Eigenschaften von Vektorräumen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Leite (VS 1) her aus (VS 2), (VS 3), (VS 4), (VS 5), (VS 7) und (VS 8) ((VS 6) nicht benutzen).
(VS 1) Für alle x, y in V gilt x + y = y + x
(VS 2) For alle x, y, z in V gilt (x + y) + z = x + (y + z)
(VS 3) Es gibt ein Element 0 in V, sodass gilt x + 0 = x für jedes x in V
(VS 4) Für jedes Element x in V gibt es ein Element y in V, sodass gilt x + y = 0 = y + x
(VS 5) Für jedes Element x in V gilt 1x = x
(VS 6) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und jedes Element x in V gilt (ab)x = a(bx)
(VS 7) Für jedes Element a im Feld F und jedes Paar von Elementen x, y in V gilt a(x + y) = ax + ay
(VS 8) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und jedes Element x in V gilt (a + b)x = ax + bx
Hinweis: Schreibe (1 + 1)(x + y) auf zwei Art und Weise aus. (x und y sind Vektoren) |
Hallo,
Man soll also (1 + 1)(x + y) als Ausgangspunkt nehmen und auf diese zwei Art und Weisen ausschreiben:
1(x + y) + 1(x + y) = (1 + 1)x + (1 + 1)y
= x + y + x + y = x + x + y + y
So wurde es uns jedenfalls im Seminar gesagt. Weitenhin müssen wir scheinbar das erste x und das letzte y auf beiden Seiten der Gleichung wegkriegen, sodass y + x = x + y übrig bleibt. Wie ich das mit Hilfe der ganzen VS'sen hinkriegen soll, weiß ich allerdings nicht. Ich bitte um Hinweise und Erklärungen.
Vielen Dank schon mal im Voraus :)
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Das ist schlicht nicht die Wahrheit:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=545229&sid=b7ab38af1a2284ada321c81bd6973e60
Es wurde auch bereits eine sehr zielführende Antwort gegeben.
(Teilweise wurde die hier auch berücksichtigt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo und ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Was ja ganz offensichtlich nicht der Wahrheit entspricht. Ich möchte da jetzt mal keine Absicht unterstellen, dich jedoch darum bitten, dir unsere Forenregeln durchzulesen, insbesondere Puznkt 4. Wir behalten uns vor, solche Crosspostings zu entfernen!
Gruß, Diophant
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Ich persönlich unterstelle das, da es hier
https://matheraum.de/read?t=1033957
ja noch mit der Angabe des Links geklappt hat.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Leite (VS 1) her aus (VS 2), (VS 3), (VS 4), (VS 5), (VS 7)
> und (VS 8) ((VS 6) nicht benutzen).
>
> (VS 1) Für alle x, y in V gilt x + y = y + x
> (VS 2) For alle x, y, z in V gilt (x + y) + z = x + (y +
> z)
> (VS 3) Es gibt ein Element 0 in V, sodass gilt x + 0 = x
> für jedes x in V
> (VS 4) Für jedes Element x in V gibt es ein Element y in
> V, sodass gilt x + y = 0 = y + x
> (VS 5) Für jedes Element x in V gilt 1x = x
> (VS 6) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und
> jedes Element x in V gilt (ab)x = a(bx)
> (VS 7) Für jedes Element a im Feld F und jedes Paar von
> Elementen x, y in V gilt a(x + y) = ax + ay
> (VS 8) Für jedes Paar von Elementen a, b im Feld F und
> jedes Element x in V gilt (a + b)x = ax + bx
>
> Hinweis: Schreibe (1 + 1)(x + y) auf zwei Art und Weise
> aus. (x und y sind Vektoren)
> Hallo,
>
> Man soll also (1 + 1)(x + y) als Ausgangspunkt nehmen und
> auf diese zwei Art und Weisen ausschreiben:
>
> 1(x + y) + 1(x + y) = (1 + 1)x + (1 + 1)y
> = x + y + x + y = x + x + y + y
das ist schlecht notiert. Besser schreibt man
[mm] $1(x+y)+1(x+y)=(1+1)*(x+y)\,$
[/mm]
[mm] $\red{\Rightarrow}$ $x+y+x+y=x+x+y+y\,$
[/mm]
Beachtenswert ist dabei, dass insbesondere (VS 2) benutzt wird. (Natürlich
auch (VS 8) und (VS 5), und schau' mal, ob ich nichts vergessen habe. (VS 6)
braucht man hier jedenfalls nicht. [Edit: (VS 7) geht auch ein!])
Wir schreiben [mm] $-x\,$ [/mm] für das bzgl. [mm] $+\,$ [/mm] zu [mm] $x\,$ [/mm] inverse Element aus (VS 4), analoges
bedeutet dann [mm] $-y\,,$ [/mm] es folgt:
[mm] $x+y+x+y+(-y)+(-x)=x+x+y+y+(-y)+(-x)\,$
[/mm]
Damit bekommt man (ergänze die Axiome zur Begründung - die *Klammern-
Ersparnis* ergibt sich wegen der Assoziativität der Addition, also (VS 2)):
[mm] $x+y=x+x+y+(-x)\,$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $y=(-x)+x+x+y+(-x)$
[mm] $\Rightarrow$ $y=x+y+(-x)\,.$
[/mm]
Siehst Du, was Du noch im letzten Schritt tun mußt? (Tipp: Addiere ... von
rechts!)
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für die Antwort. Jetzt kann ich es schon was besser nachvollziehen. Nur ich sehe nicht, wo man (VS 3) benutzen muss. Ab (VS 4) ist ja eigentlich alles nur Algebra, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Sa 06.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort. Jetzt kann ich es schon was
> besser nachvollziehen. Nur ich sehe nicht, wo man (VS 3)
> benutzen muss. Ab (VS 4) ist ja eigentlich alles nur
> Algebra, oder?
na, wenn ich $x+(-x)+y+...=y+...$ rechne/schreibe, steht da eigentlich
$x+(-x)+y+...=0+y+...=y+...$
Und natürlich solltest Du irgendwo auch noch $x+0= [mm] \red{\;0+x=x}$ [/mm] (für alle $x [mm] \in [/mm] V$)
irgendwoher haben, oder halt nochmal selbst beweisen.
Und eigentlich hätte es auch sein können, dass man gewisse Axiome gar
nicht braucht...
Und Deine letzte Frage verstehe ich nicht: Wir sind ja in der linearen
Algebra. In der Algebra selbst kenne ich mich jetzt nicht wirklich aus,
aber ich kenne die Grundbegriffe, die man dort verwendet:
Halbgruppen, Monoide, Gruppen, Ringe, Körper, ...
Ob man da generell auch schon Vektorräume behandelt, das weiß ich
gerade nicht.
P.S. Hast Du die Aufgabe aus dem Englischen übersetzt? Field="Feld" übersetzt
man eigentlich mit *Körper*.
Gruß,
Marcel
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