenzwert 1/-1 ist? Die Funktion ist doch eine gerade wie kann diese einen Grenzwert haben?
> Sie liegen eigentlich
> immer am undefinierten Rand eines definierten Bereichs,
> also z.B. da, wo ein Nenner Null wird (verboten) oder das
> Argument unter einer Wurzel Null wird (erlaubt, aber
> negativ darf es eben nicht werden) etc.
Aber bei diese Funktion ist ganzrational und hat keine Wurzel, wie erkenne ich es dann?
Und was genau bedeutet "differenzierbar"? Ich weiß wohl was differenzieren ist (Ableiten) und wie dies funktioniert, aber ich kann den Begriff nicht auf so eine Funktion anwenden... leider...
Danke nochmal!
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> > Die meisten Verknüpfungen stetiger Funktionen sind selbst
> > wieder stetig.
> > In der vorliegenden Funktion allerdings sind die
> > Betragsstriche ein deutlicher Hinweis, dass an der Stelle
> > x=0 eine Untersuchung nötig ist.
>
> Wieso sagen mir die Betragsstriche das?
Da steht das rot markierte..... mit ein bisschen Erfahrung weiß man, dass Beträge bei der Frage der Differenzierbarkeit genau an den Stellen Probleme bereiten kann, an denen der Inhalt des Betrags sein Vorzeichen ändert, z.B. bei $|x-2|$ passiert das bei $x=2$.
Hintergrund: Wenn du das ohne Betrag schreibst, ändert sich genau an dieser Stelle das, was man aufschreiben muss.
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>
> > Und tatsächlich ist die Funktion dort nicht
> > differenzierbar.
>
> Wieso? Woran erkenne ich das?
Du musst (wie dir bereits gesagt wurde) den Differenzenquotienten berechnen und dann den links- und rechtsseitigen Grenzwert dieses Differenzenquotienten, wenn x gegen deine zu untersuchende Stelle (hier 0) läuft.
Hinweis: Hier existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten, wenn x<0 ist (und man nennt diesen Grenzwert an jeder Stelle dann die Ableitung an dieser Stelle) und genauso, wenn x>0 ist. Aber wenn du jetzt diesen Grenzwert anschaust, wenn du dich mit x der 0 näherst, dann stellst du fest, dass er von links immer -1 ist und von rechts immer +1 (wie dir auch schon gesagt wurde) und das ist unterschiedlich und nach Definition der Differenzierbarkeit (die dir hier auch gesagt wurde und die du kennen solltest, wenn du eine Funktion auf Differenzierbarkeit untersuchst) ist deine Funktion an dieser Stelle eben nicht differenzierbar.
>
> >Der linksseitige Grenzwert (des
> > Differenzenquotienten) ist -1, der rechtsseitige ist +1.
>
> Wieso? Woran kann ich das erkennen das der rechts und
> linksseite Grenzwert 1/-1 ist? Die Funktion ist doch eine
> gerade wie kann diese einen Grenzwert haben?
>
Erklärung s.o.
> > Sie liegen eigentlich
> > immer am undefinierten Rand eines definierten Bereichs,
> > also z.B. da, wo ein Nenner Null wird (verboten) oder das
> > Argument unter einer Wurzel Null wird (erlaubt, aber
> > negativ darf es eben nicht werden) etc.
>
> Aber bei diese Funktion ist ganzrational und hat keine
> Wurzel, wie erkenne ich es dann?
s.o.: z.B. an einem Betrag
>
> Und was genau bedeutet "differenzierbar"? Ich weiß wohl
> was differenzieren ist (Ableiten) und wie dies
> funktioniert, aber ich kann den Begriff nicht auf so eine
> Funktion anwenden... leider...
Leider kannst du dann diese Aufgabe auch nicht lösen. Wenn du die lösen MUSST und keiner hat dir verraten, was Differenzierbarkeit bedeutet, dann könnte es sein, dass du dir das selbst erarbeiten sollst.
Wenn du dir nur lösen WILLST, weil du Spaß daran hast, dann wird es dir sicher auch Spaß machen, erst einmal herauszufinden, was deine "Ableitung" mit dem Begriff der Differenzierbarkeit zu tun hat.
In allen anderen Fällen hast du irgendwo bei dir stehen, wie dieser Zusammenhang aussieht und du kannst es sofort nachschauen.
>
> Danke nochmal!
>
lg weightgainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 06.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Hallo
Ich kriege es nicht in meine Birne rein. Ich hab mir jetzt nochmal das Thema im Internet und in dem Buch "Analysis für Dummies" durchgelesen. Ebenso in Papula nachgelesen.
Ich kapiere einfach nicht was Differenzierbarkeit bedeutet. Es hat was mit Grenzwerten zu tun. Aber ich verstehe immer nur Bahnhof sobald ich lesen "geht gegen unendlich" oder sonstiges. Dann das Wort "Differentialquotient".
Auch wenn ich jetzt nerve, kann nicht irgendjemand es in einfache verständliche Worte fassen was das alles bedeutet. Ich weiß, dass mir das jetzt schine tliche Male erklärt ist hier aber es ist mir alles zu kompliziert geschrieben, ich finde es so nicht heraus.
Mein genaues Problem liegt jetzt darin:
-Die Differenzierbarkeit einer Funktion herauszufinden
-Der Differenzquotent ist jetzt genau was?
Die Leute die jetzt nur den Kopf schüttel und sich über mich ärger, dann antwortet bitte einfach nicht. Ich brauch jetzt nicht noch mehr Sprüche die ich mri anhören muss.
Bitte nur um Antworten von Leuten die mich nocheinmal unterstützen möchten.
Trotzdem nochmal Danke an alle die mir bis jetzt geholfen haben
Gruß
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Zeichne dir einen Funktionsgraphen, z.B. eine Parabel.
Markiere zwei beliebige Punkte darauf.
Zeichne die gerade Verbindung zwischen diesen beiden Punkten.
So, das nennt man Sekante.
Wenn du jetzt den Punkt, der weiter rechts liegt, immer näher an den linken Punkt heranschiebst, was wird aus der Sekante?
Es wird eine Tangente in diesem linken Punkt daraus.
Jetzt geht es an die Berechnung der Steigung der Tangente an dieser Stelle. Und hier kommt man dann um Formeln nicht mehr herum.
Dazu startet man erstmal mit der Steigung der Sekante, die kann man mit Hilfe der beiden Punkte ausrechnen:
Steigung der Sekante = [mm] \bruch{Differenz\ der\ y-Werte}{Differenz\ der\ x-Werte}
[/mm]
Diesen Bruch nennt man Differenzenquotient.
Wenn jetzt der rechte Punkt immer näher an den linken heranwandert, wird also die Differenz der x-Werte immer kleiner, sie "geht gegen 0", man bildet hier also einen Grenzwert.
Und dieser Grenzwert gibt dir dann die Steigung der Tangente in diesem Punkt an. Das nennt man dann Ableitung in diesem Punkt und man nennt die Funktion dann in diesem Punkt differenzierbar.
Es gibt Funktionen (wie alle Parabeln), bei denen kann man das nun an jedem Punkt machen.
Das hat man natürlich untersucht und vieles herausgefunden, z.B. dass viele Funktionen überall differenzierbar sind UND auch Formeln, wie man diese Tangentensteigungswerte OHNE die ständige Grenzwertbildung rausbekommt.
Beispiel: $f(x) = [mm] x^{2}$.
[/mm]
Jetzt nehme ich mir mal zwei Stellen auf der x-Achse, die nenne ich [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] und schaue mir die beiden Punkte auf der Parabel dort an. Das sind die 2 Punkte, die du ganz oben mal eingezeichnet hast.
Die Steigung bekomme ich also jetzt so raus:
Steigung der Sekante = [mm] \bruch{Differenz\ der\ y-Werte}{Differenz\ der\ x-Werte}
[/mm]
$= [mm] \bruch{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} [/mm] = [mm] \bruch{x_1^{2} - x_0^{2}}{x_1 - x_0}$
[/mm]
Das gilt jetzt immer, egal wo [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_1 [/mm] liegen. Jetzt will ich ja den rechten gegen den linken Punkt laufen lassen, d.h. mein [mm] x_1 [/mm] geht immer dichter an das [mm] x_0 [/mm] ran, bis es "fast dasselbe" ist (also schaue den Grenzwert für [mm] x_1 \to x_0 [/mm] an).
Problem: Wenn ich das mache, werden Zähler und Nenner jeder für sich immer kleiner und nähern sich der 0 und mir ist nicht geholfen (erst recht nicht, weil ich nicht durch 0 dividieren kann).
Aber ich kann den Bruch noch umformen:
$= [mm] \bruch{x_1^{2} - x_0^{2}}{x_1 - x_0} [/mm] = [mm] \bruch{(x_1 - x_0)*(x_1+x_0)}{x_1 - x_0} =x_1+x_0$
[/mm]
(3. binomische Formel im Zähler, dann kürzen)
Jetzt kann ich gefahrlos [mm] x_1 [/mm] immer näher an [mm] x_0 [/mm] ranwandern lassen und am Ende steht dort dann [mm] $x_0 [/mm] + [mm] x_0 [/mm] = [mm] 2*x_0$.
[/mm]
Kurz gesagt: An der Stelle [mm] x_0 [/mm] existiert also der Grenzwert des Differenzenquotient und ich hab ihn sogar ausgerechnet.
Vielleicht erkennst du jetzt die Ableitungsregel wieder:
$f(x)= [mm] x^{2} \Rightarrow [/mm] f'(x) = 2*x$
------------------------------------------------
Wenn du jetzt $f(x) = |x|$ hast, dann musst du erstmal den Betrag auflösen, bevor du mit dem obigen Kram anfängst und schreiben:
[mm] $f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}$
[/mm]
Jetzt sollst du schauen, ob f differenzierbar ist. Das musst du getrennt machen, weil du ja für die verschiedenen Bereiche unterschiedliche "Formeln" hast.
Also schauen wir erst einmal nach allen negativen x.
Dafür gilt $f(x) = -x$. Da kannst du "ganz normal" ableiten und bekommst $f'(x) = -1$ für alle negativen x raus (das könntest du aber auch über den oben gezeigten, langen Weg über den Differenzenquotienten machen).
Für alle positiven x läuft das genauso, nur ist da halt $f(x) = x$ und deswegen $f'(x)=1$
So, der einzige Fall, den man einzeln anschauen muss, ist der bei x=0, also die "Klebestelle".
Was ich oben noch weggelassen habe: Wenn du eine Stelle [mm] x_0 [/mm] untersuchst, musst du den Punkt bei [mm] x_1 [/mm] sowohl von links als auch von rechts ranlaufen lassen und dann muss dasselbe rauskommen.
Du kannst dir vielleicht jetzt schon vorstellen, dass das hier nicht klappt. Denn wenn du VON LINKS kommst, hast du immer die Steigung -1 und wenn du von rechts kommst, hast du immer die Steigung 1.
Den GRENZWERT gibt es also nicht, dafür müsste beides Male das gleiche rauskommen.
Vielleicht ist es jetzt etwas klarer geworden, wobei ich das natürlich auch mal alles aus Lehrbüchern gelernt habe und von daher nicht weiß, ob es da nicht genauso drin steht....
lg weightgainer
p.s. Die Profis mögen mir die ein oder andere mathematische Unsauberkeit nachsehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Do 06.01.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo weightgainer,
> p.s. Die Profis mögen mir die ein oder andere
> mathematische Unsauberkeit nachsehen...
Mal sehen, ob sie das tun. Ich bin keiner.
Ich finde nur, Du hast es gut erklärt, sehr anschaulich dazu.
Und dafür hast Du Dir viel Zeit genommen.
Meine Hochachtung für all dies!
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Haiza |
Wow, erstmal riesen Dank. Das hat mich schon mal um einiges weiter gebracht.
Nun schreibst du aber noch:
> So, der einzige Fall, den man einzeln anschauen muss, ist
> der bei x=0, also die "Klebestelle".
Wie stelle ich das an, wie kontrolliere in in der Stelle ob sie Differenzierbar ist?
Ich gehe mal stark davon aus, dass sie es nicht ist, allein schon deswegen weil die Steigung in dem Punkt 0 ist. Ich glaube ein Mathematiker fürde sagen "undefiniert".
Aber wie prüfe ich das Rechnerisch bei x=0. BZw wie prüfe ichd ies allgemein bei einzelnen stellen wie x=0 oder (auch wenn es hier sinnlos ist) bei x=5?
Riesen fettes Danke !
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Hey,
> Wow, erstmal riesen Dank. Das hat mich schon mal um einiges
> weiter gebracht.
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> Nun schreibst du aber noch:
> > So, der einzige Fall, den man einzeln anschauen muss,
> ist
> > der bei x=0, also die "Klebestelle".
>
> Wie stelle ich das an, wie kontrolliere in in der Stelle ob
> sie Differenzierbar ist?
> Ich gehe mal stark davon aus, dass sie es nicht ist, allein
> schon deswegen weil die Steigung in dem Punkt 0 ist. Ich
> glaube ein Mathematiker fürde sagen "undefiniert".
Nein, das mit der 0 stimmt nicht. Wie kommst du auf die Steigung? Das ist nämlich genau der Punkt. Überleg dir das mal anschaulich: Nimm dir ein Lineal und lege es als Tangente an irgendeinen Graphen (das Lineal berührt den Graphen also an dieser Stelle).
Wenn du das machen kannst und es ist eindeutig, dann klappt dieses Verfahren, das ich dem Post vorher beschrieben habe.
An dieser speziellen Klebestelle klappt das aber nicht, denn du kannst das Lineal auf viele Arten an diese Ecke halten, d.h. dort ist die Steigung nicht eindeutig (insbesondere ist sie nicht 0) und deswegen würde ein Mathematiker sagen, dass es dort keine eindeutige Tangentensteigung gibt (zur Erinnerung: die Ableitung gibt dir die Tangentensteigung an - aber das geht ja an dieser Stelle nicht, also gibt es auch keine Ableitung).
Wie macht man das jetzt formal?
Naja, meistens befinden sich um eine solche Stelle herum Funktionen, die man ableiten kann, hier sind es die ganz einfachen Funktionen -x und x mit den Ableitungen -1 und 1.
Das kann man nun ausnutzen - denn wenn du dich jetzt von rechts her an diese Stelle annäherst, hat die Funktion IMMER die Steigung 1 (und um auch da nochmal dran zu erinnern: das ist gleichzeitig auch der Grenzwert des Differenzenquotienten an jeder Stelle). Also ist der Grenzwert, wenn du von rechts kommst, gleich 1.
Du siehst es bestimmt schon: Wenn du dich jetzt von links näherst, dann ist das genau gleich, aber dieses Mal mit der Steigung -1.
Damit aber die Funktion an dieser Stelle differenzierbar wäre, müssten die Grenzwerte übereinstimmen, d.h. es müsste egal sein, ob man von links oder von rechts kommt und das ist hier nicht der Fall.
Man spricht hier von "linksseitigem" und "rechtsseitigem" Grenzwert.
> Aber wie prüfe ich das Rechnerisch bei x=0. BZw wie
> prüfe ichd ies allgemein bei einzelnen stellen wie x=0
> oder (auch wenn es hier sinnlos ist) bei x=5?
>
Es gibt eigentlich nur zwei Möglichkeiten:
1. Du kannst die Funktion an dieser Stelle ableiten, z.B. willst du $f(x) = [mm] 2*x^{2} [/mm] - 4x + 3$ an der Stelle 5 untersuchen. Du weißt schon, dass sie dort differenzierbar ist, dann kannst du per Ableitungsregeln $f'(x)=4x - 4$ ausrechnen und dann $f'(5) = 16$ als die Steigung an dieser Stelle ausrechnen.
2. Wenn du das nicht weißt, bleibt dir nur der Weg über den Differenzenquotienten und dessen Grenzwertuntersuchung. Da gibt es zwei Standardmethoden, die man manchmal "x- und h-Methode" nennt. Wenn du das bisher verstanden hast, dann wirst du das durch einfaches nachlesen auch verstehen können  .
> Riesen fettes Danke !
>
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lg weightgainer
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