Eigenschaften von DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Mi 31.03.2010 | | Autor: | phil974 |
| Aufgabe | 0 = [mm] xu_{xx} [/mm] + [mm] 2xu_{xy} [/mm] + yu{yy}
In welchem Bereich ist die oben genannte DGL elliptisch, parabolisch, hyperbolisch ?
Ebenfalls interessant wäre für ich zu wissen, wann sie quasilinear, halblinear, linear ist ?! |
Irgendwie steige ich nicht richtig durch, auch wenn ich die definitionen vorliegen habe:
[mm] a(\vec{p})u_{xx} [/mm] + [mm] 2b(\vec{p})u_{xy} [/mm] + [mm] c(\vec{p})u_{yy} [/mm] + [mm] F(x,y,u,u_{x},u_{y}) [/mm] = 0
elliptisch, wenn ac - [mm] b^{2} [/mm] > 0
hyperbolisch, wenn ac - [mm] b^{2} [/mm] < 0
parabolisch, wenn ac - [mm] b^{2} [/mm] = 0
quasilinear, wenn a oder b oder c tatsächlich von u oder [mm] u_{x} [/mm] oder [mm] u_{y} [/mm] abhängen
halblinear, wenn a oder b oder c nur von x oder y abhängen
linear, wenn sie halblinear ist und [mm] F(x,y,u,u_{x},u_{y}) [/mm] = f(x,y) + g(x,y) * u + h(x,y) * [mm] u_{x} [/mm] + r(x,y)+ [mm] u_{y}
[/mm]
Soweit konnte ich mir die Informationen aus den Büchern ziehen, aber in der praktischen Anwendung komme ich irgendwie nicht vorwärts.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 Mi 31.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deinem Fall a=x c=y b=2x
also dann elliptisch, wenn
[mm] xy-4x^2>0
[/mm]
also x*(y-4x)>0
das ist der Fall wenn x>0 Und y-4x>0 also y>4x
oder wenn x<0 und y-4x>0
die Teile der Ebene skizzierst du, und hast wo es ell. ist.
entsprechend mit den anderen Fällen.
(es müssen nicht alle vorkommen)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 03.04.2010 | | Autor: | phil974 |
Okay, der erste Teil mit elliptisch, etc ist mir klar. Bei dem zweiten Teil habe ich aber die Definiton von "linear" noch nicht ganz durchschaut.
Allgemeines vorgehen ist ja immer, dass ich a, b, c und F "rausschreibe".
Stelle ich fest, dass......
1. Fall) a = [mm] 4u_{x} [/mm] b=2 c= [mm] y^{2}x^{3}u_{y} [/mm] als Zwischenlösung steht [mm] \rightarrow [/mm] quasilinear
2. Fall) a= 5x , b=3 , [mm] c=xy^{2} [/mm] F=0 [mm] \rightarrow [/mm] halblinear, da nur abhängig von x und y. Es taucht weder u, noch irgendeine Art von Ableitung auf.
3.Fall) Wenn sie linear ist, muss sie halblinear sein. Also darf keine Abhängigkeit zwischen a,b,c und u, [mm] u_{y}, u_{x} [/mm] bestehen. Wie aber soll ich dann die Bedingung $ [mm] F(x,y,u,u_{x},u_{y}) [/mm] $ = ....... verstehen
"Oh ein Osterei....was da wohl drinne ist....eine DGL..."
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Hallo phil974,
> Okay, der erste Teil mit elliptisch, etc ist mir klar. Bei
> dem zweiten Teil habe ich aber die Definiton von "linear"
> noch nicht ganz durchschaut.
>
> Allgemeines vorgehen ist ja immer, dass ich a, b, c und F
> "rausschreibe".
>
> Stelle ich fest, dass......
>
> 1. Fall) a = [mm]4u_{x}[/mm] b=2 c= [mm]y^{2}x^{3}u_{y}[/mm] als
> Zwischenlösung steht [mm]\rightarrow[/mm] quasilinear
>
> 2. Fall) a= 5x , b=3 , [mm]c=xy^{2}[/mm] F=0 [mm]\rightarrow[/mm]
> halblinear, da nur abhängig von x und y. Es taucht weder
> u, noch irgendeine Art von Ableitung auf.
>
> 3.Fall) Wenn sie linear ist, muss sie halblinear sein.
> Also darf keine Abhängigkeit zwischen a,b,c und u, [mm]u_{y}, u_{x}[/mm]
> bestehen. Wie aber soll ich dann die Bedingung
> [mm]F(x,y,u,u_{x},u_{y})[/mm] = ....... verstehen
>
Schau mal hier ![[]](/images/popup.gif) Einteilung partieller Differntialgleichungen
>
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> "Oh ein Osterei....was da wohl drinne ist....eine DGL..."
Gruss
MathePower
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