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| Aufgabe | Gib eine Menge V, wobei Addition und Skalarmultiplikation so definiert sind, dass (VS 1) bis (VS 4) sowie (VS 6) bis (VS 8) zutreffen, aber nicht (VS 5).
(VS 1) Für alle x, y in V gilt x + y = y + x
(VS 2) For alle x, y, z in V gilt (x + y) + z = x + (y + z)
(VS 3) Es gibt ein Element 0 in V, sodass gilt x + 0 = x für jedes x in V
(VS 4) Für jedes Element x in V gibt es auch ein Element y in V, sodass gilt x + y = 0
(VS 5) Für jedes Element x in V gilt 1x = x
(VS 6) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und jedes Element x in V gilt (ab)x = a(bx)
(VS 7) Für jedes Element a im Feld F und jedes Paar von Elementen x, y in V gilt a(x + y) = ax + ay
(VS 8) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und jedes Element x in V gilt (a + b)x = ax + bx |
Hallo allesamt,
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheboard.de/thread.php?threadid=545230 Ich folge dem Vorschlag des letzten Posts, wobei ich Addition definiere (definiert lasse) als x + y = x + y und Skalarmultiplikation a [mm] \times [/mm] x = (2a)*x.
Hieraus folgt, dass (VS 1) bis einschließlich (VS 4) sich nicht verändern, weil Addition auf "herkömmliche" Weise definiert ist. So komisch es sich anhört, bin ich mir jetzt aber keineswegs sicher, ob ich die restlichen VS'sen richtig ableite und darum würde ich euch bitten, hier mal drüber zu schauen. Ich bin noch sehr unsicher in der mathematischen Beweisführung, darum bin ich für jede Hilfe und ausführliche Erklärung dankbar.
Hier mal meine Vorschläge zu (VS 5) bis (VS 8).
(VS 5) 1 [mm] \times [/mm] x = 2x
(VS 6) (ab) [mm] \times [/mm] x = 2(ab)x = 2abx = 2a(bx) = a [mm] \times [/mm] (bx)
(VS 7) a [mm] \times [/mm] (x + y) = 2a(x + y) = 2ax + 2ay
(VS 8) (a + b) [mm] \times [/mm] y = 2(a + b)x = (2a + 2b)x = 2ax + 2bx
Rein intuitiv würde ich sagen, dass hier irgendwas nicht stimmt, aber ich kann nicht wirklich sagen, was. Ich bitte um Nachsicht für dumme Fehler oder ähnliche Dinge :)
Vielen Dank im Voraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gib eine Menge V, wobei Addition und Skalarmultiplikation
> so definiert sind, dass (VS 1) bis (VS 4) sowie (VS 6) bis
> (VS 8) zutreffen, aber nicht (VS 5).
>
> (VS 1) Für alle x, y in V gilt x + y = y + x
> (VS 2) For alle x, y, z in V gilt (x + y) + z = x + (y +
> z)
> (VS 3) Es gibt ein Element 0 in V, sodass gilt x + 0 = x
> für jedes x in V
> (VS 4) Für jedes Element x in V gibt es auch ein Element
> y in V, sodass gilt x + y = 0
> (VS 5) Für jedes Element x in V gilt 1x = x
> (VS 6) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und
> jedes Element x in V gilt (ab)x = a(bx)
> (VS 7) Für jedes Element a im Feld F und jedes Paar von
> Elementen x, y in V gilt a(x + y) = ax + ay
> (VS 8) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und
> jedes Element x in V gilt (a + b)x = ax + bx
> Hallo allesamt,
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> www.matheboard.de/thread.php?threadid=545230 Ich folge dem
> Vorschlag des letzten Posts, wobei ich Addition definiere
> (definiert lasse) als x + y = x + y und
> Skalarmultiplikation a [mm]\times[/mm] x = (2a)*x.
naja, Du sagst eigentlich: Vorgegeben sei ein Vektorraum
[mm] $(V,+_V,\cdot_V)$ [/mm] über einem Körper [mm] $K\,$
[/mm]
und jetzt definierst Du einen neuen Vektorraum
[mm] $(W,+_W,\cdot_W)$
[/mm]
durch
[mm] $W:=V\,,$ [/mm] $+_W:=+:=+_V$ und [mm] $\cdot_W:=\cdot:=2\cdot_V\,,$
[/mm]
wobei $+_V [mm] \colon [/mm] V [mm] \times [/mm] V [mm] \ni [/mm] (v,w) [mm] \mapsto [/mm] v+_Vw:=+_V(v,w)$ definiert war.
Zudem ist [mm] $2=1+1\,$ [/mm] mit [mm] $1=1_K \in [/mm] K$ das multipl. neutrale Element aus [mm] $K\,.$
[/mm]
Das wichtigste hier ist eigentlich, dass Du vor allem siehst, dass da etwas
definiert wird. Denn bei Dir ist die Gleichung [mm] $x+y=x+y\,$ [/mm] sehr nichtssagend,
sie sollte eigentlich bedeuten:
$x +_W y:=x+_V y$ für alle $x,y [mm] \in V\,.$
[/mm]
Und ja, auch meine Notation oben ist nicht schön, ich müßte besser etwa
[mm] $\odot_W$ [/mm] anstatt [mm] $\cdot_W$ [/mm] (analoges für [mm] $+\,$) [/mm] schreiben, damit man nicht sagen kann:
Wegen [mm] $W=V\,$ [/mm] ist doch sowieso nur [mm] $\cdot_W=\cdot_V\,$ [/mm] möglich...
Aber bevor wir uns hier im Notationswirrwarr ganz verlieren könnten:
Mach' es Dir doch einfacher und werde konkreter. Wir bleiben gar nicht so
allgemein, sondern wir betrachten den Vektorraum
[mm] $(\IR^2,+,\cdot)$ [/mm] über [mm] $\IR$
[/mm]
mit üblicher skalaren Multiplikation und komponentenweiser Addition. (Man
könnte auch den Körper [mm] $(\IR,+,\cdot)$ [/mm] als Vektorraum über sich selbst betrachten,
aber zu trivial will ich jetzt nicht werden.)
Jetzt betrachten wir
[mm] $(\IR^2,\oplus:=+, \odot:=2\cdot)$,
[/mm]
wobei also
[mm] $\odot \colon \IR \times \IR^2 \ni [/mm] (r,(x,y)) [mm] \mapsto \odot(r,(x,y)):=(2*r)*(x,y)\,.$
[/mm]
> Hieraus folgt, dass (VS 1) bis einschließlich (VS 4) sich
> nicht verändern, weil Addition auf "herkömmliche" Weise
> definiert ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> So komisch es sich anhört, bin ich mir
> jetzt aber keineswegs sicher, ob ich die restlichen VS'sen
> richtig ableite und darum würde ich euch bitten, hier mal
> drüber zu schauen. Ich bin noch sehr unsicher in der
> mathematischen Beweisführung, darum bin ich für jede
> Hilfe und ausführliche Erklärung dankbar.
>
> Hier mal meine Vorschläge zu (VS 5) bis (VS 8).
>
> (VS 5) 1 [mm]\times[/mm] x = 2x
Okay, ich habe jetzt [mm] $\odot$ [/mm] anstatt des [mm] $\times$ [/mm] geschrieben, aber ja:
Für alle [mm] $\textbf{p}=(x,y) \in V=\IR^2$ [/mm] folgt hier
[mm] $1\odot \textbf{p}=2*\textbf{p}=2*(x,y)=(2x,2y)\,,$
[/mm]
insbesondere
$1 [mm] \odot [/mm] (1,0)=(2,0) [mm] \not=(1,0)\,.$
[/mm]
(VS 5) ist also verletzt!
> (VS 6) (ab) [mm]\times[/mm] x = 2(ab)x
eigentlich $(2(ab))*x$
> = 2abx = 2a(bx) = a [mm]\times[/mm]
> (bx)
Hier müßtest Du mal jede Gleichheit genau begründen. Wenn wir bei unserem
[mm] $(\IR^2,+,\cdot)$ [/mm] "im Bezug zu" [mm] $(\IR^2,\oplus,\odot)$ [/mm] bleiben:
Für alle $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] und $(x,y) [mm] \in V=\IR^2$ [/mm] folgt
[mm] $(a*b)\odot [/mm] (x,y)=(2*(a*b))*(x,y)=...=(2a)*(b*(x,y)) [mm] \not= [/mm] a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] (x,y))$
Und hier sieht man schön, dass das so schiefgeht, dass also (VS 6) auch
nicht gutgeht.
Konkretes Beispiel:
$(3*2) [mm] \odot [/mm] (1,1)=6 [mm] \odot (1,1)=(\underbrace{2*6}_{\text{hier bedeutet \;} * \text{ die Multiplikation in }K=\IR})*(1,1)=12*(1,1)=(12,12)\,,$
[/mm]
aber
$3 [mm] \odot [/mm] (2 [mm] \odot [/mm] (1,1))=3 [mm] \odot [/mm] (4*(1,1))= 3 [mm] \odot (4,4)=6*(4,4)=(24,24)\,.$
[/mm]
Damit kannst Du diese Idee verwerfen. Und überlege Dir mal, ob es Sinn
macht, generell
[mm] $\odot:=m \cdot$ [/mm] mit einem $m [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus\{0_K\}$
[/mm]
(d.h. $r [mm] \odot [/mm] v:=m [mm] \cdot_V [/mm] v$ für alle $r [mm] \in K=\IR$ [/mm] und alle $v [mm] \in V=\IR^2$)
[/mm]
zu probieren.
Aber vielleicht sollte man ja [mm] $m=0_K$ [/mm] auch mal testen...
Gruß,
Marcel
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Hey,
Danke für die ausführliche Antwort :) Ich muss nur ehrlich (und auf die Gefahr hin, mich zu blamieren) zugeben, dass ich als nicht-Mathestudent, der nur das Fach "Lineare Algebra" als zusätzliches Fach gewählt hat, nicht wirklich nachvollziehen kann, was du geschrieben hast. Was ich verstehe, ist, dass meine Definition der Skalarmultiplikation nicht aufgeht.
Ich frag mich generell sowieso, wie man an solch eine Aufgabenstellung überhaupt rangehen soll. Ist es so, dass man einfach alle möglichen Sachen ausprobieren muss, oder gibt es da eine Strategie?
Ich bin jedenfalls ziemlich frustriert, dass ich immer noch nicht weiß, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich könnte natürlich auch sagen a [mm] \odot [/mm] x := 0a * x, aber ich glaube nicht, dass das Sinn machen würde.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey,
>
> Danke für die ausführliche Antwort :) Ich muss nur
> ehrlich (und auf die Gefahr hin, mich zu blamieren)
> zugeben, dass ich als nicht-Mathestudent, der nur das Fach
> "Lineare Algebra" als zusätzliches Fach gewählt hat,
> nicht wirklich nachvollziehen kann, was du geschrieben
> hast.
naja, das Wesentliche war dabei, dass Deine "Definition"
[mm] "$x+y=x+y\,$"
[/mm]
eigentlich sehr nichtssagend ist. Ich glaube, bei dem Rest hast Du schon
mehr verstanden, als Du eigentlich zugeben willst.
Was ich auch noch indirekt erwähnte, ist, dass man eine übliche Notation
benutzt, sowas wie
[mm] $r+s:=+(r,s)\,$ [/mm] bzw. noch genauer [mm] $r+s:=+(r,s):=+(\,(r,s)\,)\,.$
[/mm]
Das kennst Du, hast Du Dir aber sicher noch nie wirklich klargemacht: Wenn
ich z.B. die Addition [mm] $+\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] nun [mm] $p\,$ [/mm] nennen würde, so würdest Du mir zustimmen,
dass [mm] $p\,$ [/mm] eine Abbildung wie folgt ist:
$p [mm] \colon \IR \times \IR \to \IR\,.$
[/mm]
(Eigentlich klingt das ja auch schon komisch: Man redet von der Addition
auf [mm] $\IR\,,$ [/mm] aber der Definitionsbereich der Addition ist [mm] $\IR \times \IR\,.$ [/mm] Nunja,
wie gesagt: Vieles macht man, weil man es so gelernt hat, ohne es sich vllt.
mal ganz klar gemacht zu haben...)
Wie würde man nun die Summe der Zahlen [mm] $3\,$ [/mm] und [mm] $7\,$ [/mm] eigentlich schreiben?
Naja: [mm] $p(3,7)\,$ [/mm] bzw. noch genauer eigentlich: [mm] $p(\,(3,7)\,),$ [/mm] denn es ist ja das
Paar $(3,7) [mm] \in \IR \times \IR\,.$
[/mm]
Entsprechend müßte man, wenn man [mm] $+\,$ [/mm] schreibt, auch [mm] $+(\,(3,7)\,)$ [/mm] eigentlich
schreiben. Jetzt sagst Du, dass das aber komisch aussieht, man schreibt doch
[mm] $3+7\,.$ [/mm] Ja, aber darauf muss man sich einigen: Denn wenn ich Dir [mm] $3\,$ $p\,$ $7\,$ [/mm] hinschreibe
mit [mm] $p=+\,,$ [/mm] dann findest Du das sicher auch komisch. 
Wenn man diese Notation nicht einführt, so würde auch etwa die Kommutativität
der Addition in [mm] $\IR$ [/mm] nichts anderes heißen als:
Für alle $(r,s) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] gilt
[mm] $+(\,(r,s)\,)=+(\,(s,r)\,)\,,$
[/mm]
wobei auch $(r,s) [mm] \in \IR \times \IR$ $\Rightarrow$ [/mm] $(s,r) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] beachtenswert
ist!
Noch merkwürdiger sähe das Assoziativgesetz aus: Für alle $r,s,t [mm] \in \IR$ [/mm] gilt
[mm] $+(\,\red{(}\underbrace{+(\,\blue{(}r,s\blue{)})}_{\in \IR}, t\red{)}\,)=+(\,\red{(}r,\underbrace{+(\,\blue{(}s,t\blue{)}\,)}_{\in \IR}\red{)}\,)\,.$
[/mm]
(Die roten bzw. blauen Klammern kennzeichnen [mm] $\IR \times \IR$-Elemente!)
[/mm]
So sähe das aus, wenn man nicht sowas wie [mm] $+(r,s):=+(\,(r,s)\,)$ [/mm] abkürzen würde.
Aber auch mit dieser Abkürzung wird es nicht besonders schön. Und wie
elegant sehen wir es doch immer in dieser Form:
[mm] $(r+s)+t=r+(s+t)\,.$
[/mm]
Das kann sich (fast) jeder behalten und weiß, was gemeint ist. Da sieht
man doch schon, wie toll es ist, dass diese Notation eingeführt worden ist!
Aber das alles mal nur nebenbei...
> Was ich verstehe, ist, dass meine Definition der
> Skalarmultiplikation nicht aufgeht.
>
> Ich frag mich generell sowieso, wie man an solch eine
> Aufgabenstellung überhaupt rangehen soll. Ist es so, dass
> man einfach alle möglichen Sachen ausprobieren muss, oder
> gibt es da eine Strategie?
Man kann manchmal versuchen, sich notwendige oder hinreichende
Bedingungen zur Lösung solch' einer Aufgabe zu überlegen, aber hier
ist eher *probieren und Erfahrung "logisch bewertend" mitnehmen, wenn
es schiefgeht*, sicher die bessere Strategie.
> Ich bin jedenfalls ziemlich frustriert, dass ich immer noch
> nicht weiß, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Ich könnte
> natürlich auch sagen a [mm]\odot[/mm] x := 0a * x, aber ich glaube
> nicht, dass das Sinn machen würde.
Das ist doch egal, ob es Sinn macht. Probier' doch mal, ob es eine mögliche
Lösung der Aufgabe wäre, oder ob doch noch irgendwas schiefgeht. So
auf den ersten Blick sehe ich nämlich kein Problem - alles, was erfüllt werden
soll, scheint erfüllt zu werden und "$1 [mm] \odot x=x\,$" [/mm] (ja, eigentlich müßte man mehr
dazu schreiben, aber Du benutzt selbst diese Kurzschreibweise, daher
weißt Du, was ich meine ) geht wohl schief.
Allerdings kann es sein, dass ich ja doch etwas übersehe (bei dem anderen
Vorschlag wurde ja anscheinend auch nicht bedacht, dass aus
$a [mm] \odot [/mm] v=(ma)v$
bei
$a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] v)$
dann
$a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] v)=a [mm] \odot (m*bv)=m^2*(abv)$
[/mm]
wird).
Nur, weil $a [mm] \odot v:=0_V$ [/mm] *nicht besonders erträglich* erscheint, heißt es ja nicht,
dass es verboten ist, es so zu definieren. Dass es vielleicht noch *etwas
mehr sagende* alternative Definitionen geben kann, das mag ja sein - ich
weiß es nicht - aber es steht nirgends, dass wir *triviales* nicht testen
oder benützen dürften.
Gruß,
Marcel
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Ok, jetzt ist es ein Stück deutlicher. Aber wenn ich jetzt a [mm] \odot [/mm] x := ax * 0 definiere (mit der richtigen Schreibweise kenn ich mich nicht gut genug aus...), dann krieg ich die folgenden Ergebnisse. Ich geh davon aus, dass die "Beweise" nicht wirklich stimmen, von daher wäre es toll, wenn jemand hier mal drüber gucken könnte :)
(VS 1) bis (VS 4) bleiben dasselbe.
(VS 5) 1 [mm] \odot [/mm] x = 1x * 0 = 0
(VS 6) (ab) [mm] \odot [/mm] x = abx * 0 = 0 = a [mm] \odot [/mm] (bx)
(VS 7) a [mm] \odot [/mm] (x + y) = (ax + ay) * 0 = 0ax + 0ay = 0 + 0 = 0
(VS 8) (a + b) [mm] \odot [/mm] x = (ax + bx) * 0 = ax0 + bx0 = 0 + 0 = 0
Vielen Dank schon mal im Voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, jetzt ist es ein Stück deutlicher. Aber wenn ich jetzt
> a [mm]\odot[/mm] x := ax * 0 definiere (mit der richtigen
> Schreibweise kenn ich mich nicht gut genug aus...),
da im "alten Vektorraum" das skalare Produkt (ich mag' dort die Bezeichnung
Skalarprodukt nicht, weil sie auch ![[]](/images/popup.gif) anders (klick!) verwendet wird: ) durch
$K [mm] \times [/mm] V [mm] \ni [/mm] (r,v) [mm] \mapsto [/mm] r*v [mm] \in [/mm] V$
notiert wird, solltest Du auch "Skalar [mm] $*\,$ [/mm] Vektor" schreiben, nicht "Vektor [mm] $*\,$ [/mm] Skalar".
Auch, wenn das hier unproblematisch ist und es des öfteren auch missachtet
wird, man liest z.B. durchaus auch so etwas wie [mm] $\vektor{2\\4}*3=\vektor{6\\12}\,,$
[/mm]
anstatt [mm] $3*\vektor{2\\4}=\vektor{6\\12}\,.$ [/mm] Vor allem, wenn keine Verwirrungen zu befürchten
sind... Dennoch schlage ich immer vor: Die ersten 2,3 Semester lieber
überpenibel sein und sich genau an alle Notationen halten und ggf.
nachfragen. Dann bekommt man im Laufe der Zeit auch ein wenig ein
Gefühl dafür, was man *lockerer* sehen darf, vor allem schärft man sich
aber den Blick dafür, dass man erkennt, dass jemand etwas *zu locker*
sieht.
> dann
> krieg ich die folgenden Ergebnisse. Ich geh davon aus, dass
> die "Beweise" nicht wirklich stimmen,
Warum eigentlich immer? Wenn Du jeden Schritt so rechtfertigen kannst,
dass Du Dich selbst davon überzeugst, dass da kein Unfug steht, sollte
das doch kein Problem sein. Nur, wenn Du selbst irgendwo sagst: "Das,
was ich da mache, davon bin ich selbst nicht ganz überzeugt..." Dann
sind Deine Zweifel berechtigt!
> von daher wäre es
> toll, wenn jemand hier mal drüber gucken könnte :)
>
> (VS 1) bis (VS 4) bleiben dasselbe.
Sehe ich auch so - denn [mm] $\oplus=+$ [/mm] ist ja nichts neues!
Und nebenbei: Ich würde einfach [mm] $\odot$ [/mm] durch
$K [mm] \times [/mm] V [mm] \ni [/mm] (k,v) [mm] \mapsto \odot(k,v):=k \odot v=0_V$
[/mm]
definieren, wobei [mm] $0_V$ [/mm] das Nullelement aus [mm] $V\,$ [/mm] ist!
Wenn wir nämlich (jetzt in Kurz)
$k [mm] \odot v=(0_K [/mm] *k)* v$
definieren, kommt eh das Gleiche raus. Beachte aber, dass vermutlich im
Beweis von [mm] $0_K*v=0_V$ [/mm] schon sowas wie [mm] $1_K*v=v$ [/mm] benutzt haben. D.h., dass
wir durchaus Wissen von der ursprünglichen skalaren Multiplikation [mm] $\cdot$ [/mm] mitnehmen
müssen, sofern wir Deinen Vorschlag so weiterverfolgen. Bei mir wäre das
nicht nötig - denn ich greife ja gar nicht auf [mm] $\cdot$ [/mm] zurück, wenn ich
$k [mm] \odot v:=0_V$
[/mm]
setze!
> (VS 5) 1 [mm]\odot[/mm] x = 1x * 0 = 0
Hier würde man nach Deiner Definition
[mm] $1_K \odot x=(1_K*0_K)*x=0_K*x=0_V$
[/mm]
schreiben. Ich habe jetzt extra mal Elemente aus [mm] $V\,$ [/mm] (Vektorraum) und aus [mm] $K\,$
[/mm]
(Körper - Du redest immer von "Feld") gekennzeichnet durch einen Index.
Dass hier "für alle $x [mm] \in [/mm] V$" eigentlich dazugehört, sollte Dir klar sein. Analoges
bei den folgenden Rechnungen, aber ich erwähne es nun nicht an jeder
Stelle nochmal!
> (VS 6) (ab) [mm]\odot[/mm] x = abx * 0 = 0 = a [mm]\odot[/mm] (bx)
Auch hier: In Deiner Definition wäre die Reihenfolge rumzudrehen, daher
[mm] ($\star$) [/mm] $(ab) [mm] \odot x=(0_K*(ab))*x=0_K*x=0_V\,.$
[/mm]
Bei der rechten Seite ist Dir ein Fehler passiert. Obiges Ergebnis aus [mm] ($\star$) [/mm] musst
Du vergleichen mit
$a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot x)\,.$
[/mm]
Ich würde auch vorschlagen, dass wir [mm] ($\star$) [/mm] so stehen lassen, und nun auf
ein Neues rechnen:
[mm] ($\star\star$) [/mm] $a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] x)=a [mm] \odot [/mm] ((0b)*x)=...=a [mm] \odot 0_V=...$ [/mm] (Schreibe es mal zu Ende
und ergänze auch die ..., das ist ja nicht mehr viel!)
> (VS 7) a [mm]\odot[/mm] (x + y) = (ax + ay) * 0 = 0ax + 0ay = 0 + 0
> = 0
Halte Dich immer erst genau an die Definition, und gucke dann, was Du
für Rechenregeln anwenden darfst. Oben das geht mir zu schnell:
$a [mm] \odot [/mm] (x+y)=(0a)*(x+y)$
folgt per (der in der Reihenfolge geänderte) Definition von [mm] $\odot\,.$ [/mm] Du kannst jetzt
durchaus weiterrechnen mit
$=(0a)*x+(0a)*y=a [mm] \odot [/mm] x+a [mm] \odot y\,$
[/mm]
und wärst schon fertig.
Aber was Du gemacht hattest, war nur: $a [mm] \odot (x+y)=0_V$ [/mm] gezeigt (was ja eigentlich auch
trivial ist).
Dann bist Du aber noch nicht fertig. Du musst auch noch $a [mm] \odot [/mm] x+ a [mm] \odot y=0_V$ [/mm] nachweisen!
> (VS 8) (a + b) [mm]\odot[/mm] x = (ax + bx) * 0 = ax0 + bx0 = 0 + 0
> = 0
Das geht so nun nicht wirklich:
$(a+b) [mm] \odot x=(\underbrace{0*(a+b)}_{\substack{\text{hier rechnen wir nur in }K\text{, also sowohl }\\+\text{ als auch }* \text{ sind hier Abbildungen }K \times K \to K}})\overbrace{*}^{\substack{\text{dieses }*\text{ ist die skalare Multiplikation,}\\\text{ also eine Abb. }K \times V \to V}}x=0_K*x=0_V$
[/mm]
könntest Du schreiben. Jetzt musst Du dieses Ergebnis vergleichen mit
$a [mm] \odot [/mm] x+ b [mm] \odot x=(0a)*x+(0b)*x=0_K*x+0_K*x=0_V+0_V=0_V\,.$
[/mm]
Also?
Gruß,
Marcel
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Hey, danke für die schnelle Antwort.
Wenn ich dich richtig verstehe, muss ich also a [mm] \odot [/mm] x definieren als [mm] 0_V, [/mm] weil meine Definition hierrauf hinausläuft, oder? Ich benutze aber trotzdem mal einfach a [mm] \odot [/mm] x := 0 * (ax), weil du es in deinem Post auch getan hast.
Ich benutze jetzt im Folgenden mal [mm] 0_F [/mm] für 0 [mm] \in [/mm] Field [mm] F^{2} [/mm] und [mm] 0_V [/mm] für O [mm] \in [/mm] V.
(VS 5) 1 [mm] \odot [/mm] x = [mm] O_V,{ }\forall_{x \in V} [/mm] (wegen obiger Definition)
(VS 6i) (ab) [mm] \odot [/mm] x = [mm] (0_K [/mm] * (ab)) * x = [mm] 0_K [/mm] * x = [mm] 0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}
[/mm]
Jetzt rechne ich einfach mit der rechten Seite weiter:
(VS 6ii) a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] x) = a [mm] \odot [/mm] ((0b) * x) = a [mm] \odot (0_K [/mm] * x) = a [mm] \odot 0_V [/mm] = [mm] (0_K [/mm] * a) * [mm] 0_V [/mm] = [mm] 0_K [/mm] * [mm] 0_V [/mm] = [mm] 0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}
[/mm]
Hiermit ist also bewiesen, dass (ab) [mm] \odot [/mm] x = a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] x), oder? (Wieso übrigens nicht (a [mm] \odot [/mm] b) [mm] \odot [/mm] x = ...?)
(VS 7) a [mm] \odot [/mm] (x + y) = (0a) * (x + y) = (0a) * x + (0a) * y = a [mm] \odot [/mm] x + a [mm] \odot [/mm] y = (0a) * x + (0a) * y = [mm] 0_K [/mm] * x + [mm] 0_K [/mm] * y = [mm] 0_V [/mm] + [mm] 0_V [/mm] = [mm] 0_V, \forall_{x, y \in V}, \forall_{a \in F}
[/mm]
(VS 8i) (a + b) [mm] \odot [/mm] x = [mm] (0_K [/mm] * (a + b)) * x = [mm] 0_K [/mm] * x = [mm] 0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}
[/mm]
Jetzt die rechte Seite:
(VS 8ii) a [mm] \odot [/mm] x + b [mm] \odot [/mm] x = (0a) * x + (0b) * x = [mm] 0_K [/mm] * x + [mm] 0_K [/mm] * x = [mm] 0_V [/mm] + [mm] 0_V [/mm] = [mm] 0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey, danke für die schnelle Antwort.
>
> Wenn ich dich richtig verstehe, muss ich also a [mm]\odot[/mm] x
> definieren als [mm]0_V,[/mm] weil meine Definition hierrauf
> hinausläuft, oder? Ich benutze aber trotzdem mal einfach a
> [mm]\odot[/mm] x := 0 * (ax), weil du es in deinem Post auch getan
> hast.
>
> Ich benutze jetzt im Folgenden mal [mm]0_F[/mm] für 0 [mm]\in[/mm] Field
> [mm]F^{2}[/mm]
wieso schreibt ihr [mm] $F^2$ [/mm] und nicht nur [mm] $F\,$?
[/mm]
> und [mm]0_V[/mm] für O [mm]\in[/mm] V.
>
> (VS 5) 1 [mm]\odot[/mm] x = [mm]O_V,{ }\forall_{x \in V}[/mm] (wegen obiger Definition)
Eben nicht nur: Auch wegen der Eigenschaft, die das (alte) skalare Produkt
in [mm] $V\,$ [/mm] impliziert, was ja eben
[mm] $0_K [/mm] * [mm] x=0_V$
[/mm]
war.
> (VS 6i) (ab) [mm]\odot[/mm] x = [mm](0_K[/mm] * (ab)) * x = [mm]0_K[/mm] * x = [mm]0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}[/mm]
>
> Jetzt rechne ich einfach mit der rechten Seite weiter:
>
> (VS 6ii) a [mm]\odot[/mm] (b [mm]\odot[/mm] x) = a [mm]\odot[/mm] ((0b) * x) = a [mm]\odot (0_K[/mm]
> * x) = a [mm]\odot 0_V[/mm] = [mm](0_K[/mm] * a) * [mm]0_V[/mm] = [mm]0_K[/mm] * [mm]0_V[/mm] = [mm]0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}[/mm]
>
> Hiermit ist also bewiesen, dass (ab) [mm]\odot[/mm] x = a [mm]\odot[/mm] (b
> [mm]\odot[/mm] x), oder? (Wieso übrigens nicht (a [mm]\odot[/mm] b) [mm]\odot[/mm] x
> = ...?)
Ich (oder jemand anderes) gucke mir den Rest später noch an. Obiges sieht
bisher ganz gut. Kurz zu Deiner letzten Frage:
$(a [mm] \odot [/mm] b) [mm] \odot [/mm] x$
macht für $a,b [mm] \in [/mm] K$ und $x [mm] \in [/mm] V$ keinen Sinn. Es ist doch
[mm] $\odot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to V\,,$
[/mm]
und bei
$a [mm] \odot [/mm] b$
sollte dann $b [mm] \in [/mm] V$ gelten, was für $b [mm] \in [/mm] K$ i.a. nicht der Fall ist! In der
Gleichung
[mm] $(a\blue{\;*_K\;} b)\odot [/mm] x=a [mm] \odot [/mm] (b [mm] \odot [/mm] x)$ (ich schreibe mal [mm] $\blue{\;*_K\;}$ [/mm] für die Multiplikation in [mm] $K\,$)
[/mm]
stehen linkerhand also zwei verschiedene Multiplikationen:
[mm] $\blue{\;*_K\;} \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] K [mm] \to [/mm] K$
und [mm] $\odot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to V\,.$ [/mm] Rechterhand nur die Multiplikation
[mm] $\odot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to V\,,$
[/mm]
deswegen ist dort auch $b [mm] \odot [/mm] x [mm] \in [/mm] V$ (weil [mm] $\odot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \red{\;\to\;V\;}$) [/mm] beachtenswert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 So 07.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nun also zum Rest:
> (VS 7) a [mm]\odot[/mm] (x + y) = (0a) * (x + y) = (0a) * x + (0a) *
> y = a [mm]\odot[/mm] x + a [mm]\odot[/mm] y
hier bist Du eigentlich schon fertig, der Rest ist auch okay, ist aber
eigentlich nur *Zusatzinformation*!
Was ich meinte, was Du auch hättest machen können:
(1) $a [mm] \odot (x+y)=0_V$ [/mm] nachweisen (das geht übrigens auch schneller, denn:
$a [mm] \odot (x+y)=(0a)*(x+y)=0_K*(x+y)$ [/mm] und es ist $x+y [mm] \in V\,$)
[/mm]
und dann
(2) $a [mm] \odot [/mm] x+a [mm] \odot y=...=0_V$ [/mm] nachweisen.
Aus (1) und (2) folgt dann $a [mm] \odot [/mm] (x+y)=a [mm] \odot [/mm] x+a [mm] \odot y\,.$
[/mm]
Das, was Du oben stehen hast, reicht aber:
$a [mm] \odot [/mm] (x+y)=(0_Ka)*(x+y)=(0_Ka)*x+(0_Ka)*y$
gilt wegen den Rechenregeln, die [mm] $\cdot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$ erfüllt, und
$(0_Ka)*x=a [mm] \odot [/mm] x$ bzw. $(0_Ka)*y=a [mm] \odot [/mm] y$
folgt per Definitionem von [mm] $\odot$!
[/mm]
> = (0a) * x + (0a) * y = [mm]0_K[/mm] * x +
> [mm]0_K[/mm] * y = [mm]0_V[/mm] + [mm]0_V[/mm] = [mm]0_V, \forall_{x, y \in V}, \forall_{a \in F}[/mm]
>
> (VS 8i) (a + b) [mm]\odot[/mm] x = [mm](0_K[/mm] * (a + b)) * x = [mm]0_K[/mm] * x =
> [mm]0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}[/mm]
> Jetzt die rechte Seite:
>
> (VS 8ii) a [mm]\odot[/mm] x + b [mm]\odot[/mm] x = (0a) * x + (0b) * x = [mm]0_K[/mm]
> * x + [mm]0_K[/mm] * x = [mm]0_V[/mm] + [mm]0_V[/mm] = [mm]0_V, \forall_{x \in V}, \forall_{a, b \in F}[/mm]
Genau. Wie gesagt: (VS 7) hast Du ein wenig *overdosed* notiert, aber eigentlich
war das so okay!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Di 09.09.2014 | | Autor: | MeMeansMe |
Super, es ist jetzt alles was deutlicher. Vielen Dank, dass du die Geduld aufbringen konntest und dir Zeit genommen hast, mir bei dieser schweren Geburt zu helfen :D
Ich denke, ich muss mich einfach noch an die Denkweise gewöhnen. Bis dahin werde ich hier wahrscheinlich noch öfter posten :P
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Di 09.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super, es ist jetzt alles was deutlicher. Vielen Dank, dass
> du die Geduld aufbringen konntest und dir Zeit genommen
> hast, mir bei dieser schweren Geburt zu helfen :D
>
> Ich denke, ich muss mich einfach noch an die Denkweise
> gewöhnen. Bis dahin werde ich hier wahrscheinlich noch
> öfter posten :P
vielleicht ist es ja - ähnlich, wie es bei mir war - bei Dir auch so, dass man
gerade oft in der Schule gelernt hat, dass man manches einfach mal so
schnell hinschreiben und akzeptieren soll. Während man gerade in der
(höheren) Mathematik eher drauf geschult wird, möglichst wenig zu
akzeptieren, als vielmehr alles penibelst durchzukauen, bis man wirklich
jedes Detail begründen kann.
Wobei auch hier der ein oder andere Dozent geschickt versteckt, dass man
manche Sachen doch akzeptieren soll. Sowas wie "Den Körper [mm] $\IR$ [/mm] kennen
wir alle schon von der Schule her und wir können darin rechnen...".
Oder "Die natürlichen Zahlen seien von Gott gegeben..." oder auch schon
der Fakt, dass wir Zahlen kennen und auch überhaupt zählen können...
Aber nun ja: Mathe studiert man ja auch nicht direkt, wenn man zum ersten
Mal das Licht der Welt erblickt hat...
Gruß,
Marcel
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