Eigenvekt. Matrix/Endomorphism < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Mo 17.11.2014 | | Autor: | eva4eva |
| Aufgabe | | Unterschied Eigenvektoren einer Matrix vs. eines Endomorphismus? |
Hallo, wir behandeln gerade Eigenwerte und -vektoren.
Dabei wird festgestellt, dass die Eigenwerte die Nullstellen des charakt. Polynoms einer Matrix A über einem Körper sind.
Sind diese Nullstellen gleichzeitig auch Nullstellen des Minimalpolynoms, so gibt es zu diesen (und nur zu diesen) Eigenwerten Eigenvektoren.
Stimmt das so?
Nun behandeln wir auch Eigenwerte von lin. Abbildungen.
Sei f ein Endomorphismus.
Dann heisst es hier, dass f einen Eigenvektor zum entspr. Eigenwert hat, gdw dieser Eigenwert Nullstelle des charakt. Polynoms der Matrixdarstellung von f ist.
Kann das sein? ->
Was mich nun wundert:
Warum heisst es hier nicht auch, dass der Eigenwert Nullstelle des MINIMALpolynoms sein muss, dass es einen Eigenvektor gibt.
Gibt es da einen Unterschied zwischen Matrizen und Endomorphismen?
____
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Unterschied Eigenvektoren einer Matrix vs. eines
> Endomorphismus?
> Hallo, wir behandeln gerade Eigenwerte und -vektoren.
>
> Dabei wird festgestellt, dass die Eigenwerte die
> Nullstellen des charakt. Polynoms einer Matrix A über
> einem Körper sind.
So ist es !
> Sind diese Nullstellen gleichzeitig auch Nullstellen des
> Minimalpolynoms, so gibt es zu diesen (und nur zu diesen)
> Eigenwerten Eigenvektoren.
> Stimmt das so?
Sei A eine Matrix über dem Körper K , p ihr char. Polynom und m ihr Minimalpolynom.
Dann gilt für [mm] \lambda \in [/mm] K:
[mm] p(\lambda)=0 \gdw m(\lambda)=0 \gdw \lambda [/mm] ist Eigenwert von A.
>
> Nun behandeln wir auch Eigenwerte von lin. Abbildungen.
> Sei f ein Endomorphismus.
> Dann heisst es hier, dass f einen Eigenvektor zum entspr.
> Eigenwert hat, gdw dieser Eigenwert Nullstelle des charakt.
> Polynoms der Matrixdarstellung von f ist.
Besser: .... einer Matrixdarstellung.
> Kann das sein? ->
Ja
> Was mich nun wundert:
> Warum heisst es hier nicht auch, dass der Eigenwert
> Nullstelle des MINIMALpolynoms sein muss, dass es einen
> Eigenvektor gibt.
> Gibt es da einen Unterschied zwischen Matrizen und
> Endomorphismen?
Nein.
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K und f:V [mm] \to [/mm] V linear.
Sind B und C basen von V und ist A die Abbildungsmatrix von f bezügl. B und C, so gilt [mm] \lambda \in [/mm] K, wobei p und m wie oben seien:
[mm] p(\lambda)=0 \gdw m(\lambda)=0 \gdw \lambda [/mm] ist Eigenwert von A [mm] \gdw \lambda [/mm] ist Eigenwert von f.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Mo 17.11.2014 | | Autor: | eva4eva |
Danke für die Antwort!
Mir geht es bei der ganzen Frage ja darum, wann zu einem Eigenwert auch Eigenvektoren existieren.
Du sagst, m und p haben dieselben Nullstellen.
Steht bei mir auch so - und zwar als Beweis dafür, dass gilt:
Ist [mm] \lambda [/mm] Nst. von m, so gibt es zu [mm] \lambda [/mm] einen Eigenvektor.
Dann folgt doch:
Nst von m ist auch Nst von p. => Ist [mm] \lambda [/mm] Nst. von p, so gibt es zu [mm] \lambda [/mm] einen Eigenvektor.
=>zu JEDEM [mm] \lambda [/mm] gibt es einen Eigenvektor v (?)
Kann das sein?
Oder muss man letztlich prüfen, ob zu ermitteltem [mm] \lambda [/mm] bzgl. einer Matrix A über IK dann konkret
das LGS [mm] (A-\lambda*I)v=0 [/mm] nichttriviale Lösungen hat?
Ich habe es irgendwie so verstanden, dass man anhand des Minimalpolynoms schon Aussagen über die Existenz von Eigenvektoren treffen kann.
Oder ist es vlt so gemeint: Wenn p 3 Nullstellen hat, aber m nur 2, wobei eine Nullstelle sozusagen durch den reduziblen Faktor veschluckt wird, dann kann es auch nur 2 Eigenvektoren geben.
Sorry, einiges durcheinander.
> > Unterschied Eigenvektoren einer Matrix vs. eines
> > Endomorphismus?
> > Hallo, wir behandeln gerade Eigenwerte und -vektoren.
> >
> > Dabei wird festgestellt, dass die Eigenwerte die
> > Nullstellen des charakt. Polynoms einer Matrix A über
> > einem Körper sind.
>
> So ist es !
>
> > Sind diese Nullstellen gleichzeitig auch Nullstellen des
> > Minimalpolynoms, so gibt es zu diesen (und nur zu diesen)
> > Eigenwerten Eigenvektoren.
> > Stimmt das so?
>
> Sei A eine Matrix über dem Körper K , p ihr char. Polynom
> und m ihr Minimalpolynom.
>
> Dann gilt für [mm]\lambda \in[/mm] K:
>
> [mm]p(\lambda)=0 \gdw m(\lambda)=0 \gdw \lambda[/mm] ist Eigenwert
> von A.
>
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> >
> > Nun behandeln wir auch Eigenwerte von lin. Abbildungen.
> > Sei f ein Endomorphismus.
> > Dann heisst es hier, dass f einen Eigenvektor zum
> entspr.
> > Eigenwert hat, gdw dieser Eigenwert Nullstelle des charakt.
> > Polynoms der Matrixdarstellung von f ist.
>
> Besser: .... einer Matrixdarstellung.
>
>
> > Kann das sein? ->
>
> Ja
>
>
> > Was mich nun wundert:
> > Warum heisst es hier nicht auch, dass der Eigenwert
> > Nullstelle des MINIMALpolynoms sein muss, dass es einen
> > Eigenvektor gibt.
> > Gibt es da einen Unterschied zwischen Matrizen und
> > Endomorphismen?
>
> Nein.
>
> Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum über K und f:V
> [mm]\to[/mm] V linear.
>
> Sind B und C basen von V und ist A die Abbildungsmatrix von
> f bezügl. B und C, so gilt [mm]\lambda \in[/mm] K, wobei p und m
> wie oben seien:
>
> [mm]p(\lambda)=0 \gdw m(\lambda)=0 \gdw \lambda[/mm] ist Eigenwert
> von A [mm]\gdw \lambda[/mm] ist Eigenwert von f.
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> FRED
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> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 17.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Definition: [mm] \lambda [/mm] heißt Eigenvektor von A, wenn es ein x [mm] \ne [/mm] 0 gibt mit
Ax= [mm] \lambda [/mm] x
In diesem Fall heißt x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm]
Ist es jetzt klar ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Di 18.11.2014 | | Autor: | eva4eva |
Danke.
Du meinst sicher x als Eigenvektor.
Das ist mir schon klar. Es bedeutet ja ganz direkt, dass ich zu geg. [mm] \lambda [/mm] prüfen muss, ob das LGS
Ax= [mm]\lambda[/mm] x
nichttriviale Lösungen hat. Diese ergeben den Eigenvektor.
D. h. ich kann nur Aussagen über die Existenz von Eigenvektoren treffen, wenn ich es über das LGS prüfe?
> Definition: [mm]\lambda[/mm] heißt Eigenvektor von A, wenn es ein x
> [mm]\ne[/mm] 0 gibt mit
>
> Ax= [mm]\lambda[/mm] x
>
> In diesem Fall heißt x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert
> [mm]\lambda[/mm]
>
> Ist es jetzt klar ?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Di 18.11.2014 | | Autor: | MacMath |
Lies dir Freds Anmerkungen doch nochmal in Ruhe durch (auch "zwischen den Zeilen").
Eine Korrektur war:
Die Matrixdarstellung => Eine Matrixdarstellung
Verschiedene Matrixdarstellung haben die gleichen Eigenwerte, ebenso der induzierte Endomorphismus.
Du sollst eine Aussage über Eigenvektoren treffen.
Und jetzt nochmal ganz langsam lesen und erleuchten ;)
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