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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Do 22.07.2010 | | Autor: | Omiklan |
| Aufgabe | Es seien A aus M(nxn, [mm] \IQ) [/mm] eine nxn-Matrix mit der Eigenschaft:
Es gibt ein m aus N mit [mm] A^{m} [/mm] = 2A + 2E, wobei E die Einheitsmatrix ist.
Zeigen Sie: m <= n |
Ich finde überhaupt keinen Ansatz. Suche nach Tipps und Eigenschaften, die mir weiterhelfen.
Sollte keine Lösung sein, sondern Denkanstöße und Richtung (Bsp. Satz xy, wird dir weiterhelfen, folgende Eigenschaft (Rechenregel, sollte dir helfen)
Speziell, warum den Körper [mm] \IQ. [/mm] Meiner Erfahrung nach sollte ich dessen Eigenschaften in die Lösung miteinbringen.
Über Vorschläge wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Fr 23.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
Wollte nur anmerken, das nach Cayley Hamilton eine Folgerung ist:
Die Potenzen von A spannen einen Untervektorraum auf, der höchstens die Dimension n hat.
Damit wäre auf jeden Fall m<=n+1
Bin mir jetzt aber nicht sicher, ob sogar schon m<=n deshalb gilt.
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> Es seien A aus M(nxn, [mm]\IQ)[/mm] eine nxn-Matrix mit der
> Eigenschaft:
> Es gibt ein m aus N mit [mm]A^{m}[/mm] = 2A + 2E, wobei E die
> Einheitsmatrix ist.
>
> Zeigen Sie: m <= n
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, man kann es so machen:
Wir betrachten das Polynom [mm] p\in \IZ[x] [/mm] mit [mm] p(x):=x^m-2x-2.
[/mm]
Es ist p(A)=0,
also teilt das Minimalpolynom [mm] \mu_A [/mm] von A das Polynom p.
p ist irreduzibel über [mm] \IQ, [/mm]
also ist p das Minimalpolynom,
woraus folgt, daß der Grad von p [mm] \le [/mm] n ist.
Gruß v. Angela
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