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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $f: [mm] \IR \to {[1,\infty[},$ $f(x):=e^{x^{2}}$
[/mm]
b) $g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1],$ $g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x$
c) $h: [mm] \IR \times \IR \to \IR,$ $h(x,y):=x+y,\!\$ [/mm] wobei [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] mit der durch
[mm] [center]$(x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},$[/center]
[/mm]
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo,
teils bitte ich um Korrektur, teils bitte ich um etwas Hilfe. Zunächst die Teilaufgabe
a) Laut Vorlesung: Exponentialfunktionen sind stetig sowie streng steigend für Basis a>1 und streng fallend für Basis 0 < a < 1.
[mm] $e^{x^{2}}$ [/mm] lässt sich auch als [mm] $e^{x^{2}*\ln e}$ [/mm] schreiben, die Basis a ist hier also e und es gilt e > 1. Die Funktion f ist also stetig sowie streng steigend. Aus streng steigend folgt f ist injektiv und steigend.
Der Beweis der Surjektivität (aus der dann auch die Bijektivität folgen würde), macht mir hier leider Probleme.
Eine Möglichkeit wäre vielleicht der Zwischenwertsatz... Falls jemand eine andere Möglichkeit sieht bin ich für jeden Tipp sehr dankbar, zumal das eine Klausurvorbereitungsaufgabe ist und die Lösung erst am Vorabend der Klausur erscheinen wird (wirklich genial...).
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mi 26.01.2011 | | Autor: | fred97 |
hallo Grieche,
Deinen Betrachtungen zu $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $ muß ich heftigst widersprechen !!
Dass f nicht injektiv ist , siehst Du an
f(-x)=f(x)
Z.B. f(1)=f(-1) etc....
Es ist [mm] f'(x)=2xe^{x^2}. [/mm] Daran siehst Du: f'>0 für x>0, f ist also für x>0 streng wachsend. Analog: f ist für x<0 streng fallend
Surjektiv: Der Zwischenwertsatz ist eine gute Idee. So was ähnliches hab ich Dir schon mal vorgemacht
FRED
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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $ f: [mm] \IR \to {[1,\infty[}, [/mm] $ $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $
b) $ g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1], $ $ g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x $
c) $ h: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] $ $ [mm] h(x,y):=x+y,\!\ [/mm] $ wobei $ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ mit der durch
$ [mm] (x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2}, [/mm] $
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo Fred,
> hallo Grieche,
>
> Deinen Betrachtungen zu [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm] muß ich heftigst
> widersprechen !!
>
> Dass f nicht injektiv ist , siehst Du an
>
> f(-x)=f(x)
>
> Z.B. f(1)=f(-1) etc....
>
> Es ist [mm]f'(x)=2xe^{x^2}.[/mm] Daran siehst Du: f'>0 für x>0, f
> ist also für x>0 streng wachsend. Analog: f ist für x<0
> streng fallend
>
> Surjektiv: Der Zwischenwertsatz ist eine gute Idee. So was
> ähnliches hab ich Dir schon mal vorgemacht
prüfe auf Surjektivität anhand des ZWS:
Sei [mm] $y_{0} \ge [/mm] 1$
Es gilt [mm] $e^{x^{2}} \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to \infty.$ [/mm] Also gibt es ein [mm] $e^{v^{2}} [/mm] > [mm] y_{0}$
[/mm]
Weiter gilt [mm] $e^{x^{2}} \to \infty$ [/mm] für $x [mm] \to -\infty.$ [/mm] Also gibt es ein u<v mit [mm] $e^{u^{2}} [/mm] > [mm] y_{0}.$
[/mm]
Die e-Funktion ist stetig und die Verkettung stetiger Funktionen ist auch stetig, also ist f stetig und ich darf den ZWS anwenden.
u<v mit [mm] $y_{0} [/mm] < [mm] e^{u^{2}}=e^{v^{2}}$
[/mm]
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein $ [mm] x_0 \in [/mm] [u,v]$ mit [mm] $e^{x_{0}^{2}}=y_{0}$
[/mm]
$ [mm] y_0 \ge [/mm] 1$ beliebig, also nimmt die Funktion $ [mm] f(x)=e^{x^{2}}$ [/mm] jeden Wert [mm] $\ge [/mm] 1$ an.
Damit wäre die Surjektivität gezeigt (wenn das mit dem ZWS wirklich so stimmen sollte).
Für die f also folgende Eigenschaften:
- nicht injektiv
- surjektiv
- nicht bijektiv, da keine Injektivität
- steigend, da streng steigend für x>0
- streng steigend für x>0
> FRED
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:42 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv,
> bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die
> folgenden Funktionen?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der
> Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion
> und die Sinusfunktion verweisen).
>
> a) [mm]f: \IR \to {[1,\infty[},[/mm] [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]g: [0,1] \to [1,1+3 \sin 1],[/mm] [mm]g(x):=1+3 \sin x[/mm]
>
> c) [mm]h: \IR \times \IR \to \IR,[/mm] [mm]h(x,y):=x+y,\!\[/mm] wobei [mm]\IR \times \IR[/mm]
> mit der durch
>
> [mm](x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},[/mm]
>
>
> definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil
> der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung
> handelt).
>
> Hallo Fred,
>
> > hallo Grieche,
> >
> > Deinen Betrachtungen zu [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm] muß ich heftigst
> > widersprechen !!
> >
> > Dass f nicht injektiv ist , siehst Du an
> >
> > f(-x)=f(x)
> >
> > Z.B. f(1)=f(-1) etc....
> >
> > Es ist [mm]f'(x)=2xe^{x^2}.[/mm] Daran siehst Du: f'>0 für x>0, f
> > ist also für x>0 streng wachsend. Analog: f ist für x<0
> > streng fallend
> >
> > Surjektiv: Der Zwischenwertsatz ist eine gute Idee. So was
> > ähnliches hab ich Dir schon mal vorgemacht
>
> prüfe auf Surjektivität anhand des ZWS:
>
> Sei [mm]y_{0} \ge 1[/mm]
> Es gilt [mm]e^{x^{2}} \to \infty[/mm] für [mm]x \to \infty.[/mm]
> Also gibt es ein [mm]e^{v^{2}} > y_{0}[/mm]
O.K.
> Weiter gilt [mm]e^{x^{2}} \to \infty[/mm]
> für [mm]x \to -\infty.[/mm] Also gibt es ein u<v mit [mm]e^{u^{2}} > y_{0}.[/mm]
Das brauchst Du doch gar nicht !
Du hast doch: f(0)=1 [mm] \le y_0 [/mm] < [mm] f(v^2)
[/mm]
Jetzt zwischenwertsatz.
FRED
>
> Die e-Funktion ist stetig und die Verkettung stetiger
> Funktionen ist auch stetig, also ist f stetig und ich darf
> den ZWS anwenden.
>
> u<v mit [mm]y_{0} < e^{u^{2}}=e^{v^{2}}[/mm]
>
> Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [mm]x_0 \in [u,v][/mm] mit
> [mm]e^{x_{0}^{2}}=y_{0}[/mm]
>
> [mm]y_0 \ge 1[/mm] beliebig, also nimmt die Funktion [mm]f(x)=e^{x^{2}}[/mm]
> jeden Wert [mm]\ge 1[/mm] an.
>
> Damit wäre die Surjektivität gezeigt (wenn das mit dem
> ZWS wirklich so stimmen sollte).
>
> Für die f also folgende Eigenschaften:
> - nicht injektiv
> - surjektiv
> - nicht bijektiv, da keine Injektivität
> - steigend, da streng steigend für x>0
> - streng steigend für x>0
>
> > FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $ f: [mm] \IR \to {[1,\infty[}, [/mm] $ $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $
b) $ g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1], $ $ g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x $
c) $ h: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] $ $ [mm] h(x,y):=x+y,\!\ [/mm] $ wobei $ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ mit der durch
$ [mm] (x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2}, [/mm] $
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo Fred,
> > > hallo Grieche,
> > >
> > > Deinen Betrachtungen zu [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm] muß ich heftigst
> > > widersprechen !!
> > >
> > > Dass f nicht injektiv ist , siehst Du an
> > >
> > > f(-x)=f(x)
> > >
> > > Z.B. f(1)=f(-1) etc....
> > >
> > > Es ist [mm]f'(x)=2xe^{x^2}.[/mm] Daran siehst Du: f'>0 für x>0, f
> > > ist also für x>0 streng wachsend. Analog: f ist für x<0
> > > streng fallend
> > >
> > > Surjektiv: Der Zwischenwertsatz ist eine gute Idee. So was
> > > ähnliches hab ich Dir schon mal vorgemacht
> >
> > prüfe auf Surjektivität anhand des ZWS:
> >
> > Sei [mm]y_{0} \ge 1[/mm]
> > Es gilt [mm]e^{x^{2}} \to \infty[/mm] für [mm]x \to \infty.[/mm]
> > Also gibt es ein [mm]e^{v^{2}} > y_{0}[/mm]
>
> O.K.
>
>
> > Weiter gilt [mm]e^{x^{2}} \to \infty[/mm]
> > für [mm]x \to -\infty.[/mm] Also gibt es ein u<v mit [mm]e^{u^{2}} > y_{0}.[/mm]
>
>
> Das brauchst Du doch gar nicht !
>
> Du hast doch: f(0)=1 [mm]\le y_0[/mm] < [mm]f(v^2)[/mm]
>
> Jetzt zwischenwertsatz.
0<v mit $f(0)=1 [mm] \le y_{0}
Nach dem ZWS gibt es ein [mm] $x_{0} \in [/mm] [0,v]$ mit [mm] $e^{x_{0}^{2}}=y_{0}$
[/mm]
[mm] $y_{0} \ge [/mm] 1$ beliebig, also nimmt die Funktion [mm] $f(x)=e^{x^{2}}$ [/mm] jeden Wert [mm] $\ge [/mm] 1$ an.
Damit ist die Surjektivität bewiesen.
Noch eine Frage:
Wenn man bewiesen hat, dass eine Funktion streng steigend ist, darf man dann automatisch behaupten, dass sie steigend ist?
> FRED
Vielen Dank!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv,
> bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die
> folgenden Funktionen?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der
> Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion
> und die Sinusfunktion verweisen).
>
> a) [mm]f: \IR \to {[1,\infty[},[/mm] [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]g: [0,1] \to [1,1+3 \sin 1],[/mm] [mm]g(x):=1+3 \sin x[/mm]
>
> c) [mm]h: \IR \times \IR \to \IR,[/mm] [mm]h(x,y):=x+y,\!\[/mm] wobei [mm]\IR \times \IR[/mm]
> mit der durch
>
> [mm](x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},[/mm]
>
>
> definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil
> der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung
> handelt).
> Hallo Fred,
>
> > > > hallo Grieche,
> > > >
> > > > Deinen Betrachtungen zu [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm] muß ich heftigst
> > > > widersprechen !!
> > > >
> > > > Dass f nicht injektiv ist , siehst Du an
> > > >
> > > > f(-x)=f(x)
> > > >
> > > > Z.B. f(1)=f(-1) etc....
> > > >
> > > > Es ist [mm]f'(x)=2xe^{x^2}.[/mm] Daran siehst Du: f'>0 für x>0, f
> > > > ist also für x>0 streng wachsend. Analog: f ist für x<0
> > > > streng fallend
> > > >
> > > > Surjektiv: Der Zwischenwertsatz ist eine gute Idee. So was
> > > > ähnliches hab ich Dir schon mal vorgemacht
> > >
> > > prüfe auf Surjektivität anhand des ZWS:
> > >
> > > Sei [mm]y_{0} \ge 1[/mm]
> > > Es gilt [mm]e^{x^{2}} \to \infty[/mm]
> für [mm]x \to \infty.[/mm]
> > > Also gibt es ein [mm]e^{v^{2}} > y_{0}[/mm]
> >
> > O.K.
> >
> >
> > > Weiter gilt [mm]e^{x^{2}} \to \infty[/mm]
> > > für [mm]x \to -\infty.[/mm] Also gibt es ein u<v mit [mm]e^{u^{2}} > y_{0}.[/mm]
>
> >
> >
> > Das brauchst Du doch gar nicht !
> >
> > Du hast doch: f(0)=1 [mm]\le y_0[/mm] < [mm]f(v^2)[/mm]
> >
> > Jetzt zwischenwertsatz.
>
> 0<v mit [mm]f(0)=1 \le y_{0}
>
> Nach dem ZWS gibt es ein [mm]x_{0} \in [0,v][/mm] mit
> [mm]e^{x_{0}^{2}}=y_{0}[/mm]
> [mm]y_{0} \ge 1[/mm] beliebig, also nimmt die Funktion
> [mm]f(x)=e^{x^{2}}[/mm] jeden Wert [mm]\ge 1[/mm] an.
>
> Damit ist die Surjektivität bewiesen.
>
> Noch eine Frage:
> Wenn man bewiesen hat, dass eine Funktion streng steigend
> ist, darf man dann automatisch behaupten, dass sie steigend
> ist?
Na klar, wenn ich sehr besoffen bin, bin ich natürlich besoffen
FRED
>
> > FRED
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $ f: [mm] \IR \to {[1,\infty[}, [/mm] $ $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $
b) $ g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1], $ $ g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x $
c) $ h: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] $ $ [mm] h(x,y):=x+y,\!\ [/mm] $ wobei $ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ mit der durch
$ [mm] (x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2}, [/mm] $
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo,
bei der b) habe ich leider etwas Schwierigkeiten bzw. weiß nicht ob meine Begründung erlaubt ist.
Allgemein ist bekannt:
Da die Sinusfunktion [mm] $\sin\colon [/mm] [- [mm] \pi/2, \pi/2]\to[-1,1]$ [/mm] streng monoton, surjektiv und invertierbar ist, folgt, dass sie in diesen Quadranten stetig ist.
Darf ich das jetzt einfach auf meine Aufgabe übernehmen und sagen g besitzt folgende Eigenschaften:
- injektiv, da streng monoton
- bijektiv, da injektiv und surjektiv
- surjektiv, da stetig
- steigend, da streng steigend
- streng steigend
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv,
> bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die
> folgenden Funktionen?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der
> Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion
> und die Sinusfunktion verweisen).
>
> a) [mm]f: \IR \to {[1,\infty[},[/mm] [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]g: [0,1] \to [1,1+3 \sin 1],[/mm] [mm]g(x):=1+3 \sin x[/mm]
>
> c) [mm]h: \IR \times \IR \to \IR,[/mm] [mm]h(x,y):=x+y,\!\[/mm] wobei [mm]\IR \times \IR[/mm]
> mit der durch
>
> [mm](x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},[/mm]
>
> definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil
> der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung
> handelt).
> Hallo,
>
> bei der b) habe ich leider etwas Schwierigkeiten bzw. weiß
> nicht ob meine Begründung erlaubt ist.
>
> Allgemein ist bekannt:
> Da die Sinusfunktion [mm]\sin\colon [- \pi/2, \pi/2]\to[-1,1][/mm]
> streng monoton, surjektiv und invertierbar ist, folgt, dass
> sie in diesen Quadranten stetig ist.
Seit wann folgt aus monoton, surjektiv, ... die Stetigkeit ???
>
> Darf ich das jetzt einfach auf meine Aufgabe übernehmen
> und sagen g besitzt folgende Eigenschaften:
>
> - injektiv, da streng monoton
> - bijektiv, da injektiv und surjektiv
> - surjektiv, da stetig
> - steigend, da streng steigend
> - streng steigend
Da hast Du überhaupt nicht begründet !!!
Es ist doch $g'(x) = 3cos(x) >0$ für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$. Damit ist g streng wachsend und injektiv.
Weiter folgt aus der Monotonie und der Stetigkeit:
$g([0,1]) = [g(0), g(1)]$
FRED
>
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $ f: [mm] \IR \to {[1,\infty[}, [/mm] $ $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $
b) $ g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1], $ $ g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x $
c) $ h: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] $ $ [mm] h(x,y):=x+y,\!\ [/mm] $ wobei $ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ mit der durch
$ [mm] (x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2}, [/mm] $
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo Fred,
> > Allgemein ist bekannt:
> > Da die Sinusfunktion [mm]\sin\colon [- \pi/2, \pi/2]\to[-1,1][/mm]
> > streng monoton, surjektiv und invertierbar ist, folgt, dass
> > sie in diesen Quadranten stetig ist.
>
> Seit wann folgt aus monoton, surjektiv, ... die Stetigkeit
> ???
![[]](/images/popup.gif) Stetigkeit
(naja Wikipedia ist halt kein Brockhaus...)
> > Darf ich das jetzt einfach auf meine Aufgabe übernehmen
> > und sagen g besitzt folgende Eigenschaften:
> >
> > - injektiv, da streng monoton
> > - bijektiv, da injektiv und surjektiv
> > - surjektiv, da stetig
> > - steigend, da streng steigend
> > - streng steigend
>
> Da hast Du überhaupt nicht begründet !!!
>
> Es ist doch [mm]g'(x) = 3cos(x) >0[/mm] für [mm]x \in [0,1][/mm]. Damit
> ist g streng wachsend und injektiv.
>
> Weiter folgt aus der Monotonie und der Stetigkeit:
>
> [mm]g([0,1]) = [g(0), g(1)][/mm]
Deute ich das richtig, dass damit die Surjektivität gezeigt ist?
Ich habe halt noch so meine Schwierigkeiten, denn ich weiß meistens nicht, ob ich den ZWS anwenden soll, um Surjektivität zu beweisen, oder eine andere Beweisart sinnvoller ist. So wie ich aber die bisherigen Aufgaben interpretiere, macht der ZWS nur dann Sinn, wenn als Definitionsbereich kein Intervall gegeben ist, sondern nur so etwas wie [mm] $\IR$...
[/mm]
> FRED
Ich danke Dir!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv,
> bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die
> folgenden Funktionen?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der
> Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion
> und die Sinusfunktion verweisen).
>
> a) [mm]f: \IR \to {[1,\infty[},[/mm] [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]g: [0,1] \to [1,1+3 \sin 1],[/mm] [mm]g(x):=1+3 \sin x[/mm]
>
> c) [mm]h: \IR \times \IR \to \IR,[/mm] [mm]h(x,y):=x+y,\!\[/mm] wobei [mm]\IR \times \IR[/mm]
> mit der durch
>
> [mm](x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},[/mm]
>
> definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil
> der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung
> handelt).
> Hallo Fred,
>
> > > Allgemein ist bekannt:
> > > Da die Sinusfunktion [mm]\sin\colon [- \pi/2, \pi/2]\to[-1,1][/mm]
> > > streng monoton, surjektiv und invertierbar ist, folgt, dass
> > > sie in diesen Quadranten stetig ist.
> >
> > Seit wann folgt aus monoton, surjektiv, ... die Stetigkeit
> > ???
>
> Stetigkeit
>
> (naja Wikipedia ist halt kein Brockhaus...)
>
> > > Darf ich das jetzt einfach auf meine Aufgabe übernehmen
> > > und sagen g besitzt folgende Eigenschaften:
> > >
> > > - injektiv, da streng monoton
> > > - bijektiv, da injektiv und surjektiv
> > > - surjektiv, da stetig
> > > - steigend, da streng steigend
> > > - streng steigend
> >
> > Da hast Du überhaupt nicht begründet !!!
> >
> > Es ist doch [mm]g'(x) = 3cos(x) >0[/mm] für [mm]x \in [0,1][/mm]. Damit
> > ist g streng wachsend und injektiv.
> >
> > Weiter folgt aus der Monotonie und der Stetigkeit:
> >
> > [mm]g([0,1]) = [g(0), g(1)][/mm]
>
> Deute ich das richtig, dass damit die Surjektivität
> gezeigt ist?
Ja
>
> Ich habe halt noch so meine Schwierigkeiten, denn ich weiß
> meistens nicht, ob ich den ZWS anwenden soll, um
> Surjektivität zu beweisen, oder eine andere Beweisart
> sinnvoller ist. So wie ich aber die bisherigen Aufgaben
> interpretiere, macht der ZWS nur dann Sinn, wenn als
> Definitionsbereich kein Intervall gegeben ist, sondern nur
> so etwas wie [mm]\IR[/mm]...
Na ja, so kann man das nicht sagen. Es gibt dafür ken Kochrezept.
FRED
>
> > FRED
>
> Ich danke Dir!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $ f: [mm] \IR \to {[1,\infty[}, [/mm] $ $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $
b) $ g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1], $ $ g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x $
c) $ h: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] $ $ [mm] h(x,y):=x+y,\!\ [/mm] $ wobei $ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ mit der durch
$ [mm] (x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2}, [/mm] $
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo,
ich habe bei der c) mit ein paar Beispielzahlen belegt, um mir die Funktion verständlicher zu machen. Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Belegungen so richtig sind?
$(1,1) [mm] \le [/mm] (1,1) [mm] \to [/mm] 1+1+1+1=4$
$(1,1) [mm] \le [/mm] (2,2) [mm] \to [/mm] 1+2+1+2=6$
$(1,2) [mm] \le [/mm] (3,8) [mm] \to [/mm] 1+3+2+8=14$
...
$(0,2) [mm] \le [/mm] (0,2) [mm] \to [/mm] 0+0+2+2=4$
...
Vorausgesetzt ich habe die Abbildungsvorschrift richtig interpretiert und das Obige stimmt, ergeben sich für h folgende Eigenschaften:
- nicht injektiv (siehe oben)
- nicht bijektiv, da bereits nicht injektiv
- Für Surjektivität würde ich den Zwischenwertsatz anwenden, da das aber hier anscheinend mit vielen Fallunterscheidungen verbunden ist, wäre es nett, wenn Ihr mir bitte vorher sagen könntet, ob es vielleicht nicht doch einen einfacheren Weg gibt?
- Für steigend/streng steigend habe ich mir den Weg über die erste Ableitung vorgestellt:
$h'(x,y)=1+1=2$ und damit >0 für jedes x,y. Also ist h streng steigend und damit auch steigend.
Vielen Dank für Eure Mühe!
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:56 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv,
> bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die
> folgenden Funktionen?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der
> Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion
> und die Sinusfunktion verweisen).
>
> a) [mm]f: \IR \to {[1,\infty[},[/mm] [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]g: [0,1] \to [1,1+3 \sin 1],[/mm] [mm]g(x):=1+3 \sin x[/mm]
>
> c) [mm]h: \IR \times \IR \to \IR,[/mm] [mm]h(x,y):=x+y,\!\[/mm] wobei [mm]\IR \times \IR[/mm]
> mit der durch
>
> [mm](x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},[/mm]
>
> definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil
> der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung
> handelt).
> Hallo,
>
> ich habe bei der c) mit ein paar Beispielzahlen belegt, um
> mir die Funktion verständlicher zu machen. Kann mir bitte
> jemand sagen, ob meine Belegungen so richtig sind?
>
> [mm](1,1) \le (1,1) \to 1+1+1+1=4[/mm]
> [mm](1,1) \le (2,2) \to 1+2+1+2=6[/mm]
>
> [mm](1,2) \le (3,8) \to 1+3+2+8=14[/mm]
> ...
> [mm](0,2) \le (0,2) \to 0+0+2+2=4[/mm]
> ...
>
> Vorausgesetzt ich habe die Abbildungsvorschrift richtig
> interpretiert und das Obige stimmt, ergeben sich für h
> folgende Eigenschaften:
>
> - nicht injektiv (siehe oben)
> - nicht bijektiv, da bereits nicht injektiv
>
> - Für Surjektivität würde ich den Zwischenwertsatz
> anwenden,
Mann, Grieche ! Schau doch hin ! Für die Surjektivität mußt Du doch nur zeigen: zu jedem z [mm] \in \IR [/mm] gibt es x,y [mm] \in \IR [/mm] mit:
z=x+y
Das geht doch immer und zwar auf unendlich viele Arten:
$z=z+0= 0+z= [mm] \bruch{z}{2}+\bruch{z}{2}= [/mm] 2z-z= 4711z- 4710z= .....$
> da das aber hier anscheinend mit vielen
> Fallunterscheidungen verbunden ist, wäre es nett, wenn Ihr
> mir bitte vorher sagen könntet, ob es vielleicht nicht
> doch einen einfacheren Weg gibt?
>
> - Für steigend/streng steigend habe ich mir den Weg über
> die erste Ableitung vorgestellt:
>
> [mm]h'(x,y)=1+1=2[/mm]
Das ist doch Quatsch !
Hier sollst Du die Partialordnung verwenden !
Entschuldige meine rüde Art, Du weißt, es ist nicht bös gemeint
Gruß FRED
> und damit >0 für jedes x,y. Also ist h
> streng steigend und damit auch steigend.
>
>
> Vielen Dank für Eure Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $ f: [mm] \IR \to {[1,\infty[}, [/mm] $ $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $
b) $ g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1], $ $ g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x $
c) $ h: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] $ $ [mm] h(x,y):=x+y,\!\ [/mm] $ wobei $ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ mit der durch
$ [mm] (x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2}, [/mm] $
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo Fred,
> Mann, Grieche ! Schau doch hin ! Für die Surjektivität
> mußt Du doch nur zeigen: zu jedem z [mm]\in \IR[/mm] gibt es x,y
> [mm]\in \IR[/mm] mit:
>
> z=x+y
>
> Das geht doch immer und zwar auf unendlich viele Arten:
>
> [mm]z=z+0= 0+z= \bruch{z}{2}+\bruch{z}{2}= 2z-z= 4711z- 4710z= .....[/mm]
wäre mit Obigem die Surjektivität bereits bewiesen?
> > da das aber hier anscheinend mit vielen
> > Fallunterscheidungen verbunden ist, wäre es nett, wenn Ihr
> > mir bitte vorher sagen könntet, ob es vielleicht nicht
> > doch einen einfacheren Weg gibt?
> >
> > - Für steigend/streng steigend habe ich mir den Weg über
> > die erste Ableitung vorgestellt:
> >
> > [mm]h'(x,y)=1+1=2[/mm]
>
> Das ist doch Quatsch !
>
> Hier sollst Du die Partialordnung verwenden !
D.h. die erste Ableitung oder den ZWS brauche ich gar nicht zu verwenden?
> Entschuldige meine rüde Art, Du weißt, es ist nicht bös
> gemeint
Ich heiße diese Art außerordentlich gut. Zumindest in Mathe. In der Schule hat einem der Mathelehrer immer einen "ordentlichen Tritt in den Allerwertesten" verpasst, in der Uni gibt's das leider nicht mehr.
> Gruß FRED
Vielen Dank für die besonders starke Unterstützung. Ich habe sie gerade jetzt sehr nötig, denn die Musterlösung erscheint erst am Vorabend der Klausur und ohne die große Hilfe hier, würde es bei mir richtig düster aussehen...
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv,
> bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die
> folgenden Funktionen?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der
> Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion
> und die Sinusfunktion verweisen).
>
> a) [mm]f: \IR \to {[1,\infty[},[/mm] [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]g: [0,1] \to [1,1+3 \sin 1],[/mm] [mm]g(x):=1+3 \sin x[/mm]
>
> c) [mm]h: \IR \times \IR \to \IR,[/mm] [mm]h(x,y):=x+y,\!\[/mm] wobei [mm]\IR \times \IR[/mm]
> mit der durch
>
> [mm](x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},[/mm]
>
> definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil
> der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung
> handelt).
> Hallo Fred,
>
> > Mann, Grieche ! Schau doch hin ! Für die Surjektivität
> > mußt Du doch nur zeigen: zu jedem z [mm]\in \IR[/mm] gibt es x,y
> > [mm]\in \IR[/mm] mit:
> >
> > z=x+y
> >
> > Das geht doch immer und zwar auf unendlich viele Arten:
> >
> > [mm]z=z+0= 0+z= \bruch{z}{2}+\bruch{z}{2}= 2z-z= 4711z- 4710z= .....[/mm]
>
> wäre mit Obigem die Surjektivität bereits bewiesen?
So ist es
>
> > > da das aber hier anscheinend mit vielen
> > > Fallunterscheidungen verbunden ist, wäre es nett, wenn Ihr
> > > mir bitte vorher sagen könntet, ob es vielleicht nicht
> > > doch einen einfacheren Weg gibt?
> > >
> > > - Für steigend/streng steigend habe ich mir den Weg über
> > > die erste Ableitung vorgestellt:
> > >
> > > [mm]h'(x,y)=1+1=2[/mm]
> >
> > Das ist doch Quatsch !
> >
> > Hier sollst Du die Partialordnung verwenden !
>
> D.h. die erste Ableitung oder den ZWS brauche ich gar nicht
> zu verwenden?
Nein. Steigen/Fallen der Funktion h bezieht sich auf die obige Partialordnung (so interpretiere ich das jedenfalls).
Also: sind (x,y) und (u,v) Elemente des [mm] \IR^2 [/mm] mit (x,y) [mm] \le [/mm] (u,v), so bedeutet das:
x [mm] \le [/mm] u und y [mm] \le [/mm] v.
Dann folgt:
h(x,y) = x+y [mm] \le [/mm] u+v = h(u,v).
h ist also wachsend bezügl. obiger Partialordnung.
>
>
> > Entschuldige meine rüde Art, Du weißt, es ist nicht bös
> > gemeint
>
> Ich heiße diese Art außerordentlich gut. Zumindest in
> Mathe. In der Schule hat einem der Mathelehrer immer einen
> "ordentlichen Tritt in den Allerwertesten" verpasst, in der
> Uni gibt's das leider nicht mehr.
Oh doch, ... dann komm mal in meine Vorlesungen ....
Gruß FRED
>
> > Gruß FRED
>
> Vielen Dank für die besonders starke Unterstützung. Ich
> habe sie gerade jetzt sehr nötig, denn die Musterlösung
> erscheint erst am Vorabend der Klausur und ohne die große
> Hilfe hier, würde es bei mir richtig düster aussehen...
>
> Gruß
> el_grecco
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| Aufgabe | Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv, bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die folgenden Funktionen?
Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion und die Sinusfunktion verweisen).
a) $ f: [mm] \IR \to {[1,\infty[}, [/mm] $ $ [mm] f(x):=e^{x^{2}} [/mm] $
b) $ g: [0,1] [mm] \to [/mm] [1,1+3 [mm] \sin [/mm] 1], $ $ g(x):=1+3 [mm] \sin [/mm] x $
c) $ h: [mm] \IR \times \IR \to \IR, [/mm] $ $ [mm] h(x,y):=x+y,\!\ [/mm] $ wobei $ [mm] \IR \times \IR [/mm] $ mit der durch
$ [mm] (x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2}, [/mm] $
definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung handelt). |
Hallo Fred,
danke für Deine Antwort.
> > D.h. die erste Ableitung oder den ZWS brauche ich gar nicht
> > zu verwenden?
>
> Nein. Steigen/Fallen der Funktion h bezieht sich auf die
> obige Partialordnung (so interpretiere ich das
> jedenfalls).
>
> Also: sind (x,y) und (u,v) Elemente des [mm]\IR^2[/mm] mit (x,y)
> [mm]\le[/mm] (u,v), so bedeutet das:
>
> x [mm]\le[/mm] u und y [mm]\le[/mm] v.
>
> Dann folgt:
>
> h(x,y) = x+y [mm]\le[/mm] u+v = h(u,v).
>
> h ist also wachsend bezügl. obiger Partialordnung.
Dann ist h zwar steigend, aber nicht streng steigend...?
Meine Beispielbelegungen mit Zahlen in der ersten Frage, sind dann wohl falsch gewesen und ich hätte schreiben müssen:
$ (1,1) [mm] \le [/mm] (1,1) [mm] \to [/mm] 1+1=2 [mm] \le [/mm] 2= 1+1$
$ (1,1) [mm] \le [/mm] (2,2) [mm] \to [/mm] 1+1=2 [mm] \le [/mm] 4=2+2$
$ (1,2) [mm] \le [/mm] (3,8) [mm] \to [/mm] 1+2=3 [mm] \le [/mm] 11=3+8$
...
$ (0,2) [mm] \le [/mm] (0,2) [mm] \to [/mm] 0+2=2 [mm] \le [/mm] 2=0+2$
...
Injektiv ist die Funktion dennoch nicht (erkennbar am ersten und letzten Beispiel).
> > > Entschuldige meine rüde Art, Du weißt, es ist nicht bös
> > > gemeint
> >
> > Ich heiße diese Art außerordentlich gut. Zumindest in
> > Mathe. In der Schule hat einem der Mathelehrer immer einen
> > "ordentlichen Tritt in den Allerwertesten" verpasst, in der
> > Uni gibt's das leider nicht mehr.
>
> Oh doch, ... dann komm mal in meine Vorlesungen ....
Nenne mir die Uni/Vorlesungszeiten/Hörsaal und ich mache mich sofort auf die Socken! 
Schade, dass nicht jeder Hochschullehrer über das nötige berufliche Maß hinaus, so offensichtlich engagiert und hilfsbereit ist wie Du. Naja, vielleicht ist der Matheraum voll mit Hochschullehrern und sie helfen alle vollkommen incognito. Das beugt eventuell doofen Bemerkungen von dem ein oder anderen Newbie vor...
> Gruß FRED
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Fr 28.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Welche der fünf Eigenschaften injektiv, surjektiv,
> bijektiv, steigend, streng steigend gelten jeweils für die
> folgenden Funktionen?
>
> Beweisen Sie Ihre Aussagen (Sie dürfen dabei auf aus der
> Vorlesung bekannte Aussagen über die Exponentialfunktion
> und die Sinusfunktion verweisen).
>
> a) [mm]f: \IR \to {[1,\infty[},[/mm] [mm]f(x):=e^{x^{2}}[/mm]
>
> b) [mm]g: [0,1] \to [1,1+3 \sin 1],[/mm] [mm]g(x):=1+3 \sin x[/mm]
>
> c) [mm]h: \IR \times \IR \to \IR,[/mm] [mm]h(x,y):=x+y,\!\[/mm] wobei [mm]\IR \times \IR[/mm]
> mit der durch
>
> [mm](x_{1},y_{1}) \le (x_{2},y_{2}) \gdw x_{1} \le x_{2} \wedge y_{1} \le y_{2},[/mm]
>
> definierten Partialordnung versehen sei (es ist nicht Teil
> der Aufgabe, zu zeigen, dass es sich um eine Partialordnung
> handelt).
> Hallo Fred,
>
> danke für Deine Antwort.
>
> > > D.h. die erste Ableitung oder den ZWS brauche ich gar nicht
> > > zu verwenden?
> >
> > Nein. Steigen/Fallen der Funktion h bezieht sich auf die
> > obige Partialordnung (so interpretiere ich das
> > jedenfalls).
> >
> > Also: sind (x,y) und (u,v) Elemente des [mm]\IR^2[/mm] mit (x,y)
> > [mm]\le[/mm] (u,v), so bedeutet das:
> >
> > x [mm]\le[/mm] u und y [mm]\le[/mm] v.
> >
> > Dann folgt:
> >
> > h(x,y) = x+y [mm]\le[/mm] u+v = h(u,v).
> >
> > h ist also wachsend bezügl. obiger Partialordnung.
>
> Dann ist h zwar steigend, aber nicht streng steigend...?
Wenn x<u oder y<v, so ist h(x,y)<h(u,v) !!!
>
>
> Meine Beispielbelegungen mit Zahlen in der ersten Frage,
> sind dann wohl falsch gewesen und ich hätte schreiben
> müssen:
>
> [mm](1,1) \le (1,1) \to 1+1=2 \le 2= 1+1[/mm]
> [mm](1,1) \le (2,2) \to 1+1=2 \le 4=2+2[/mm]
>
> [mm](1,2) \le (3,8) \to 1+2=3 \le 11=3+8[/mm]
> ...
> [mm](0,2) \le (0,2) \to 0+2=2 \le 2=0+2[/mm]
> ...
>
> Injektiv ist die Funktion dennoch nicht (erkennbar am
> ersten und letzten Beispiel).
h(0,0) = 0 = h(1,-1)=h(otto,-otto) = .......
>
> > > > Entschuldige meine rüde Art, Du weißt, es ist nicht bös
> > > > gemeint
> > >
> > > Ich heiße diese Art außerordentlich gut. Zumindest in
> > > Mathe. In der Schule hat einem der Mathelehrer immer einen
> > > "ordentlichen Tritt in den Allerwertesten" verpasst, in der
> > > Uni gibt's das leider nicht mehr.
> >
> > Oh doch, ... dann komm mal in meine Vorlesungen ....
>
> Nenne mir die Uni/Vorlesungszeiten/Hörsaal und ich mache
> mich sofort auf die Socken!
s. PN
Gruß FRED
> Schade, dass nicht jeder Hochschullehrer über das nötige
> berufliche Maß hinaus, so offensichtlich engagiert und
> hilfsbereit ist wie Du. Naja, vielleicht ist der Matheraum
> voll mit Hochschullehrern und sie helfen alle vollkommen
> incognito. Das beugt eventuell doofen Bemerkungen von dem
> ein oder anderen Newbie vor...
>
> > Gruß FRED
>
> Gruß
> el_grecco
>
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