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| Aufgabe | Sei $f:M [mm] \to [/mm] N$ eine Abbildung. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen:
(a) [mm] $\forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] N : [mm] f(f^{-1}(A))=A$.
[/mm]
(b) Die Abbildung f ist surjektiv. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, was ich mit dieser Aufgabe anfangen soll.
Surjektivität ist ja definiert durch: [mm] $\text{f surjektiv} \leftrightarrow \exists g:Y \rightarrow [/mm] X [mm] \text{ mit } [/mm] f [mm] \circ [/mm] g: Id [mm] :Y\rightarrow [/mm] Y$
Angenommen, M={1,2,3,4} und N={a,b,c} und f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=c, dann ist die Funktion surjektiv. Also wäre dann [mm] $f^{-1}(c) [/mm] = [mm] \{3,4\}$ [/mm] und [mm] $f(\{3,4\})=c$, [/mm] was ja Aussage (a) entspricht.
Wie zeige ich das denn für alle $A [mm] \subset [/mm] N$ und wie zeige ich formal, dass a und b äquivalent sind?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:22 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal (a) [mm] \Rightarrow [/mm] (b) vor:
Sei y [mm] \in [/mm] N. Setze [mm] A:=\{y\} [/mm] und [mm] B:=f^{-1}(A). [/mm] Dann ist B eine Teilmenge von M
Nach Vor. ist [mm] f(B)=A=\{y\}. [/mm] Damit gibt es ein x [mm] \in [/mm] B mit f(x)=y.
Da y [mm] \in [/mm] beliebig war, ist die Surjektivität von f gezeigt.
Noch ein Tipp zu (b) [mm] \Rightarrow [/mm] (a)
es gilt immer: $ [mm] \forall [/mm] A [mm] \subset [/mm] N : [mm] f(f^{-1}(A)) \subseteq [/mm] A $.
FRED
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Aha. Danke, die Hinrichtung habe ich jetzt verstanden.
Für [mm] $(b)\rightarrow(a)$ [/mm] bin ich jetzt nach viel zu langem grübeln auf diesen Lösungsansatz gekommen:
Sei $y [mm] \in [/mm] N$, $B := [mm] f^{-1}(A)$ [/mm] und $y [mm] \in f(f^{-1}(A)) [/mm] = f(B) = [mm] \{y \in N \:|\: y=f(x) \text{ mit } x \in B \}$.
[/mm]
Dann existiert nach Vor. für alle $y [mm] \in [/mm] A$ ein $x [mm] \in [/mm] B$ für das gilt $y = f(x)$.
Da $x [mm] \in [/mm] B = [mm] f^{-1}(A) [/mm] = [mm] \{ x \in M | f(x) \in A \}$, [/mm] gilt $f(x) [mm] \in [/mm] A$, und da $y = f(x)$ ist also $y [mm] \in [/mm] A$.
Daraus und aus der Vor. folgt dann [mm] $\forall [/mm] y [mm] \in f(f^{-1}(A)): [/mm] y [mm] \in [/mm] A$ und somit dass (für alle $A [mm] \subset [/mm] N$ (?)) gilt [mm] $f(f^{-1}(A)) [/mm] = A$.
Stimmt das so oder ist das unnötig kompliziert?
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