Eigenschaften einer spd-Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Für eine spd-Matrix (=symmetrische, positiv definite Matrix) gilt, dass das absolut größte Element notwendig auf der Hauptdiagonalen liegt.
Wie könnte ich das beweisen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Fixpunkt!
Betrachte man:
$0 < [mm] \langle e_i [/mm] - [mm] e_j, A(e_i [/mm] - [mm] e_j) \rangle$
[/mm]
(warum gilt das?),
rechne die rechte Seite aus, nutze die Symmetrie aus und schätze daraus dann
zuerst
[mm] $\max\{a_{ii},a_{jj}\}$ [/mm]
für beliebige [mm] $i,j=1,\ldots,n$
[/mm]
und daraus dann
[mm] $\max\limits_{i=1,2,\ldots,n} a_{ii}$
[/mm]
ab.
Melde dich mal mit einem Lösungsvorschlag oder weiteren Fragen... 
Liebe Grüße
Julius
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Sorry, aber ich hab nun doch noch eine kleine Frage (wahrscheinlich steh' ich auf dem Schlauch)...also mittlerweile hab ich es zu folgender Ungleichung gebracht:
max{ [mm] a_{ii},a_{jj} [/mm] } > [mm] a_{ij}
[/mm]
Schaut schon ganz gut aus, aber irgendwie hab ich Probleme mit dem ">" :-(
Vielen Dank für Eure Tipps!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Do 02.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> mittlerweile hab ich es zu folgender Ungleichung
> gebracht:
>
> [mm] $max\{ a_{ii},a_{jj}\} >a_{ij}$
[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jetzt sollst du ja zeigen, dass das Maximum auf der Diagonalen angenommen wird. Nehmen wir mal an dies wäre nicht der Fall. Da gäbe es [mm] $i_0,j_0=1,\ldots,n$ [/mm] mit [mm] $i_0 \ne j_0$, [/mm] so dass
(1) [mm] $a_{i_0,j_0} \ge a_{ij}$
[/mm]
für alle [mm] $i,j=1,\ldots,n$.
[/mm]
Andererseits gilt aber nach obigen
(2) [mm] $\max\{a_{i_0,i_0},a_{j_0,j_0}\} [/mm] > [mm] a_{i_0,j_0}$.
[/mm]
Nun stellen aber (1) und (2) einen Widerspruch dar.
Viele Grüße
Julius
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Danke für die Antwort, klingt alles ziemlich logisch...
Doch noch eine kleine Ergänzung:
Kann ich damit auch zeigen, dass die Behauptung auch für die Beträge aller Matrixelemente gilt?
Gruß Fixpunkt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Fixpunkt!
> Kann ich damit auch zeigen, dass die Behauptung auch für
> die Beträge aller Matrixelemente gilt?
Ja, klar, das ist ja jetzt nicht mehr schwierig.
Zunächst zeigst du mit
$0 < [mm] \langle [/mm] A [mm] e_i, e_i \rangle [/mm] = [mm] a_{ii}$,
[/mm]
dass die Diagonaleinträge alle positiv sind.
Im Falle [mm] $a_{ij}>0$ [/mm] ist somit aus dem bereits Gezeigten klar, dass
[mm] $\max\limits_{i=1,2,\ldots,n} |a_{ii}| [/mm] = [mm] \max\limits_{i=1,2,\ldots,n} a_{ii} \ge a_{ij} [/mm] = [mm] |a_{ij}|$
[/mm]
gilt.
Jetzt sei [mm] $a_{ij}<0$. [/mm] Dann zeigst du aus
$0 < [mm] \langle A(e_i+e_j), e_i+e_j \rangle [/mm] = [mm] a_{ii} [/mm] + [mm] a_{jj} [/mm] + [mm] 2a_{ij}$
[/mm]
die Beziehung
[mm] $|a_{ii}| [/mm] + [mm] |a_{jj}| [/mm] = [mm] a_{ii} [/mm] + [mm] a_{jj} [/mm] > - [mm] 2a_{ij} [/mm] = [mm] 2|a_{ij}|$,
[/mm]
und daraus dann wiederum die Behauptung:
$ [mm] \max\limits_{i=1,2,\ldots,n} |a_{ii}| \ge |a_{ij}|$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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