Eigenschaften von Stammfkt. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Alle Funktionen in dieser Frage sollen [mm]\IR \to \IR[/mm] sein. Wahr oder falsch?
1. Jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion.
2. Jede Stammfunktion ist in jedem Punkt differenzierbar.
3. Jedes unbestimmte Integral ist eine Stammfunktion des Integranden.
4. Jedes unbestimmte Integral ist differenzierbar.
5. Jedes unbestimmte Integral ist stetig. |
Hallo, kann bitte jemand meine Denkansätze/Antworten kurz prüfen und ggf. kommentieren? Danke!
1. Ist Wahr - jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion die aber nicht unbedingt elementar angegeben werden kann.
2. Hier bin ich mir unsicher. Ich denke schon, zumindest in dem definierten Bereich von F' sollte sie doch differenzierbar sein oder?
3. Wahr.
4. Sollte stimmen - wenn 2. stimmt. Das unbestimmte Integral ist doch äquivalent zur Stammfunktion, und sollte daher auch diffbar sein oder?
5. Ist wahr - es handelt sich doch anschaulich gesprochen um den Flächeninhalt und der Ändert sich für intefisimal kleine Änderungen der Funktion die ihn begränzt auch nur intefisimal klein.
Bin mir hier sehr unsicher und kann mir nicht vorstellen, dass alles hier wahr sein sollte...kann mir bitte jemensch weiterhelfen?
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mi 24.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Alle Funktionen in dieser Frage sollen [mm]\IR \to \IR[/mm] sein.
> Wahr oder falsch?
>
> 1. Jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion.
> 2. Jede Stammfunktion ist in jedem Punkt differenzierbar.
> 3. Jedes unbestimmte Integral ist eine Stammfunktion des
> Integranden.
> 4. Jedes unbestimmte Integral ist differenzierbar.
> 5. Jedes unbestimmte Integral ist stetig.
> Hallo, kann bitte jemand meine Denkansätze/Antworten kurz
> prüfen und ggf. kommentieren? Danke!
>
> 1. Ist Wahr - jede stetige Funktion hat eine Stammfunktion
> die aber nicht unbedingt elementar angegeben werden kann.
O.K.
>
> 2. Hier bin ich mir unsicher. Ich denke schon, zumindest in
> dem definierten Bereich von F' sollte sie doch
> differenzierbar sein oder?
Die Def. des Begriffs "Stammfunktion" beinhaltet doch schon die Differenzierbarkeit einer solchen !!
>
> 3. Wahr.
Ja
>
> 4. Sollte stimmen - wenn 2. stimmt. Das unbestimmte
> Integral ist doch äquivalent zur Stammfunktion, und sollte
> daher auch diffbar sein oder?
Ja
>
> 5. Ist wahr - es handelt sich doch anschaulich gesprochen
> um den Flächeninhalt und der Ändert sich für intefisimal
> kleine Änderungen der Funktion die ihn begränzt auch nur
> intefisimal klein.
Das ist doch keine präzise Begründung. Ein unbestimmtes Integral ist differenzierbar und aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit
>
> Bin mir hier sehr unsicher und kann mir nicht vorstellen,
> dass alles hier wahr sein sollte
Ist aber so ..
FRED
...kann mir bitte jemensch
> weiterhelfen?
>
> Danke!
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:31 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
4. stimmt (für nicht notwendig stetige Funktionen) nicht! Damit ist auch 3. und Freds Begründung von 5. falsch.
Gegenbeispiel:
[mm] $f:\IR\to\IR, x\mapsto\begin{cases} -1, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}$
[/mm]
Es gilt [mm] $\integral_{0}^{y}{f(x) dx}=|y|$ [/mm] und somit ist dieses unbestimmte Integral in 0 nicht differenzierbar.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler | | Datum: | 09:03 Do 25.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Meine obige Antwort ist nicht fehlerhaft.
@Tobias:
Du scheinst die Definition des Begriffs "unbestimmtes Integral " nicht zu kennen:
Ist F auf einem Intervall I eine Stammfunktion von f , gilt also F'(x) =f(x) für alle x in I , so sagen wir auch F sei ein unbestimmtes Integral von f auf I.
(siehe H. Heuser. Lehrbuch der Analysis Teil 1, § 76)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 09:23 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Bei dieser Definition hast du natürlich recht!
Forster schreibt dagegen (Analysis 1, Beginn von §19):
"Während wir bisher Funktionen immer über ein festes abgeschlossenes Intervall integriert haben, betrachten wir jetzt die eine Integrationsgrenze als variabel und erhalten so eine neue Funktion, das 'unbestimmte Integral.'"
(Mir persönlich gefällt die Forster-Variante besser, weil ja sonst der Begriff unbestimmtes Integral gar nicht so gut zum Begriff Integral passt. Deine Definition scheint aber verbreiteter zu sein, wie eine Google-Recherche ergab. Welche Definition der/die Fragesteller(in) kennt, weiß ich natürlich nicht.)
|
|
|
| |
|
> Bei dieser Definition hast du natürlich recht!
>
> Forster schreibt dagegen (Analysis 1, Beginn von §19):
> "Während wir bisher Funktionen immer über ein festes
> abgeschlossenes Intervall integriert haben, betrachten wir
> jetzt die eine Integrationsgrenze als variabel und erhalten
> so eine neue Funktion, das 'unbestimmte Integral.'"
Hallo,
aber man muß hier auch weiterlesen:
Forster definiert das unbestimmte Integral [mm] F(x):=\integral_{a}^{x}f(x)dx [/mm] für eine stetige Funktion f,
zeigt, daß F diffbar ist mit F'=f,
definiert anschließend, daß Funktionen F, für die F'=f ist, Stammfunktion von f heißen,
und teilt daraufhin in einer Bem. mit: "Satz 1 bedeutet, daß das unbestimmte Integral eine Stammfunktion des Integranden ist."
> (Mir persönlich gefällt die Forster-Variante besser,
Der Unterschied der Varianten ist dieser:
beim Forster ist das unbestimmte Integral eine Stammfunktion,
beim Heuser eine Stammfunktion ein unbestimmtes Integral.
Bei beiden ist das unbestimmte Integral differenzierbar.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 09:52 Do 25.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Bei dieser Definition hast du natürlich recht!
> >
> > Forster schreibt dagegen (Analysis 1, Beginn von §19):
> > "Während wir bisher Funktionen immer über ein festes
> > abgeschlossenes Intervall integriert haben, betrachten wir
> > jetzt die eine Integrationsgrenze als variabel und erhalten
> > so eine neue Funktion, das 'unbestimmte Integral.'"
>
>
> Hallo,
>
> aber man muß hier auch weiterlesen:
>
> Forster definiert das unbestimmte Integral
> [mm]F(x):=\integral_{a}^{x}f(x)dx[/mm] für eine stetige Funktion
> f,
>
> zeigt, daß F diffbar ist mit F'=f,
>
> definiert anschließend, daß Funktionen F, für die
> F'=f ist, Stammfunktion von f heißen,
>
> und teilt daraufhin in einer Bem. mit: "Satz 1 bedeutet,
> daß das unbestimmte Integral eine Stammfunktion des
> Integranden ist."
>
> > (Mir persönlich gefällt die Forster-Variante besser,
>
> Der Unterschied der Varianten ist dieser:
> beim Forster ist das unbestimmte Integral eine
> Stammfunktion,
> beim Heuser eine Stammfunktion ein unbestimmtes Integral.
>
> Bei beiden ist das unbestimmte Integral differenzierbar.
>
> Gruß v. Angela
>
>
Hallo Angela,
herzlichen Dank für dir Recherche
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 10:16 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
euch beiden Danke für eure Hinweise!
> aber man muß hier auch weiterlesen:
Das hatte ich sogar getan. Ich hielt es nur bei meiner ursprünglichen Interpretation von Forster (s.u.) für überflüssig, das zu erwähnen.
> Forster definiert das unbestimmte Integral
> [mm]F(x):=\integral_{a}^{x}f(x)dx[/mm] für eine stetige Funktion
> f, zeigt, daß F diffbar ist mit F'=f,
Erst schreibt er das in meinem vorherigen Post genanntes Zitat, dann:
"Satz 1. Sei [mm] $f:I\to\IR$ [/mm] eine stetige Funktion und [mm] $a\in [/mm] I$. Für [mm] $x\in [/mm] I$ sei [mm] $F(x):=\integral_a^xf(t)dt$. [/mm] Dann ist die Funktion [mm] $F:I\to\IR$ [/mm] differenzierbar und es gilt $F'=f$."
Er definiert leider nicht explizit, was er mit unbestimmtem Integral meint.
> definiert anschließend, daß Funktionen F, für die
> F'=f ist, Stammfunktion von f heißen,
>
> und teilt daraufhin in einer Bem. mit: "Satz 1 bedeutet,
> daß das unbestimmte Integral eine Stammfunktion des
> Integranden ist."
Ich HATTE ihn so verstanden: Beim Begriff des unbestimmten Integrals beschränkt er sich nicht nur auf stetige Funktionen. In Satz 1 zeigt er etwas über das unbestimmte Integral im Falle stetiger Funktionen. Mit "Satz 1 bedeutet, daß das unbestimmte Integral eine Stammfunktion des
Integranden ist." meint er dann, dass in der Situation von Satz 1 (also im Falle einer stetigen Funktion) das unbestimmte Integral eine Stammfunktion des Integranten ist.
> > (Mir persönlich gefällt die Forster-Variante besser,
>
> Der Unterschied der Varianten ist dieser:
> beim Forster ist das unbestimmte Integral eine
> Stammfunktion,
> beim Heuser eine Stammfunktion ein unbestimmtes Integral.
>
> Bei beiden ist das unbestimmte Integral differenzierbar.
Wenn man sich auf stetige Funktionen beschränkt, ja.
Da aber offensichtlich jeder den Begriff unbestimmtes Integral so versteht, dass jedes unbestimmte Integral eine Stammfunktion ist, wird Forster tatsächlich den Begriff unbestimmtes Integral wohl nur auf stetige Funktionen bezogen haben wollen. Also dürfte deine Interpretation von Forster zutreffen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 10:46 Do 25.02.2010 | | Autor: | angela.h.b. |
> Da aber offensichtlich jeder den Begriff unbestimmtes
> Integral so versteht, dass jedes unbestimmte Integral eine
> Stammfunktion ist, wird Forster tatsächlich den Begriff
> unbestimmtes Integral wohl nur auf stetige Funktionen
> bezogen haben wollen. Also dürfte deine Interpretation von
> Forster zutreffen.
Hallo,
dessen ungeachtet kannst Du natürlich zu jeder integrierbaren Funktion F eine Funktion I definieren durch
[mm] I(x):=\integral_{a}^{x}f(t)dt, [/mm] und das war es ja, was Du im Auge hattest.
Solche Funktionen heißen Integralfunktion, vom unbestimmten Integral spricht man hier nicht.
Und Integralfunktionen sind i.a. nicht differenzierbar, was Du ja mit Deinem Beispiel treffend gezeigt hast.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig | | Datum: | 16:47 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Danke, da habe ich etwas dazugelernt!
|
|
|
| |
|
Sorry, nur kurz - heißt das, dass Punkt 5 trotzdem richtig ist und nur die Begründung nicht passt?
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Sorry, nur kurz - heißt das, dass Punkt 5 trotzdem richtig
> ist und nur die Begründung nicht passt?
>
> Danke.
In der Tat ist das der Fall.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Do 25.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Meine obige Antwort ist nicht fehlerhaft.
@Tobias:
Du scheinst die Definition des Begriffs "unbestimmtes Integral " nicht zu kennen:
Ist F auf einem Intervall I eine Stammfunktion von f , gilt also F'(x) =f(x) für alle x in I , so sagen wir auch F sei ein unbestimmtes Integral von f auf I.
(siehe H. Heuser. Lehrbuch der Analysis Teil 1, § 76)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Also, um das nochmal klarzustellen: Ich bin auf eine meiner Meinung nach missverständliche Erklärung des Begriffes uneigentliches Integral im Forster hereingefallen.
Fred hat Recht und 3., 4. und 5. treffen zu! Sorry!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Do 25.02.2010 | | Autor: | abakus |
| Aufgabe | | Können auch nicht stetige Funktionen Stammfunktionen haben? |
Hallo,
ich habe diese Diskussion überflogen und bemerkt, dass dabei immer wieder die Stetigkeit ins Feld geführt wurde.
Was, wenn nicht?
Nehmen wir ein konkretes Beispiel.
Die Funktion f(x)=sgn(x) ist nicht stetig. Mit Ausnahme der Stelle x=0 ist diese Funktion aber die Ableitung von y=|x|.
Wie würde hier eine theoretisch "saubere" Betrachtung dieses Falles aussehen?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Abakus,
> Können auch nicht stetige Funktionen Stammfunktionen
> haben?
Ja. Wir müssen "nur" eine differenzierbare, aber nicht stetig differenzierbare Funktion finden (dann leistet ihre Ableitung das Gewünschte).
Ein Beispiel für eine solche Funktion ist [mm] $F:\IR\to\IR, f(x)=\begin{cases} x^2\sin \bruch1x, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}$. [/mm] An der Stelle $x=0$ lässt sich die Differenzierbarkeit mit deren Definition nachprüfen. An den Stellen [mm] $x\not=0$ [/mm] kann man bequem mit den üblichen Rechenregeln ableiten. Man erhält für [mm] $x\not=0$ [/mm] die Ableitung [mm] $F'(x)=2x\sin\bruch1x-\cos\bruch1x$. [/mm] Sie besitzt keinen Limes für [mm] $x\to0$ [/mm] und daher ist F nicht stetig differenzierbar in x=0.
> ich habe diese Diskussion überflogen und bemerkt, dass
> dabei immer wieder die Stetigkeit ins Feld geführt wurde.
> Was, wenn nicht?
> Nehmen wir ein konkretes Beispiel.
> Die Funktion f(x)=sgn(x) ist nicht stetig. Mit Ausnahme
> der Stelle x=0 ist diese Funktion aber die Ableitung von
> y=|x|.
> Wie würde hier eine theoretisch "saubere" Betrachtung
> dieses Falles aussehen?
Mir ist nicht ganz klar, was dich genau interessiert. Was mir zu dieser Funktion einfällt: Sie ist ein Beispiel für eine über jedem kompakten Intervall Riemann-integrierbare Funktion, die keine Stammfunktion besitzt.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Do 25.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo Abakus,
>
> > Können auch nicht stetige Funktionen Stammfunktionen
> > haben?
> Ja. Wir müssen "nur" eine differenzierbare, aber nicht
> stetig differenzierbare Funktion finden (dann leistet ihre
> Ableitung das Gewünschte).
>
> Ein Beispiel für eine solche Funktion ist [mm]F:\IR\to\IR, f(x)=\begin{cases} x^2\sin x, & \mbox{für } x\not=0 \\ 0, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm].
> An der Stelle [mm]x=0[/mm] lässt sich die Differenzierbarkeit mit
> deren Definition nachprüfen. An den Stellen [mm]x\not=0[/mm] kann
> man bequem mit den üblichen Rechenregeln ableiten. Man
> erhält für [mm]x\not=0[/mm] die Ableitung
> [mm]F'(x)=2x\sin\bruch1x-\cos\bruch1x[/mm]. Sie besitzt keinen Limes
> für [mm]x\to0[/mm] und daher ist F nicht stetig differenzierbar in
> x=0.
>
> > ich habe diese Diskussion überflogen und bemerkt, dass
> > dabei immer wieder die Stetigkeit ins Feld geführt wurde.
> > Was, wenn nicht?
> > Nehmen wir ein konkretes Beispiel.
> > Die Funktion f(x)=sgn(x) ist nicht stetig. Mit Ausnahme
> > der Stelle x=0 ist diese Funktion aber die Ableitung von
> > y=|x|.
> > Wie würde hier eine theoretisch "saubere" Betrachtung
> > dieses Falles aussehen?
> Mir ist nicht ganz klar, was dich genau interessiert. Was
> mir zu dieser Funktion einfällt: Sie ist ein Beispiel für
> eine über jedem kompakten Intervall Riemann-integrierbare
> Funktion, die keine Stammfunktion besitzt.
>
> Viele Grüße
> Tobias
Hallo Tobias,
das hat mir schon sehr geholfen. Danke!
Gruß Abakus
|
|
|
|
